Mokykis

Masyvūs skridiniai ir riedėjimas

Kai skridinys turi inerciją, jį greitina įtempimų skirtumas: (T₁−T₂)R=Iε. Neslystant siūlui a=Rε. Riedėjimui be slydimo v_cm=Rω, o visa energija yra mv_cm²/2+I_cmω²/2. Žemyn šlaitu dalis potencinės energijos virsta sukimusi. Įvesk β=I_cm/(mR²): tuomet a=g sinα/(1+β), v²=2gh/(1+β). Rutulys β=2/5, diskas 1/2, lankas 1.

Sprendimo eiga

Slenkamasis II dėsnis + sukamasis II dėsnis + neslydimo ryšys; arba visa slenkamoji ir sukamoji energija tarp būsenų.

Statinė trintis idealiai riedant ant nejudamo kieto paviršiaus bendro darbo neatlieka, nes sąlyčio taško momentinis greitis nulis. Ji vis dėlto suteikia sukimo momentą ir gali būti būtina. Leidžiantis šlaitu f=βmg sinα/(1+β); neslydimo sąlyga μₛ≥βtanα/(1+β). Žodis „be trinties“ ir „rieda“ nesavaime suderinami: be reikiamos statinės trinties kūnas gali slysti. Po smūgio į sieną nepriimk riedėjimo automatiškai: reikia patikrinti ir ω.

Formulės ir žymėjimai

β: rutuliui 2/5, diskui 1/2, lankui 1. T₁ ir T₂ rasti iš kiekvieno krovinio II dėsnio. Laikas iš rimties t=√(2h/a).
(T1-T2)R=Iε,a=Rε

Virvė neslysta masyviu skridiniu.

a=(m1-m2)gm1+m2+IR2

Atvudas su masyviu skridiniu, trinties ašyje nėra.

a=mgm+IR2,T=m(g-a),v=2ah

Krovinys ant būgno; pradžia iš rimties, a=const.

Ek=mvcm22+Icmω22,vcm=Rω

Riedėjimas be slydimo.

β=IcmmR2,a=gsinα1+β,v=2gh1+β

Riedėjimas šlaitu iš rimties, energijos nuostolių nėra.

μs≥βtanα1+β

Mažiausias ramybės trinties koeficientas neslydimui.

Edvir=(M+2mr)v22,hmin=R[2+M+2mr2M]

Du ratai-lankai, M jau apima ratus; kilpos R daug didesnis už rato spindulį.

vpo≈5mu7M,Q=7m10(v12-v22)

Pirmoji: maža kulka į rutulio centrą, galutinis riedėjimas. Antroji: rutulys rieda abiejose būsenose.

Atverti interaktyvų modelį ↗

Pirmiausia – paprastas pavyzdys

Masyvų skridinį reikia įsukti. Todėl siūlo įtempimai abipus jo skiriasi: būtent jų momentų skirtumas keičia skridinio sukimąsi. Tai esminis skirtumas nuo nesvaraus skridinio.

2 kg krovinys2 kgT₁20 N3 kg krovinys3 kgT₂30 Naa2 kg skridinysT₁T₂20 NRᵧ+ sukimasis ↻
Kiekvienas krovinys ir skridinys atskirti. Kroviniams pasirinktos teigiamos kryptys: lengvam aukštyn, sunkiam žemyn. Diskui teigiamas sukimasis pagal laikrodį; ašies reakcija Rᵧ išlaiko jo centrą nejudantį. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

T1−20=2a,30−T2=3aT_1-20=2a,\qquad30-T_2=3a
(T2−T1)R=Iε,I=MR22,a=εR(T_2-T_1)R=I\varepsilon,\quad I=\frac{MR^2}{2},\quad a=\varepsilon R
Ry−Mg−T1−T2=0R_y-Mg-T_1-T_2=0
T2−T1=M2a=aT_2-T_1=\frac{M}{2}a=a

2 kg, 3 kg ir 2 kg diskas. m₁ = 2 kg, m₂ = 3 kg, M = 2 kg; skridinys vienalytis diskas; g = 10.

  1. Lengvas krovinys: T₁ − 20 = 2a; sunkus: 30 − T₂ = 3a.
  2. Skridiniui: (T₂ − T₁)R = Iε. Pakeičiame ε = a/R.
  3. Padalijame iš R: T₂ − T₁ = (I/R²)a = (M/2)a = a.
  4. Sudedame tris lygtis: 10 = (2 + 3 + 1)a, todėl a = 10/6 ≈ 1,67 m/s².
  5. T₁ = 2 · (10 + 10/6) ≈ 23,33 N.
  6. T₂ = 3 · (10 − 10/6) = 25 N; skirtumas ≈ 1,67 N įsuka diską.

a ≈ 1,67 m/s²; T₁ ≈ 23,33 N; T₂ = 25 N.

