Vektoriai, projekcijos ir vienetai

Vektorius nusako dydį ir kryptį. Projekcija yra jo pasirašytas „šešėlis“ pasirinktoje ašyje: į dešinę gali būti pliusas, į kairę minusas. Vektorius tarp dviejų taškų gaunamas iš galo koordinačių atėmus pradžios koordinates. Modulis visada neneigiamas. Kampui α nuo teigiamos x ašies: Aₓ = A cos α, Aᵧ = A sin α. Prieš skaičiuodamas paversk vienetus į SI: metrus, sekundes, kilogramus ir radianus.

Sprendimo eiga

Pasirink ašis → rask projekcijas su ženklais → sudėk atskirai kiekvieną koordinatę → tik tada skaičiuok modulį ir kampą.

Skaliarinė sandauga A·B = AₓBₓ + AᵧBᵧ + A_zB_z = AB cos α išmatuoja lygiagretumą; ji vėliau taps darbu. Vektorinė sandauga turi kryptį, statmeną abiem vektoriams: plokštumoje (A×B)_z = AₓBᵧ − AᵧBₓ. Jos ženklą nustato dešinės rankos taisyklė; ji vėliau taps jėgos momentu. Vektorių galima perkelti lygiagrečiai atliekant vektorių algebrą, tačiau jėgos taikymo taškas svarbus sukimui. Vienetai tikrina lygtį: x = At⁴ reikalauja [A] = m/s⁴.

Formulės ir žymėjimai

A, B — vektorių moduliai; Ax, Ay, Az — projekcijos; α — kampas; f — dažnis (Hz), ω — kampinis greitis (rad/s).

A_{x} = x_{2} - x_{1}, A_{y} = y_{2} - y_{1}

Vektorius iš pradžios į galą.

A_{x} = A \cos α, A_{y} = A \sin α

α matuojamas nuo +x ašies.

| \vec{A} | = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2} + A_{z}^{2}}

Modulis visada neneigiamas.

\vec{A} \cdot \vec{B} = A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z} = A B \cos α

Skaliarinė sandauga; rezultatas skaičius.

(\vec{A} \times \vec{B})_{z} = A_{x} B_{y} - A_{y} B_{x}

Vektorinė sandauga plokštumoje; kryptis pagal dešinės rankos taisyklę.

Σ F_{x} = 0, Σ F_{y} = 0

Ramybėje esančio taškinio mazgo pusiausvyra.

v_{S I} = \frac{v_{\frac{k m}{h}}}{3.6}, f = \frac{n_{\frac{a p s}{m i n}}}{60}, ω = 2 π f

Greičio ir dažnio konversijos.

Atverti interaktyvų modelį ↗

Pirmiausia – paprastas pavyzdys

Automobilis juda į dešinę. Pasirenkame, kad į dešinę yra pliusas. Neigiamas greitis reikš judėjimą į kairę; neigiamas pagreitis – greičio kitimą į kairę. Tai nebūtinai reiškia lėtėjimą.

Tai trajektorijos schema, o ne jėgų brėžinys. Viršutinės rodyklės rodo nueitas atkarpas, apatinė – bendrą poslinkį. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

s=6+2=8\,\text m

\Delta x=6-2=4\,\text m

Pirmyn ir atgal. Nueita 6 m į dešinę, paskui 2 m į kairę; visas laikas 4 s.

Pasirenkame pradžią x₁ = 0 m, teigiamą kryptį į dešinę.
Galutinė koordinatė x₂ = 6 − 2 = 4 m.
Kelias sudeda abiejų atkarpų ilgius: s = 6 + 2 = 8 m.
Poslinkis Δx = 4 − 0 = 4 m.
Vidutinis kelinis greitis s/t = 8/4 = 2 m/s.
Vidutinio greičio projekcija Δx/t = 4/4 = 1 m/s į dešinę.

s = 8 m; Δx = +4 m.

Formulės su paaiškinimais ir visas mokymosi žingsnis →

Uždaviniai

Nuo taškų iki sandaugų

A eina iš (1; 2) į (4; 6), B = (−2; 1). Rask A, |A|, A + B, A·B ir (A×B)_z.

