Galia, naudingumas ir kuro sąnaudos

Galia yra darbo atlikimo sparta: P=dA/dt=F·v. Vidutinė galia A/Δt nėra automatiškai lygi galutinei momentinei galiai. Vienetas W=J/s. Naudingumas η=A_naud/A_sąnaudos, todėl iš kuro masės m_k gaunama naudinga energija ηm_kq. Jei kūnas ir greitėja, ir kyla, ir trinasi, trauka turi apmokėti visus šiuos energijos pokyčius.

Sprendimo eiga

Atskirk energiją nuo galios → nustatyk, ar prašoma momentinės, ar vidutinės → kuro atveju pritaikyk η ir q.

Tolygiai greitėjant nuo rimties ir veikiant pastoviai lygiagrečiai F, v(t)=at, tad P(t)=Fat, o P_vid=P_gal/2. Pastovus P reikštų kitą greitėjimo dėsnį. Galią optimizuojant kintama v, reikia diferencijuoti visą F(v)v sandaugą ir tikrinti leistiną intervalą bei jo kraštus. Kuro tūriui naudok masę m_k=ρV; litras yra 10⁻³ m³.

Formulės ir žymėjimai

P — galia (W), η — naudingumas, q — kuro šilumingumas (J/kg), V — vėjo greitis arba kuro tūris pagal formulės kontekstą.

P = \frac{d A}{d t} = \vec{F} \cdot \vec{v}, \bar{P} = \frac{A}{Δ t}

Momentinė ir vidutinė galia skirtingi dydžiai.

F = m (a + μ_{k} g), P_{g a l} = F v, \bar{P} = \frac{F v}{2}

Horizontaliai tolygiai greitėjant iš rimties ir F=const.

η = \frac{A_{n a u d}}{Q}, Q = m_{k} q, m_{k} = ρ V

η įrašyti dalimi, ne procentais; litras = 10⁻³ m³.

m_{k} = \frac{Δ E_{k} + F_{t r} s}{η q}, t = \frac{s}{v}

Antroji lygtis pastoviam greičiui.

P (v) = \frac{ρ S}{2} v (V - v)^{2}, v_{m a x P} = \frac{V}{3}

Burės modelis, 0≤v≤V; maksimumą tikrinti ir intervalo kraštuose.

A = P Δ t, Δ E_{k} = \frac{m}{2} (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})

A=PΔt tik pastoviai galiai.

Atverti interaktyvų modelį ↗

Pirmiausia – paprastas pavyzdys

Du keltuvai gali atlikti tą patį darbą, bet greitesnis tam išvysto didesnę vidutinę galią. Galia nėra energijos kiekis – tai jos perdavimo greitis.

Pradinis ir galutinis greičiai vienodi, todėl viso intervalo ΔEₖ = 0. Tai savaime nereiškia, kad visą laiką a = 0; tik keliant pastoviu greičiu galima kiekvienu momentu rašyti Fkel = mg. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

F_{\text{kel}}-mg=ma_y

A_{\text{kel}}-mgh=\Delta E_k=0

P_{\text{vid,naud}}=\frac{mgh}{t}

Keltuvas pakelia 100 kg. m = 100 kg, h = 6 m, t = 3 s, η = 0,80; g = 10. Pradžioje ir pabaigoje greitis vienodas.

Naudingasis darbas padidina aukščio energiją: A = mgh = 100 · 10 · 6 = 6000 J.
Vidutinė naudingoji galia Pnaud = 6000/3 = 2000 W = 2 kW.
Naudingumo lygtis 0,80 = 6000/Esunaud.
Dauginame iš Esunaud ir dalijame iš 0,80: Esunaud = 6000/0,80 = 7500 J.
Įeinanti vidutinė galia Psunaud = 7500/3 = 2500 W.
Nuostoliai 7500 − 6000 = 1500 J. Jie nepaverčiami naudingu aukščio prieaugiu.

Pnaud = 2 kW; Esunaud = 7,5 kJ; Psunaud = 2,5 kW.