Formulės su paaiškinimais ir visas mokymosi žingsnis →

Uždaviniai

Atvudas su masyviu disku

m₁=2 kg, m₂=1 kg, skridinys — 1 kg vienalytis diskas. Rask a, T₁, T₂.

Duota
m₁=2 kg, m₂=1 kg, skridinys — 1 kg vienalytis diskas.
Rasti
Rask a, T₁, T₂.
Brėžinys ir žymėjimaiAtvudas su masyviu diskum₁m₂+a₂a₁Im₁ = 2 kg; m₂ = 1 kgSkridinys: 1 kg diskasT₁ ir T₂ nevienodi

Schema, ne mastelis. m₁ = 2 kg; m₂ = 1 kg. Skridinys: 1 kg diskas. T₁ ir T₂ nevienodi. T₁, T₂ – lynų įtempimo jėgos

Užuomina

I/R²=0,5 kg veikia kaip papildoma inercija.

Pirmas žingsnis

Kroviniams: m₁g−T₁=m₁a, T₂−m₂g=m₂a. Skridiniui (T₁−T₂)R=Iε, o siūlui neslystant ε=a/R.

Visas sprendimas
  1. Kroviniams: m₁g−T₁=m₁a, T₂−m₂g=m₂a. Skridiniui (T₁−T₂)R=Iε, o siūlui neslystant ε=a/R.
  2. a=(m₁−m₂)g/(m₁+m₂+I/R²)=9,81/3,5=2,80286 m/s².
  3. Iš sukimo lygties T₁−T₂=(I/R²)a. Sudėję krovinių lygtis ir įstatę skirtumą gauname (m₁−m₂)g=(m₁+m₂+I/R²)a. Diskui I/R²=M/2=0,5 kg.
  4. T₁=m₁(g−a)=14,0143 N; T₂=m₂(g+a)=12,6129 N.
  5. T₁−T₂=1,4014 N=(I/R²)a, todėl momentų lygtis tenkinama.

a≈2,803 m/s²; T₁≈14,014 N; T₂≈12,613 N.

Krovinys išsuka būgną

m=0,50 kg, R=0,20 m, I=0,10 kg·m². Krovinys iš rimties leidžiasi 1 m. Rask a, t, v, T ir krovinio kinetinę energiją.

Duota
m=0,50 kg, R=0,20 m, I=0,10 kg·m².
Rasti
Rask a, t, v, T ir krovinio kinetinę energiją.
Brėžinys ir žymėjimaiKrovinys išsuka būgnąm₁m₂+a₂a₁IKrovinys m = 0,50 kgBūgnas R = 0,20 mI = 0,10 kg·m²; h = 1 m

Schema, ne mastelis. Krovinys m = 0,50 kg. Būgnas R = 0,20 m. I = 0,10 kg·m²; h = 1 m.

Užuomina

mg−T=ma; TR=I a/R.

Pirmas žingsnis

Kroviniui mg−T=ma. Būgnui TR=Iε, o ε=a/R, todėl T=Ia/R².

Visas sprendimas
  1. Kroviniui mg−T=ma. Būgnui TR=Iε, o ε=a/R, todėl T=Ia/R².
  2. a=mg/(m+I/R²)=4,905/(0,5+2,5)=1,635 m/s².
  3. Įstatome į krovinio lygtį: mg−Ia/R²=ma. Perkeliame ir iškeliame a: mg=(m+I/R²)a. Iš čia a ir tolygaus pagreičio formulės duoda t bei v.
  4. t=√(2h/a)=1,106 s; v=√(2ah)=1,8083 m/s.
  5. T=m(g−a)=4,0875 N; Eₖ,krov=mv²/2=0,8175 J. Likusi iš mgh=4,905 J energijos dalis 4,0875 J sukaupta būgno sukimui.

1,635 m/s²; 1,106 s; 1,808 m/s; 4,0875 N; 0,8175 J.

Kas nurieda greičiau?

Rutulys, diskas ir lankas iš rimties rieda 30° šlaitu iš h=0,50 m. Rask pagreičius ir greičius apačioje.

Duota
Rutulys, diskas ir lankas iš rimties rieda 30° šlaitu iš h=0,50 m.
Rasti
Rask pagreičius ir greičius apačioje.
Brėžinys ir žymėjimaiKas nurieda greičiau?v_CMω, riedahRutulys, diskas, lankasα = 30°; h = 0,50 mv_CM = ωR: be slydimo

Schema, ne mastelis. Rutulys, diskas, lankas. α = 30°; h = 0,50 m. v_CM = ωR: be slydimo. ω – kampinis greitis. CM – masės centras

Užuomina

Lygink β, o ne masę.