Duota: A eina iš (1; 2) į (4; 6), B = (−2; 1).
Rasti: Rask A, |A|, A + B, A·B ir (A×B)_z.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. A: (1;2) → (4;6). B = (−2;1). A + B: vektorių suma. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis. +y – pasirinkta teigiama vertikalioji kryptis

Užuomina

Pirmiausia atimk koordinates; nepradėk nuo ilgių.

Pirmas žingsnis

Vektoriaus koordinatės yra galo minus pradžios koordinatės: Aₓ=4−1, Aᵧ=6−2. Ilgiui naudojame Pitagoro teoremą |A|=√(Aₓ²+Aᵧ²).

Visas sprendimas

Vektoriaus koordinatės yra galo minus pradžios koordinatės: Aₓ=4−1, Aᵧ=6−2. Ilgiui naudojame Pitagoro teoremą |A|=√(Aₓ²+Aᵧ²).
A = (4−1; 6−2) = (3; 4), todėl |A| = √(9+16) = 5.
Sudėčiai sudedame atskiras koordinates: A+B=(3−2;4+1). Skaliarinėje sandaugoje sudauginame atitinkamas koordinates ir sudedame: −6+4=−2.
A+B = (1; 5); A·B = 3(−2)+4·1 = −2.
(A×B)_z = 3·1−4(−2) = 11. Jei A ir B ilgiai matuojami m, sandaugų vienetas m².

(3; 4), 5, (1; 5), −2, +11.

Dvi vilkikų jėgos

Jėgos 200 N ir 100 N sudaro atitinkamai +30° ir −30° su x ašimi. Rask atstojamąją.

Duota: Jėgos 200 N ir 100 N sudaro atitinkamai +30° ir −30° su x ašimi.
Rasti: Rask atstojamąją.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. F₁ = 200 N, +30°. F₂ = 100 N, −30°. x: horizontali kryptis. N prie kūno rodyklės – atramos reakcija; prie skaičiaus N – niutonas, jėgos vienetas. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis. +y – pasirinkta teigiama vertikalioji kryptis

Užuomina

Skersinės projekcijos turi skirtingus ženklus.

Pirmas žingsnis

Pasirenkame x į dešinę, y aukštyn. Kiekvienos jėgos projekcijos: F₁ₓ=200cos30°, F₂ₓ=100cos30°, F₁ᵧ=200sin30°, F₂ᵧ=−100sin30°.

Visas sprendimas

Pasirenkame x į dešinę, y aukštyn. Kiekvienos jėgos projekcijos: F₁ₓ=200cos30°, F₂ₓ=100cos30°, F₁ᵧ=200sin30°, F₂ᵧ=−100sin30°.
Fₓ = (200+100) cos30° = 259,81 N.
Naudojame cos30°=√3/2 ir sin30°=1/2. Horizontaliai gauname 300√3/2; vertikaliai (200−100)/2=50 N.
Fᵧ = (200−100) sin30° = 50 N.
F = √(Fₓ²+Fᵧ²) = 264,58 N; β = atan2(50;259,81) = 10,89°.

264,58 N, 10,89° virš x ašies.

Vienetai atskleidžia klaidą

x = At⁴ − Bt². Kokie A ir B vienetai? Paversk 54 km/h, 20 g ir 900 aps./min į SI.

Duota: x = At⁴ − Bt².
Rasti: Vienetai atskleidžia klaidą

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. x = At⁴ − Bt². t: laikas, s. x: koordinatė, m. Kreivė rodo tik funkcijos pobūdį; tikslius taškus apskaičiuok pagal lygtį.

Užuomina

Kiekvienas sudedamasis privalo turėti x vienetą.

Pirmas žingsnis

Kiekvienas x formulės dėmuo turi turėti metrų vienetą. Todėl [A]·s⁴=m ir [B]·s²=m; iš čia dalijame iš atitinkamo sekundžių laipsnio.

