Apskritimas, kreivumas ir kampinė kinematika

Kreivaeigiame judėjime greičio vektorius gali kisti ir ilgiu, ir kryptimi. Tangentinis pagreitis aτ=d|v|/dt keičia greičio modulį, normalinis aₙ=v²/ρ keičia kryptį ir nukreiptas į kreivumo centrą. Šios dedamosios statmenos, todėl |a|=√(aτ²+aₙ²). Apskritimui ρ=R. Kampas φ matuojamas radianais: s=Rφ, ω=dφ/dt, ε=dω/dt, v=R|ω|, aₙ=Rω².

Sprendimo eiga

Atskirk kampinius ir linijinius dydžius → apskaičiuok ω, ε → rask aτ ir aₙ → tik tada bendrą a ir jo kampą.

Bendrai aτ=(v·a)/|v|, aₙ=√(|a|²−aτ²), ρ=|v|²/aₙ. aτ čia pasirašytas: neigiamas reiškia lėtėjimą. Kai v=0, liestinę reikia nustatyti iš judėjimo ribos. Pastoviam ε taikyk tas pačias lygtis kaip slenkant, pakeitęs x→φ, v→ω, a→ε. Kampas tarp pagreičio ir greičio tenkina cosβ=aτ/|a|; kampas su į centrą nukreiptu spinduliu — tanβ=|aτ|/aₙ. Su išoriniu spinduliu kampas yra papildomas iki 180°.

Formulės ir žymėjimai

aτ keičia greičio modulį, an — kryptį. ω matuojamas rad/s, ε — rad/s², a — m/s².

ω = \frac{d φ}{d t}, ε = \frac{d ω}{d t}, s = R φ

φ radianais, R — apskritimo spindulys.

v = R | ω |, a_{n} = \frac{v^{2}}{ρ}, a_{τ} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{| \vec{v} |}

ρ — trajektorijos kreivumo spindulys; v≠0.

| \vec{a} | = \sqrt{a_{τ}^{2} + a_{n}^{2}}, ρ = \frac{v^{2}}{a_{n}}

Tangentinė ir normalinė dedamosios statmenos.

a_{τ} = R ε, a_{n} = R ω^{2}

Apskritimas, orientuota liestinė.

ω = ω_{0} + ε t, Δ φ = ω_{0} t + \frac{ε t^{2}}{2}

Tik ε=const.

ω^{2} - ω_{0}^{2} = 2 ε Δ φ, ω = 2 π f, Δ φ = 2 π N

N — apsisukimų skaičius.

E_{k} = \frac{m v^{2}}{2}, v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a_{τ} s

Paskutinė lygtis: pastovus tangentinis pagreitis.

Atverti interaktyvų modelį ↗

Pirmiausia – paprastas pavyzdys

Ant rato krašto pažymėtas taškas per vieną apsisukimą nueina visą apskritimą. Visi rato taškai apsisuka tuo pačiu kampu, tačiau toliau nuo ašies esantis taškas nueina ilgesnį kelią.

Tai greičio ir pagreičio schema, ne atskirų jėgų sąrašas. Kuri sąveika suteikia įcentrinį pagreitį, konkrečios rato sąlygos nepasako. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

v=\omega R

a_n=\omega^2R,\qquad a_\tau=0

Ratas sukasi 120 aps./min. n = 120 aps./min, R = 0,50 m; sukasi tolygiai.

Per sekundę: f = 120/60 = 2 Hz.
Vienam apsisukimui T = 1/2 = 0,50 s.
Kampinis greitis ω = 2π · 2 = 4π ≈ 12,57 rad/s.
Krašto greitis v = ωR = 4π · 0,50 = 2π ≈ 6,28 m/s.
Įcentrinis pagreitis aₙ = ω²R = (4π)² · 0,50 ≈ 78,96 m/s².
Tolygiai sukantis ε = 0 ir aτ = 0, bet aₙ nenulinis, nes nuolat kinta greičio kryptis.

ω ≈ 12,57 rad/s; v ≈ 6,28 m/s; aₙ ≈ 78,96 m/s².

Formulės su paaiškinimais ir visas mokymosi žingsnis →

Uždaviniai

Iš kampo funkcijos

R=0,10 m, φ=2t+t³ (SI). Rask ω, ε, v, aτ, aₙ ir |a| ties t=2 s.

