Energija, etapai ir kontaktas su trasa

Kinetinė energija Eₖ=mv²/2, sunkio potencinė U=mgh, spyruoklės U=kx²/2. Pasirink dvi būsenas ir vieną aukščio nulį. Jei kitų jėgų darbas nulis, Eₖ+U nekinta. Trintis mechaninę energiją paverčia vidine; energija apskritai nepradingsta. Energijos lygtis dažnai duoda greitį neieškant laiko. Atramos jėgai papildomai reikia Niutono dėsnio, ypač kilpose ir atsiplėšimo uždaviniuose.

Sprendimo eiga

Pasirink būsenas → įrašyk visus energijos narius → pridėk neįskaitytų jėgų darbus → kontaktą tikrink per N≥0.

Kilpos viduje apačioje N−mg=mv²/R, viršuje N+mg=mv²/R. Ribinis kontaktas viršuje N=0, todėl v²=gR. Energija iki 2R aukščio tuomet duoda h_min=5R/2 taškiniam slystančiam kūnui. Cilindro išorėje N nukreipta nuo centro, todėl mgcosθ−N=mv²/R. Netampriam smūgiui mechaninės energijos tvermės netaikyk: procesą padalink į kritimą, smūgį ir stabdymą. Didžiausio įlinkio taške v=0, bet spyruoklės jėga nebūtinai lygi mg.

Formulės ir žymėjimai

E — energija (J); N — atrama; R — kilpos ar cilindro spindulys. Metimams taip pat naudok 3 skyriaus x(t), y(t), v(t).

E_{k} = \frac{m v^{2}}{2}, U_{g} = m g h, U_{s p} = \frac{k x^{2}}{2}

Aukščio nulis visame sprendime vienodas.

Δ (E_{k} + U) = A_{k i t u}, A_{t r} = - μ_{k} N s

Sunkio darbo pakartotinai nedėti, jei naudojama mgh.

\frac{m v^{2}}{2} = m g h - μ_{k} m g l \cos α, s_{s t o p} = \frac{v^{2}}{2 μ_{k} g}

Šlaitas iš rimties, tada horizontalus sustojimas.

F_{v i d} s = \frac{m v_{0}^{2}}{2} + m g (h + s)

Kritimas ir įsmigimas; grunto jėga vidutinė pagal kelią.

m g (H_{0} + x) = \frac{k x^{2}}{2}

Kritimas iš H₀ virš neįlinkusio tinklo; x — įlinkis.

N_{a p} - m g = \frac{m v_{a p}^{2}}{R}, N_{v i r} + m g = \frac{m v_{v i r}^{2}}{R}

Kilpos vidus; kontaktui N≥0.

h_{m i n} = \frac{5 R}{2}, \cos θ = \frac{23}{(} 1 - \frac{h}{R})

Taškinis slystantis kūnas be trinties. Atsiplėšimo kampas nuo apačios, R<h<2,5R.

v^{2} = 2 g R (1 - \cos psi), m g \cos psi - N = \frac{m v^{2}}{R}

Cilindro išorė; ψ nuo viršaus. Atsiplėšus cosψ=2/3.

Atverti interaktyvų modelį ↗

Pirmiausia – paprastas pavyzdys

Krentantis kamuolys praranda aukščio energiją ir įgauna judėjimo energijos. Jei pasipriešinimo nėra, jų suma nekinta. Aukščio nulį galima pasirinkti patogiai, tačiau abiem būsenoms jis turi būti tas pats.

Pasirinktas vertikalus kritimas iš 5 m. Vienintelė kūną veikianti jėga – sunkis; šiame laisvojo kūno brėžinyje atramos reakcijos nėra. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

mg=ma_y\quad\Rightarrow\quad a_y=g

mgh=\frac{mv^2}{2}

Leidimasis iš 5 m aukščio. m = 2 kg, h₁ = 5 m, h₂ = 0, v₁ = 0; trinties nėra; g = 10.