Formulės su paaiškinimais ir visas mokymosi žingsnis →

Uždaviniai

Greitėjantis traukinys

24 t traukinys per 10 s tolygiai įsibėgėja nuo 0 iki 10 m/s. μₖ=0,20. Rask trauką, galutinę ir vidutinę galią.

Duota: 24 t traukinys per 10 s tolygiai įsibėgėja nuo 0 iki 10 m/s.
Rasti: Rask trauką, galutinę ir vidutinę galią.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. m = 24 t; 0 → 10 m/s. Laikas 10 s; μₖ = 0,20. P = Fv: traukos galia. mg – sunkio jėga (m – masė, g – sunkio pagreitis). N prie kūno rodyklės – atramos reakcija; prie skaičiaus N – niutonas, jėgos vienetas. μ – trinties koeficientas. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis

Užuomina

a=1 m/s²; F=m(a+μg).

Pirmas žingsnis

Paverčiame masę: 24 t=24000 kg. Pagreitis a=(10−0)/10=1 m/s². II dėsnis F−μmg=ma duoda F=m(a+μg).

Visas sprendimas

Paverčiame masę: 24 t=24000 kg. Pagreitis a=(10−0)/10=1 m/s². II dėsnis F−μmg=ma duoda F=m(a+μg).
F=24000(1+0,20·9,81)=71088 N.
Momentinė galia P=Fv, todėl galutinę skaičiuojame su 10 m/s. Vidutinei galiai reikia viso darbo ir viso laiko: P_vid=A/Δt=Fs/Δt.
P_gal=F·10=710880 W=710,88 kW.
s=(0+10)·10/2=50 m; P_vid=Fs/10=355,44 kW.

71,088 kN; 710,88 kW; 355,44 kW.

Benzinas greičiui ir trinčiai

1000 kg automobilis per 500 m greitėja nuo 10 iki 40 km/h. F_tr=0,1mg, η=0,20, q=46 MJ/kg. Rask benzino masę.

Duota: 1000 kg automobilis per 500 m greitėja nuo 10 iki 40 km/h.
Rasti: Rask benzino masę.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. m = 1000 kg; s = 500 m. 10 → 40 km/h. η = 0,20; q = 46 MJ/kg. mg – sunkio jėga (m – masė, g – sunkio pagreitis). N prie kūno rodyklės – atramos reakcija; prie skaičiaus N – niutonas, jėgos vienetas. η – naudingumo koeficientas. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis

Užuomina

Naudinga energija yra ΔEₖ+F_trs.

Pirmas žingsnis

Abu greičius verčiame į SI: v₁=10/3,6, v₂=40/3,6. Kinetinės energijos pokytis ΔEₖ=m(v₂²−v₁²)/2.

Visas sprendimas

Abu greičius verčiame į SI: v₁=10/3,6, v₂=40/3,6. Kinetinės energijos pokytis ΔEₖ=m(v₂²−v₁²)/2.
v₁=2,7778, v₂=11,1111 m/s. ΔEₖ≈57870,37 J.
Variklis turi ir padidinti kinetinę energiją, ir įveikti trintį: A_naud=ΔEₖ+F_tr s. Iš η=A_naud/(m_k q) gauname m_k=A_naud/(ηq). MJ paverčiame į J.
A_naud=57870,37+981·500=548370,37 J.
m_k=A_naud/(ηq)=548370,37/(0,2·46·10⁶)=0,05961 kg.

Apie 59,61 g.

Burės galios maksimumas

F(v)=ρS(V−v)²/2, V=20 m/s, ρ=1,27 kg/m³, S=25 m². Rask didžiausios galios greitį ir darbą per 60 s, jei burlaivis nuolat plaukia 15 m/s.

Duota: F(v)=ρS(V−v)²/2, V=20 m/s, ρ=1,27 kg/m³, S=25 m².
Rasti: Rask didžiausios galios greitį ir darbą per 60 s, jei burlaivis nuolat plaukia 15 m/s.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. V = 20 m/s: vėjas. S = 25 m²: burės plotas. ρ = 1,27 kg/m³. ρ – tankis

Užuomina

P(v)=(ρS/2)v(V−v)².