Duota: R=0,10 m, φ=2t+t³ (SI).
Rasti: Rask ω, ε, v, aτ, aₙ ir |a| ties t=2 s.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. R = 0,10 m. φ = 2t + t³; t = 2 s. aₙ: į centrą; aτ: liestine. ω – kampinis greitis. aₙ – į centrą nukreiptas normalinis pagreitis. Fτ – liestinė jėga

Užuomina

Diferencijuok prieš daugindamas iš spindulio.

Pirmas žingsnis

Kampinis greitis ω=dφ/dt, kampinis pagreitis ε=dω/dt. Iš φ=2t+t³ gauname ω=2+3t² ir ε=6t. Tik po išvedimo įstatome t=2.

Visas sprendimas

Kampinis greitis ω=dφ/dt, kampinis pagreitis ε=dω/dt. Iš φ=2t+t³ gauname ω=2+3t² ir ε=6t. Tik po išvedimo įstatome t=2.
ω=2+3t²=14 rad/s; ε=6t=12 rad/s².
Tangentinė ir normalinė pagreičio dedamosios statmenos, todėl jų modulių nesudedame paprastai: |a|=√(aτ²+aₙ²).
v=Rω=1,4 m/s; aτ=Rε=1,2 m/s².
aₙ=Rω²=19,6 m/s²; |a|=√(1,2²+19,6²)=19,637 m/s².

14 rad/s; 12 rad/s²; 1,4 m/s; 1,2 ir 19,6 m/s².

Ventiliatorius sustoja

Ventiliatorius sukasi 900 aps./min, po išjungimo tolygiai lėtėja ir apsisuka 75 kartus. Rask ε ir t.

Duota: Ventiliatorius sukasi 900 aps./min, po išjungimo tolygiai lėtėja ir apsisuka 75 kartus.
Rasti: Rask ε ir t.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. 900 aps./min → 0. 75 apsisukimai. ε: pastovus kamp. pagreitis. ω – kampinis greitis. aₙ – į centrą nukreiptas normalinis pagreitis. Fτ – liestinė jėga. ε – kampinis pagreitis

Užuomina

ω₀=30π rad/s, Δφ=150π rad.

Pirmas žingsnis

Keičiame vienetus: f₀=900/60=15 aps./s, ω₀=2πf₀=30π rad/s. 75 apsisukimai atitinka Δφ=75·2π=150π rad.

Visas sprendimas

Keičiame vienetus: f₀=900/60=15 aps./s, ω₀=2πf₀=30π rad/s. 75 apsisukimai atitinka Δφ=75·2π=150π rad.
0=ω₀²+2εΔφ → ε=−(30π)²/(300π)=−3π rad/s².
Iš ω²=ω₀²+2εΔφ su ω=0 atimame ω₀² ir dalijame iš 2Δφ: ε=−ω₀²/(2Δφ). Laiko lygtis 0=ω₀+εt duoda t=−ω₀/ε.
0=ω₀+εt → t=10 s.
Patikra: vidutinis dažnis 7,5 aps./s, per 10 s — 75 apsisukimai.

ε=−9,425 rad/s²; t=10 s.

Diskai ir kulka

Du diskai ant vienos ašies sukasi 1200 aps./min. Tarpas 0,60 m, skylių kampinis poslinkis 9°. Rask kulkos greitį, kai per skrydį diskai nepadaro pilno apsisukimo.

Duota: Du diskai ant vienos ašies sukasi 1200 aps./min.
Rasti: Rask kulkos greitį, kai per skrydį diskai nepadaro pilno apsisukimo.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Du diskai: 1200 aps./min. Tarpas 0,60 m. Skylių poslinkis 9°.

Užuomina

Kampą paversk radianais arba naudok apsisukimo dalį.

Pirmas žingsnis

Dažnis 1200/60=20 aps./s. Kampą į radianus verčiame 9°·π/180°=π/20. Per kulkos skrydį diskas pasisuka būtent šiuo kampu.

Visas sprendimas

Dažnis 1200/60=20 aps./s. Kampą į radianus verčiame 9°·π/180°=π/20. Per kulkos skrydį diskas pasisuka būtent šiuo kampu.
f=20 s⁻¹, ω=40π rad/s; Δφ=π/20.
Skrydžio trukmė t=(π/20)/(40π)=1/800 s. Kulka per šį laiką nuskrenda d=0,60 m, todėl v=0,60/(1/800)=0,60·800.
t=Δφ/ω=1/800 s.
v=d/t=480 m/s. Be sąlygos apie apsisukimus galimi Δφ+2πk ir mažesni greičiai.

480 m/s.

Metimo kreivumas

Horizontaliai metama 10 m/s. Po 1 s rask aτ, aₙ ir ρ.