Pradžioje Eₖ₁ = 0, Eₚ₁ = 2 · 10 · 5 = 100 J.
Apačioje Eₚ₂ = 0, todėl iš tvermės Eₖ₂ = 100 J.
Rašome 100 = 2v₂²/2.
Sutrumpiname 2: 100 = v₂².
Ištraukiame teigiamą šaknį greičio moduliui: v₂ = 10 m/s.
Masė sutrumpėtų ir bendroje formulėje mgh = mv²/2: v = √(2gh).

v₂ = 10 m/s.

Formulės su paaiškinimais ir visas mokymosi žingsnis →

Uždaviniai

Šlaitas ir horizontas

1 kg kūnas iš rimties slysta h=1 m, l=10 m šlaitu; po to horizontu. μₖ=0,05 abiejuose ruožuose. Rask energiją ir greitį apačioje, tada sustojimo atstumą.

Duota: 1 kg kūnas iš rimties slysta h=1 m, l=10 m šlaitu; po to horizontu.
Rasti: Rask energiją ir greitį apačioje, tada sustojimo atstumą.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. h = 1 m; šlaitas 10 m. m = 1 kg; μₖ = 0,05. B: šlaito apačia. μ – trinties koeficientas

Užuomina

sinα=h/l; trintis šlaite priklauso nuo cosα.

Pirmas žingsnis

Šlaite sinα=h/l=0,1, todėl cosα=√(1−sin²α). Energijos balansas iš rimties: Eₖ=mgh−f·l, kur f=μmgcosα.

Visas sprendimas

Šlaite sinα=h/l=0,1, todėl cosα=√(1−sin²α). Energijos balansas iš rimties: Eₖ=mgh−f·l, kur f=μmgcosα.
cosα=√(1−0,1²)=0,994987. Eₖ= mgh−μmglcosα=4,9296 J.
Apskaičiavę Eₖ, greitį randame iš Eₖ=mv²/2. Horizonte aukštis nebekinta, visa ši energija išnaudojama trinties darbui μmgs.
v=√(2Eₖ/m)=3,140 m/s.
Horizonte μmgs=Eₖ → s=10,050 m. Patikra: gravitacijos dedamoji šlaite didesnė už trintį.

4,930 J; 3,140 m/s; 10,050 m.

Įsmigimas į gruntą

0,010 kg kūnas paleidžiamas žemyn 5 m/s iš h=10 m aukščio ir įsminga s=0,10 m. Rask vidutinę pasipriešinimo jėgą.

Duota: 0,010 kg kūnas paleidžiamas žemyn 5 m/s iš h=10 m aukščio ir įsminga s=0,10 m.
Rasti: Rask vidutinę pasipriešinimo jėgą.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. m = 0,010 kg; h = 10 m. v₀ = 5 m/s žemyn. Įsmigimas s = 0,10 m. v₀ – pradinis greitis

Užuomina

Sunkis darbą atlieka ir per įsmigimą.

Pirmas žingsnis

Nulinį aukštį galima rinktis galutiniame sustojimo taške. Kūnas leidžiasi ne tik h, bet ir dar s grunte, todėl sunkio darbas mg(h+s).

Visas sprendimas

Nulinį aukštį galima rinktis galutiniame sustojimo taške. Kūnas leidžiasi ne tik h, bet ir dar s grunte, todėl sunkio darbas mg(h+s).
Pradinė kinetinė energija 0,010·5²/2=0,125 J.
Darbo ir energijos lygtis: 0−mv₀²/2=mg(h+s)−F_vid s. Perkeliame pasipriešinimo darbą į kairę, pradinę energiją į dešinę, paskui dalijame iš s.
Darbas iki sustojimo: F_vid s=mv₀²/2+mg(h+s).
F_vid=[0,125+0,010·9,81·10,1]/0,10=11,1581 N. Tai kelio atžvilgiu vidutinė jėga.

11,16 N.

Tinklas ir aukščio nulis

Akrobatas iš rimties krinta iš 1 m virš tinklo; įlinkis 0,5 m. Tinklą laikyk spyruokle. Naujo šuolio pradžia 8 m virš grindų. Koks ribinis neįlinkusio tinklo aukštis virš grindų?