Pirmas žingsnis

Pažymime β=I/(mR²). Pilnaviduriam rutuliui β=2/5, diskui 1/2, lankui 1. Šlaito dinamika duoda a=g sinα/(1+β).

Visas sprendimas
  1. Pažymime β=I/(mR²). Pilnaviduriam rutuliui β=2/5, diskui 1/2, lankui 1. Šlaito dinamika duoda a=g sinα/(1+β).
  2. a=g sin30°/(1+β): rutulys 3,5036, diskas 3,2700, lankas 2,4525 m/s².
  3. Energijoje mgh=mv²/2+I(v/R)²/2=m(1+β)v²/2. Todėl v²=2gh/(1+β). Trinties sąlygai f=βma ir N=mgcosα, taigi μₛ≥βtanα/(1+β).
  4. v=√[2gh/(1+β)]: rutulys 2,6471, diskas 2,5573, lankas 2,2147 m/s.
  5. Rutulys pirmas. Kad visi neslystų, užtenka μₛ≥tan30°/2≈0,2887; tai griežčiausia, lanko sąlyga.

Rutulys → diskas → lankas; greičiai 2,647; 2,557; 2,215 m/s.

Dviratininko energija ir kilpa

Visa dviratininko su dviračiu masė 75 kg; du ratai po 3 kg, laikomi lankais. Rask Eₖ esant 2,5 m/s ir h_min kilpai R=3 m. Ratų spindulius laikyk mažais palyginti su kilpa.

Duota
Visa dviratininko su dviračiu masė 75 kg; du ratai po 3 kg, laikomi lankais.
Rasti
Rask Eₖ esant 2,5 m/s ir h_min kilpai R=3 m. Ratų spindulius laikyk mažais palyginti su kilpa.
Brėžinys ir žymėjimaiDviratininko energija ir kilpav_CMω, riedahBendra masė 75 kgDu ratai po 3 kg: lankaiKilpos R = 3 m

Schema, ne mastelis. Bendra masė 75 kg. Du ratai po 3 kg: lankai. Kilpos R = 3 m. ω – kampinis greitis. CM – masės centras

Užuomina

Sukamajai energijai papildoma efektyvi masė 2m_r=6 kg.

Pirmas žingsnis

Bendra masė M=75 kg jau apima ratus. Poslinkio energija Mv²/2, o sukimui dar pridedame dviejų ratų Iω²/2. Lankui I=m_rR_r² ir ω=v/R_r, todėl vienam ratui priedas m_rv²/2.

Visas sprendimas
  1. Bendra masė M=75 kg jau apima ratus. Poslinkio energija Mv²/2, o sukimui dar pridedame dviejų ratų Iω²/2. Lankui I=m_rR_r² ir ω=v/R_r, todėl vienam ratui priedas m_rv²/2.
  2. Eₖ=(M+2m_r)v²/2=81·2,5²/2=253,125 J.
  3. Visos sistemos gravitacinė energija Mgh. Ratų sukimosi energija keičia energijos lygtį, bet masės centro radialiniame II dėsnyje viršuje lieka v²=gR. Tik po to įstatome į energijos balansą.
  4. Viršuje v²=gR pagal masės centro radialinį II dėsnį. Energija Mgh=Mg·2R+(M+2m_r)gR/2.
  5. h_min=R[2+(1+6/75)/2]=2,54R=7,62 m. Būtina neslydimo sąlyga, statinė trintis be energijos nuostolių; oro pasipriešinimo nėra.

253,125 J; h_min≈7,62 m.

Kulka ir būsimas riedėjimas

Maža m masės kulka horizontaliai pataiko per M masės pilnavidurio rutulio centrą, įstringa; m≪M. Grindys šiurkščios. Po slydimo rutulys ima riedėti. Rask galutinį greitį, kai kulkos greitis u.

Duota
Maža m masės kulka horizontaliai pataiko per M masės pilnavidurio rutulio centrą, įstringa; m≪M.
Rasti
Rask galutinį greitį, kai kulkos greitis u.
Brėžinys ir žymėjimaiKulka ir būsimas riedėjimasuv po slydimoKulka m, greitis uRutulys M; m ≪ MPradžioje slysta, po to rieda

Schema, ne mastelis. Kulka m, greitis u. Rutulys M; m ≪ M. Pradžioje slysta, po to rieda.

Užuomina

Per smūgį grindų horizontalų impulsą ignoruok; paskui trintis sumažina v ir sukuria ω.

Pirmas žingsnis

Per patį smūgį kulka pataiko per centrą, todėl beveik nesuteikia sukimosi apie rutulio centrą. Slydimo etape grindų trintis mažina poslinkio impulsą ir didina sukimąsi.