Duota: Horizontaliai metama 10 m/s.
Rasti: Metimo kreivumas

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. v₀ = 10 m/s horizontaliai. t = 1 s; ρ: kreivumo R. aτ, aₙ: pagreičio dalys. aₙ – į centrą nukreiptas normalinis pagreitis. ρ – tankis. v₀ – pradinis greitis. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis. +y – pasirinkta teigiama vertikalioji kryptis

Užuomina

Naudok v=(10;−g), a=(0;−g).

Pirmas žingsnis

Po 1 s v=(10;−9,81) m/s, a=(0;−9,81) m/s². Tangentinė dedamoji yra projekcija į greičio kryptį: aτ=(v·a)/|v|.

Visas sprendimas

Po 1 s v=(10;−9,81) m/s, a=(0;−9,81) m/s². Tangentinė dedamoji yra projekcija į greičio kryptį: aτ=(v·a)/|v|.
|v|=√(100+9,81²)=14,008 m/s.
Skaliarinė sandauga v·a=9,81². Normalinė dedamoji aₙ=|v×a|/|v|=10·9,81/|v|. Kreivumo spindulys iš aₙ=v²/ρ: ρ=v²/aₙ.
aτ=g²/|v|≈6,870 m/s²; aₙ=10g/|v|≈7,003 m/s².
ρ=|v|²/aₙ=|v|³/(10g)≈28,02 m. Patikra: aτ²+aₙ²=g².

aτ≈6,870; aₙ≈7,003 m/s²; ρ≈28,02 m.

Greitis iš energijos

10 g taškas juda R=0,064 m apskritimu iš rimties, pastoviu aτ. Po dviejų apsisukimų Eₖ=0,8 mJ. Rask aτ.

Duota: 10 g taškas juda R=0,064 m apskritimu iš rimties, pastoviu aτ.
Rasti: Rask aτ.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. m = 10 g; R = 0,064 m. 2 apsisukimai iš rimties. Eₖ = 0,8 mJ. ω – kampinis greitis. aₙ – į centrą nukreiptas normalinis pagreitis. Fτ – liestinė jėga

Užuomina

v²=2aτs, o s=4πR.

Pirmas žingsnis

Paverčiame į SI: m=0,010 kg, Eₖ=0,0008 J. Iš Eₖ=mv²/2 dauginame iš 2 ir dalijame iš m: v²=2Eₖ/m.

Visas sprendimas

Paverčiame į SI: m=0,010 kg, Eₖ=0,0008 J. Iš Eₖ=mv²/2 dauginame iš 2 ir dalijame iš m: v²=2Eₖ/m.
Eₖ=mv²/2, todėl v²=2Eₖ/m=0,16 m²/s².
Du apsisukimai reiškia kelią s=2·2πR=4πR. Pastoviam tangentiniam pagreičiui v²=v₀²+2aτs; iš rimties v₀=0, taigi aτ=v²/(2s).
s=4π·0,064=0,80425 m.
aτ=v²/(2s)=0,09947 m/s². Be pastovaus aτ prielaidos rastume tik pagal kelią vidutinį tangentinį pagreitį.

0,09947 m/s².

Iššūkis: Stabdomas diskas ir pagreičio riba

R=0,5 m disko pradinis ω=8 rad/s. Pastovus ε=−2 rad/s². Kada iki sustojimo bendras krašto pagreitis sumažėja iki 5 m/s²? Kiek apsisukimų iki tada?

Duota: R=0,5 m disko pradinis ω=8 rad/s.
Rasti: Kada iki sustojimo bendras krašto pagreitis sumažėja iki 5 m/s²? Kiek apsisukimų iki tada?

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. R = 0,5 m; ω₀ = 8 rad/s. ε = −2 rad/s². Ieškoma |a| = 5 m/s². ω – kampinis greitis. aₙ – į centrą nukreiptas normalinis pagreitis. Fτ – liestinė jėga. ε – kampinis pagreitis

Užuomina

Normalinį ir tangentinį pagreičius sudėk statmenai.

Pirmas žingsnis

aτ=|ε|R=1 m/s²; aₙ=ω²R.

Visas sprendimas

aτ=|ε|R=1 m/s²; aₙ=ω²R.
5²=1²+ω⁴/4, todėl ω=96^(1/4) rad/s.
t=(8−ω)/2; φ=8t−t², apsisukimų skaičius φ/(2π).

t ≈ 2,435 s; n ≈ 2,157 apsisukimo.

Ryšys su kita tema

Kinematika aprašė judėjimą; Niutono dėsniai paaiškins, kokios jėgos jį sukelia.