Duota: Akrobatas iš rimties krinta iš 1 m virš tinklo; įlinkis 0,5 m.
Rasti: Koks ribinis neįlinkusio tinklo aukštis virš grindų?

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Pirmas kritimas 1 m. Tinklo įlinkis 0,5 m. Naujas startas: 8 m. N prie kūno rodyklės – atramos reakcija; prie skaičiaus N – niutonas, jėgos vienetas

Užuomina

Kalibravime bendras kritimas 1+0,5; ribiniu nauju atveju bendras kritimas 8 m.

Pirmas žingsnis

Pirmas kritimas kalibruoja tinklo standumą. Iki apatinio taško akrobatas nusileidžia 1+0,5=1,5 m, o tinklas išsitempia 0,5 m.

Visas sprendimas

Pirmas kritimas kalibruoja tinklo standumą. Iki apatinio taško akrobatas nusileidžia 1+0,5=1,5 m, o tinklas išsitempia 0,5 m.
mg(1+0,5)=k·0,5²/2 → k/m=12g.
Iš mg·1,5=k·0,25/2 dalijame iš m ir 0,125: k/m=12g. Naujame ribiniame atvejyje nusileidimas iki grindų yra 8 m, o tinklo deformacija lygi jo pradiniam aukščiui h.
Naujame ribiniame atvejyje įlinkis lygus tinklo aukščiui h: mg·8=kh²/2.
h²=16g/(12g)=4/3 → h=1,155 m. Tai idealizuota riba; nurodytas H yra nuo grindų.

h_rib≈1,155 m.

Mirties kilpa

Taškinis kūnas be trinties leidžiasi į R=2 m kilpą. Rask h_min ir atramos jėgas apačioje bei viršuje ribiniu atveju m=1 kg.

Duota: Taškinis kūnas be trinties leidžiasi į R=2 m kilpą.
Rasti: Rask h_min ir atramos jėgas apačioje bei viršuje ribiniu atveju m=1 kg.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. R = 2 m; m = 1 kg. Viršuje ribinė N = 0. N: atramos reakcija. N prie kūno rodyklės – atramos reakcija; prie skaičiaus N – niutonas, jėgos vienetas

Užuomina

Viršuje riboje N=0, tačiau v≠0.

Pirmas žingsnis

Ribinis kontaktas viršuje reiškia N_v=0. Radialus II dėsnis ten mg+N_v=mv_v²/R, todėl v_v²=gR.

Visas sprendimas

Ribinis kontaktas viršuje reiškia N_v=0. Radialus II dėsnis ten mg+N_v=mv_v²/R, todėl v_v²=gR.
Viršuje v_v²=gR. Energija mgh=mg·2R+mv_v²/2 → h_min=2,5R=5 m.
Energijoje pakeičiame v_v²: mgh=2mgR+mgR/2. Dalijame iš mg: h=2R+R/2. Apačioje radialus dėsnis N_a−mg=mv_a²/R.
Apačioje v_a²=2gh=5gR → N_a=mg+mv_a²/R=6mg=58,86 N.
Viršuje N_v=mv_v²/R−mg=0. Vien pasiekti 2R aukštį nepakanka išlaikyti kontaktą.

h_min=5 m; N_apačioje=58,86 N; N_viršuje=0.

Kur atsiplėšia?

Kilpoje kūnas paleidžiamas iš h=2R, θ matuojamas nuo apačios. Rask atsiplėšimo kampą. Taip pat rask kampą slystant nuo cilindro išorės viršaus.

Duota: Kilpoje kūnas paleidžiamas iš h=2R, θ matuojamas nuo apačios.
Rasti: Rask atsiplėšimo kampą. Taip pat rask kampą slystant nuo cilindro išorės viršaus.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Pradinis h = 2R. θ: nuo kilpos apačios. Atsiplėšimas: N = 0. N prie kūno rodyklės – atramos reakcija; prie skaičiaus N – niutonas, jėgos vienetas. θ – brėžinyje pažymėtas kampas

Užuomina

Kiekvienam paviršiui atskirai nubrėžk N kryptį.

