Judėjimo funkcijos: išvestinė ir integralas

Padėtis r(t) atsako „kur?“, greitis v = dr/dt — „kaip greitai ir kuria kryptimi keičiasi padėtis?“, pagreitis a = dv/dt — „kaip keičiasi greitis?“. Išvestinė yra grafiko nuolydis viename taške. Integralas sumuoja mažus pokyčius: Δr = ∫v dt. Kelias s = ∫|v| dt skaičiuoja visą nueitą atstumą, todėl apsisukus jis nesumažėja. Vidutinis greičio vektorius Δr/Δt ir vidutinis kelio greitis s/Δt gali skirtis.

Sprendimo eiga

Diferencijuok simboliškai → įrašyk laiką → integruodamas pritaikyk pradines sąlygas → keliui rask krypties pasikeitimus.

Laipsniui d(tⁿ)/dt = ntⁿ⁻¹, eksponentei d(eᵏᵗ)/dt = keᵏᵗ, kosinusui d(cos ωt)/dt = −ω sin ωt. Integruojant laipsnį ∫tⁿdt = tⁿ⁺¹/(n+1)+C, n ≠ −1. Konstanta C parenkama iš pradinės sąlygos. Jei v(t) keičia ženklą, kelio integralą skaidyk ties v=0. Greičio modulio minimumą patogu rasti minimizuojant v²; vₓ minimumas nėra tas pats kaip |v| minimumas.

Formulės ir žymėjimai

r — padėties vektorius (m), t — laikas (s), v — greitis (m/s), a — pagreitis (m/s²), s — kelias (m).

\vec{v} = \frac{d \vec{r}}{d t}, \vec{a} = \frac{d \vec{v}}{d t} = \frac{d^{2} \vec{r}}{d t^{2}}

Išvestinė — momentinis kitimo greitis.

Δ \vec{r} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{v} d t, s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} | \vec{v} | d t

Poslinkis ir kelias. Keičiant kryptį kelią skaidyti ties v=0.

\bar{\vec{v}} = \frac{Δ \vec{r}}{Δ t}, \bar{\vec{a}} = \frac{Δ \vec{v}}{Δ t}

Vidutiniai vektoriniai dydžiai.

\frac{d (t^{n})}{d t} = n t^{n - 1}, \int t^{n} d t = \frac{t^{n + 1}}{n + 1} + C

Integralui n≠−1; C nustatoma pradine sąlyga.

\frac{d (e^{k t})}{d t} = k e^{k t}, \frac{d (\cos ω t)}{d t} = - ω \sin ω t

Grandinės taisyklė; k ir ω pastovūs.

{\vec{F}}_{a t s} = m \vec{a}

Jungiamajam uždaviniui: pastovios masės kūno atstojamoji.

Atverti interaktyvų modelį ↗

Pirmiausia – paprastas pavyzdys

Vežimėlis pradeda važiuoti 2 m/s greičiu. Kiekvieną sekundę jo greitis padidėja dar 3 m/s. Vadinasi, pagreitis yra 3 m/s². Formules pasirenkame pagal tai, ar greitis kinta ir ar duotas laikas.

Tai padėčių ir greičių schema. Judėjimą sukeliančių jėgų sąlyga nenurodo, todėl jų dydžių nepriskiriame. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

v=2+3t

\Delta x=2t+\frac{3t^2}{2}

Vežimėlis po 4 sekundžių. v₀ = 2 m/s, a = 3 m/s², t = 4 s.

Pagreitis pastovus, todėl tinka v = v₀ + at.
Greitis padidėja at = 3 · 4 = 12 m/s.
Pridedame pradinį: v = 2 + 12 = 14 m/s.
Poslinkį sudaro dvi dalys: v₀t = 2 · 4 = 8 m ir at²/2 = 3 · 16/2 = 24 m.
Sudedame: Δx = 8 + 24 = 32 m.
Patikra kitu būdu: vidutinis greitis (2 + 14)/2 = 8 m/s; 8 · 4 = 32 m.

v = 14 m/s; Δx = 32 m.

Formulės su paaiškinimais ir visas mokymosi žingsnis →

Uždaviniai

Momentinis ir vidutinis

x(t) = 1 + 3t + 2t² (SI). Rask v(2), a(2), vidutinį greitį ir pagreitį intervale [3;5] s.

Duota: x(t) = 1 + 3t + 2t² (SI).
Rasti: Rask v(2), a(2), vidutinį greitį ir pagreitį intervale [3;5] s.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. x = 1 + 3t + 2t². t = 2 s; [3;5] s. Kreivė rodo tik funkcijos pobūdį; tikslius taškus apskaičiuok pagal lygtį.

Užuomina

Vidutinį dydį skaičiuok tarp intervalo galų.

Pirmas žingsnis

Greičio formulė v=x′, pagreičio a=v′. Išvedame narius atskirai: 1′=0, (3t)′=3, (2t²)′=4t.

Visas sprendimas

Greičio formulė v=x′, pagreičio a=v′. Išvedame narius atskirai: 1′=0, (3t)′=3, (2t²)′=4t.
v = 3+4t, a = 4 → v(2)=11 m/s, a(2)=4 m/s².
Vidurkiams laiko tarpas Δt=5−3=2 s. Atskirai x(5)=1+15+50=66, x(3)=1+9+18=28. Vidutinis greitis yra padėčių skirtumas padalytas iš 2 s.
x(5)=66 m, x(3)=28 m → v̄=(66−28)/2=19 m/s.
v(5)=23, v(3)=15 → ā=(23−15)/2=4 m/s².

11 m/s; 4 m/s²; 19 m/s; 4 m/s².