Visas sprendimas

Kiekvienas x formulės dėmuo turi turėti metrų vienetą. Todėl [A]·s⁴=m ir [B]·s²=m; iš čia dalijame iš atitinkamo sekundžių laipsnio.
[A]s⁴ = m → [A] = m/s⁴; [B]s² = m → [B] = m/s².
Greičio keitimas: 54 km/h=54·1000 m/(3600 s). Dažnio keitimas: 900 aps./min=900 aps./(60 s). Kampiniam greičiui dar dauginame iš 2π rad vienam apsisukimui.
54/3,6 = 15 m/s; 20 g = 0,020 kg.
900/60 = 15 aps./s; kampinis greitis ω = 2π·15 = 30π rad/s.

m/s⁴; m/s²; 15 m/s; 0,020 kg; 94,25 rad/s.

Laikomas krovinys

100 N krovinį laiko du siūlai: kairysis 30°, dešinysis 60° su horizontu. Rask įtempimus.

Duota: 100 N krovinį laiko du siūlai: kairysis 30°, dešinysis 60° su horizontu.
Rasti: Rask įtempimus.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. P: krovinio svoris 100 N. T₁: 30° su horizontu. T₂: 60° su horizontu. N prie kūno rodyklės – atramos reakcija; prie skaičiaus N – niutonas, jėgos vienetas. T₁, T₂ – lynų įtempimo jėgos. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis. +y – pasirinkta teigiama vertikalioji kryptis

Užuomina

Ramiai kabančio mazgo abiejų projekcijų sumos lygios nuliui.

Pirmas žingsnis

Krovinys nejuda, todėl abiejų projekcijų jėgų sumos nulinės. Siūlai tik traukia: kairiojo horizontali dedamoji kairėn, dešiniojo dešinėn, abi vertikalios aukštyn.

Visas sprendimas

Krovinys nejuda, todėl abiejų projekcijų jėgų sumos nulinės. Siūlai tik traukia: kairiojo horizontali dedamoji kairėn, dešiniojo dešinėn, abi vertikalios aukštyn.
Horizontaliai: T_d cos60° = T_k cos30° → T_d = √3 T_k.
Iš T_d·(1/2)=T_k·(√3/2) gauname T_d=√3T_k. Į vertikalią lygtį įrašome: T_k/2+(√3T_k)(√3/2)=T_k/2+3T_k/2=2T_k.
Vertikaliai: T_k sin30° + T_d sin60° = 100.
Įrašę gauname 2T_k = 100; T_k = 50 N, T_d = 86,60 N.

Kairėje 50 N, dešinėje 86,60 N.

Iššūkis: Trys lynai ir leistina apkrova

100 N krovinį laiko du lynai: kairysis su horizontu sudaro 30°, dešinysis 60°. Trečias horizontalus lynas traukia krovinį į dešinę jėga H. Pagrindinių lynų įtempimai negali viršyti 120 N. Rask visą leistiną H ≥ 0 intervalą.

Duota: 100 N krovinį laiko du lynai: kairysis su horizontu sudaro 30°, dešinysis 60°.
Rasti: Rask visą leistiną H ≥ 0 intervalą.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. P = 100 N; H ≥ 0. T₁: 30°; T₂: 60°. T₁, T₂ ≤ 120 N. N prie kūno rodyklės – atramos reakcija; prie skaičiaus N – niutonas, jėgos vienetas. T₁, T₂ – lynų įtempimo jėgos. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis. +y – pasirinkta teigiama vertikalioji kryptis

Užuomina

Projekcijos ir neneigiami įtempimai.

Pirmas žingsnis

Pusiausvyra: −T₁cos30° + T₂cos60° + H = 0; T₁sin30° + T₂sin60° = 100 N.

Visas sprendimas

Pusiausvyra: −T₁cos30° + T₂cos60° + H = 0; T₁sin30° + T₂sin60° = 100 N.
Išsprendę gauname T₁ = 50 + √3 H/2; T₂ = 50√3 − H/2 (niutonais).
Taikyk 0 ≤ T₁,T₂ ≤ 120. Griežčiausia sąlyga: H ≤ 140/√3 N.

0 ≤ H ≤ 140/√3 N ≈ 80,83 N.

Ryšys su kita tema

Projekcijos leis vieną judėjimą suskaidyti į dvi nepriklausomas kryptis.