Pirmas žingsnis

Kontaktas baigiasi, kai atramos reakcija N tampa nuliu. Kol kontaktas galioja, aukštis y=R(1−cosθ), o energija duoda v²=2g[h−R+Rcosθ].

Visas sprendimas

Kontaktas baigiasi, kai atramos reakcija N tampa nuliu. Kol kontaktas galioja, aukštis y=R(1−cosθ), o energija duoda v²=2g[h−R+Rcosθ].
Kilpoje y=R(1−cosθ), v²=2g(h−y); N=mv²/R+mgcosθ.
Į N=0 statome energijos v²: 0=2g(h/R−1+cosθ)+gcosθ. Dalijame iš g ir surenkame: 3cosθ=2(1−h/R). Išorėje analogiškai cosψ=2(1−cosψ), todėl 3cosψ=2.
N=0 → cosθ=2(1−h/R)/3=−2/3 → θ=131,81°. Ši judant atsiplėšimo šaka tinka R<h<2,5R.
Išorėje kampas ψ nuo viršaus: v²=2gR(1−cosψ), mgcosψ−N=mv²/R. N=0 → cosψ=2/3 → ψ=48,19°; nusileidimas R/3.

Kilpos viduje 131,81° nuo apačios; išorėje 48,19° nuo viršaus.

Metimas ir energijų grafikas

0,20 kg kūnas metamas 15 m/s kampu 60°. Rask Eₖ, U po 1 s ir aukščiausiame taške; U=0 metimo vietoje.

Duota: 0,20 kg kūnas metamas 15 m/s kampu 60°.
Rasti: Rask Eₖ, U po 1 s ir aukščiausiame taške; U=0 metimo vietoje.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. m = 0,20 kg; v₀ = 15 m/s. Metimo kampas 60°. U = 0 paleidimo taške. v₀ – pradinis greitis. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis. +y – pasirinkta teigiama vertikalioji kryptis

Užuomina

E=mv₀²/2; viršuje lieka horizontalus greitis.

Pirmas žingsnis

Pradinė mechaninė energija E=mv₀²/2, nes U=0 metimo vietoje. Laikui t aukštis y=v₀sin60°·t−gt²/2.

Visas sprendimas

Pradinė mechaninė energija E=mv₀²/2, nes U=0 metimo vietoje. Laikui t aukštis y=v₀sin60°·t−gt²/2.
E=22,5 J. Ties t=1: y=15sin60°−g/2=8,08538 m.
Potencinė energija U=mgy, kinetinė Eₖ=E−U. Viršuje išnyksta tik vertikali greičio dedamoji; horizontali v₀cos60° lieka, todėl ten Eₖ nėra nulis.
U=mgy=15,8635 J; Eₖ=E−U=6,6365 J.
Viršuje v=15cos60°=7,5 m/s → Eₖ=5,625 J; U=16,875 J.

Po 1 s: Eₖ≈6,637 J, U≈15,863 J; viršuje 5,625 J ir 16,875 J.

Iššūkis: Kilpa ir trintis prieš įvažiavimą

Kūnas paleidžiamas iš rimties aukštyje h. Iki R=2 m lygios kilpos yra 3 m horizontalus ruožas su μ=0,2. Kitur trinties nėra. Koks mažiausias h pilnai kilpai? g=10 m/s².

Duota: Kūnas paleidžiamas iš rimties aukštyje h.
Rasti: Koks mažiausias h pilnai kilpai? g=10 m/s².

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. R = 2 m; g = 10 m/s². Prieš kilpą: 3 m, μ = 0,2. Kilpa lygi. μ – trinties koeficientas

Užuomina

Viršuje ribinė atrama N=0.

Pirmas žingsnis

Viršuje v²=gR. Energija nuo kilpos apačios iki viršaus: Eapačia=mg·2R+mgR/2.

Visas sprendimas

Viršuje v²=gR. Energija nuo kilpos apačios iki viršaus: Eapačia=mg·2R+mgR/2.
Trinties nuostolis prieš kilpą μmg·3.
mgh=(5/2)mgR+0,6mg.

hmin=5,6 m.

Ryšys su kita tema

Energijos pokytį susieję su laiku gausime galią ir naudingumo koeficientą.