Visas sprendimas
  1. Per patį smūgį kulka pataiko per centrą, todėl beveik nesuteikia sukimosi apie rutulio centrą. Slydimo etape grindų trintis mažina poslinkio impulsą ir didina sukimąsi.
  2. Iškart po smūgio V≈mu/M ir ω≈0. Vien impulso tvermė visam vėlesniam procesui netinka, nes veikia grindys.
  3. Riedėjimo pradžioje ω=v/R. Iš Iω=KR gauname K=Iv/R²=(2/5)Mv. Įstatome į Mv=mu−K: Mv+(2/5)Mv=mu, todėl (7/5)Mv=mu.
  4. Jei trinties impulso modulis K: Mv=mu−K, Iω=KR. Riedėjimo pradžioje v=Rω.
  5. I=2MR²/5 → K=(2/5)Mv. Taigi (7/5)Mv=mu → v≈5mu/(7M). Aukščiau centro pataikiusiai kulkai atsakymas keistųsi.

v≈5mu/(7M).

Atšokęs riedantis rutulys

1 kg pilnaviduris rutulys prieš smūgį ir galutinėje būsenoje po smūgio rieda be slydimo; greičių moduliai 0,10 ir 0,08 m/s. Koks mechaninės energijos sumažėjimas?

Duota
1 kg pilnaviduris rutulys prieš smūgį ir galutinėje būsenoje po smūgio rieda be slydimo; greičių moduliai 0,10 ir 0,08 m/s.
Rasti
Koks mechaninės energijos sumažėjimas?
Brėžinys ir žymėjimaiAtšokęs riedantis rutulysuv po slydimom = 1 kg; pilnavidurisPrieš: 0,10 m/sPo: 0,08 m/s

Schema, ne mastelis. m = 1 kg; pilnaviduris. Prieš: 0,10 m/s. Po: 0,08 m/s.

Užuomina

Eₖ=(7/10)mv², jeigu abi būsenos tikrai riedėjimo.

Pirmas žingsnis

Riedančio rutulio energija E=mv²/2+Iω²/2. Įstatę I=2mR²/5 ir ω=v/R gauname E=(1/2+1/5)mv²=0,7mv².

Visas sprendimas
  1. Riedančio rutulio energija E=mv²/2+Iω²/2. Įstatę I=2mR²/5 ir ω=v/R gauname E=(1/2+1/5)mv²=0,7mv².
  2. E_pr=0,7·1·0,1²=0,007 J.
  3. Abiejose nurodytose būsenose galioja ši formulė. Todėl energijos sumažėjimas Q=0,7m(v_pr²−v_po²). Krypties pasikeitimas kvadratų nekeičia.
  4. E_po=0,7·1·0,08²=0,00448 J.
  5. Q=0,00252 J. Tai viso proceso tarp nurodytų būsenų nuostolis; vien lygi siena automatiškai neapverčia sukimosi ir negarantuoja riedėjimo iškart po smūgio.

2,52 mJ.

Iššūkis: Riedėjimas ir spyruoklė

Vienalytis 2 kg R=0,2 m diskas nurieda be slydimo iš h=1 m ir horizontaliai suspaudžia k=300 N/m spyruoklę, veikiančią jo centrą. Trinties pakanka, nuostolių nėra, g=10 m/s². Rask greitį apačioje ir didžiausią suspaudimą.

Duota
Vienalytis 2 kg R=0,2 m diskas nurieda be slydimo iš h=1 m ir horizontaliai suspaudžia k=300 N/m spyruoklę, veikiančią jo centrą.
Rasti
Rask greitį apačioje ir didžiausią suspaudimą.
Brėžinys ir žymėjimaiIššūkis: Riedėjimas ir spyruoklėv_CMω, riedahkDiskas 2 kg; R = 0,2 mh = 1 m; k = 300 N/mSpyruoklė stumia centrą

Schema, ne mastelis. Diskas 2 kg; R = 0,2 m. h = 1 m; k = 300 N/m. Spyruoklė stumia centrą. N prie kūno rodyklės – atramos reakcija; prie skaičiaus N – niutonas, jėgos vienetas. ω – kampinis greitis. CM – masės centras

Užuomina

Energija apima ir sukimąsi; suspaudimo gale abi greičio dalys nulinės.

Pirmas žingsnis

I=mR²/2. mgh=(1/2+1/4)mv², todėl v²=4gh/3.

Visas sprendimas
  1. I=mR²/2. mgh=(1/2+1/4)mv², todėl v²=4gh/3.
  2. Per suspaudimą bendra kinetinė energija virsta kx²/2.
  3. xmax=√(2mgh/k).

v≈3,651 m/s; xmax≈0,365 m.

Ryšys su kita tema

Riedėjime derinome slinkimą su sukimusi; toliau pasirinksime ašį ir seksime impulso momentą.