Pirmas žingsnis

Galia P(v)=F(v)v=(ρS/2)v(V−v)², intervale 0≤v≤V. Išvedame sandaugą: P′=(ρS/2)[(V−v)²−2v(V−v)].

Visas sprendimas

Galia P(v)=F(v)v=(ρS/2)v(V−v)², intervale 0≤v≤V. Išvedame sandaugą: P′=(ρS/2)[(V−v)²−2v(V−v)].
P′=(ρS/2)(V−v)(V−3v). Vidinis maksimumas v=V/3=6,667 m/s; kraštuose v=0,V galia lygi nuliui.
Iškeliame V−v: P′=(ρS/2)(V−v)(V−3v). Viduje ženklas keičiasi iš pliuso į minusą ties V/3. Įstatę v=V/3 gauname P_max=(ρS/2)(V/3)(2V/3)²=2ρSV³/27.
P_max=2ρSV³/27≈18814,81 W.
Kai v=15: F=1,27·25·5²/2=396,875 N; A=FvΔt=357187,5 J.

6,667 m/s; P_max≈18,815 kW; A≈357,19 kJ.

Naudingumas iš tūrio

Automobilis per 100 km sunaudoja 10 l benzino (ρ=800 kg/m³). Greitis 50 km/h, naudinga galia 10 kW, q=46 MJ/kg. Rask η.

Duota: Automobilis per 100 km sunaudoja 10 l benzino (ρ=800 kg/m³).
Rasti: Rask η.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. 100 km: 10 l benzino. v = 50 km/h; P = 10 kW. η: naudingumo koeficientas. η – naudingumo koeficientas

Užuomina

Laiką rask iš s/v.

Pirmas žingsnis

Laiką randame t=s/v=100/50=2 h. SI sistemoje t=7200 s, P=10000 W, V_kuro=10 l=0,010 m³.

Visas sprendimas

Laiką randame t=s/v=100/50=2 h. SI sistemoje t=7200 s, P=10000 W, V_kuro=10 l=0,010 m³.
t=2 h=7200 s; A_naud=10000·7200=72 MJ.
Naudingas darbas A_naud=Pt. Kuro energija Q=m_k q, o m_k=ρV_kuro. Tik apskaičiavę abu darbus vienodais vienetais, dalijame η=A_naud/Q.
m_k=800·0,010=8 kg; Q=8·46=368 MJ.
η=72/368=0,19565≈19,57 %.

19,57 %.

Iššūkis: Optimalus greitis esant energijos biudžetui

Transporto priemonės pasipriešinimas F=100+0,5v² (N). Pastovi variklio naudingoji galia 2000 W. Rask vienintelį pastovų greitį, o kai η=0,25 – sunaudotą energiją per 1 km.

Duota: Transporto priemonės pasipriešinimas F=100+0,5v² (N).
Rasti: Rask vienintelį pastovų greitį, o kai η=0,25 – sunaudotą energiją per 1 km.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. F_pas = 100 + 0,5v² N. P = 2000 W; η = 0,25. Tolygiai: F_trauk = F_pas. mg – sunkio jėga (m – masė, g – sunkio pagreitis). N prie kūno rodyklės – atramos reakcija; prie skaičiaus N – niutonas, jėgos vienetas. η – naudingumo koeficientas. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis

Užuomina

Pastoviu greičiu P=Fv.

Pirmas žingsnis

2000=100v+0,5v³. Funkcijos išvestinė 100+1,5v²>0, todėl teigiama šaknis vienintelė.

Visas sprendimas

2000=100v+0,5v³. Funkcijos išvestinė 100+1,5v²>0, todėl teigiama šaknis vienintelė.
v≈11,795 m/s, F≈169,562 N.
Naudingasis darbas F·1000, sunaudota energija dalijama iš η.

v≈11,795 m/s; sunaudota energija ≈678,248 kJ/km.

Ryšys su kita tema

Potencialas padės darbą ir jėgą perskaityti iš energijos priklausomybės nuo padėties.