Kelias nėra poslinkis

x(t)=t²−4t (SI), 0≤t≤5 s. Rask poslinkį ir kelią.

Duota: x(t)=t²−4t (SI), 0≤t≤5 s.
Rasti: Rask poslinkį ir kelią.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. x = t² − 4t. Apsisukimas ties t = 2 s. Intervalas 0…5 s. Kreivė rodo tik funkcijos pobūdį; tikslius taškus apskaičiuok pagal lygtį.

Užuomina

v=0 parodo apsisukimą.

Pirmas žingsnis

Poslinkis yra galutinė padėtis minus pradinė. Keliui būtina rasti krypties keitimo momentą, todėl sprendžiame v=x′=2t−4=0.

Visas sprendimas

Poslinkis yra galutinė padėtis minus pradinė. Keliui būtina rasti krypties keitimo momentą, todėl sprendžiame v=x′=2t−4=0.
v=2t−4; nulis ties t=2 s. x(0)=0, x(2)=−4 m, x(5)=5 m.
Kai t<2, v<0; kai t>2, v>0. Todėl kelias s=|x(2)−x(0)|+|x(5)−x(2)|=|−4|+|5−(−4)|=4+9.
Δx=x(5)−x(0)=5 m.
Iki apsisukimo nueita 4 m, vėliau 9 m → s=13 m.

Poslinkis +5 m, kelias 13 m.

Iš pagreičio į padėtį

a(t)=(3t²; −2) (SI), v(0)=0, r(0)=0. Rask r(2) ir poslinkį per antrą sekundę.

Duota: a(t)=(3t²; −2) (SI), v(0)=0, r(0)=0.
Rasti: Rask r(2) ir poslinkį per antrą sekundę.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. a = (3t²; −2) m/s². r(0) = 0; v(0) = 0. t = 1 s → 2 s. v₀ – pradinis greitis. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis. +y – pasirinkta teigiama vertikalioji kryptis

Užuomina

„Per antrą sekundę“ reiškia [1;2], o ne [0;2].

Pirmas žingsnis

Integruojame atskiras projekcijas: vₓ=∫3t²dt=t³+C₁, vᵧ=∫(−2)dt=−2t+C₂. Iš v(0)=0 abi konstantos lygios nuliui.

Visas sprendimas

Integruojame atskiras projekcijas: vₓ=∫3t²dt=t³+C₁, vᵧ=∫(−2)dt=−2t+C₂. Iš v(0)=0 abi konstantos lygios nuliui.
Integruojame: v=(t³; −2t), r=(t⁴/4; −t²).
Dar integruojame: x=∫t³dt=t⁴/4+C₃, y=∫(−2t)dt=−t²+C₄. Iš r(0)=0 vėl abi konstantos nulinės. Antroji sekundė reiškia intervalą nuo 1 iki 2 s, todėl atimame r(2)−r(1).
r(2)=(4;−4) m, |r(2)|=4√2 m.
r(1)=(0,25;−1), todėl Δr₂=(3,75;−3) m; modulis √23,0625=4,802 m.

r(2)=(4;−4) m; antrą sekundę (3,75;−3) m.

Kosinusas ir eksponentė

Rask v ir a: (a) x=b cosωt; (b) x=k(e^ωt+e^−ωt)/2. (a) atveju rask kelią per vieną periodą.

Duota: Rask v ir a: (a) x=b cosωt; (b) x=k(e^ωt+e^−ωt)/2.
Rasti: Rask v ir a: (a) x=b cosωt; (b) x=k(e^ωt+e^−ωt)/2. (a) atveju rask kelią per vieną periodą.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. x = b cos(ωt). x = k cosh(ωt). b, k: ilgio masteliai. ω – kampinis greitis Kreivė rodo tik funkcijos pobūdį; tikslius taškus apskaičiuok pagal lygtį.

Užuomina

Taikyk grandinės taisyklę; per periodą grįžtama į pradžią.

Pirmas žingsnis

Išorinę funkciją diferencijuojant reikia padauginti iš argumento ωt išvestinės ω: (cosωt)′=−ωsinωt, (exp(ωt))′=ωexp(ωt).

Visas sprendimas

Išorinę funkciją diferencijuojant reikia padauginti iš argumento ωt išvestinės ω: (cosωt)′=−ωsinωt, (exp(ωt))′=ωexp(ωt).
(a) v=−bω sinωt, a=−bω² cosωt=−ω²x.
Eksponentei su minusu: (exp(−ωt))′=−ωexp(−ωt). Antrąkart išvedant šio dėmens du minusai sudauginami į pliusą. Kosinusiniam judėjimui keturios kelio dalys yra po b.
Kai b>0, per T kūnas nueina b→0→−b→0→b, todėl s=4b, nors Δx=0.
(b) v=kω(e^ωt−e^−ωt)/2; a=kω²(e^ωt+e^−ωt)/2=ω²x.

(a) a=−ω²x, s=4b; (b) a=+ω²x.

Greitėjimo minimumas ir jėga

2 kg kūnui x=0,25t⁴−9t² (SI). Rask mažiausią vₓ intervale [0;5] ir ten veikiančią atstojamąją jėgą.

Duota: 2 kg kūnui x=0,25t⁴−9t² (SI).
Rasti: Rask mažiausią vₓ intervale [0;5] ir ten veikiančią atstojamąją jėgą.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. m = 2 kg. x = 0,25t⁴ − 9t². Ieškoma vₓ minimumo. Kreivė rodo tik funkcijos pobūdį; tikslius taškus apskaičiuok pagal lygtį.

Užuomina

vₓ ekstremumą rask iš aₓ=0 ir palygink intervalo galus.

Pirmas žingsnis

Išvedame padėtį: (0,25t⁴)′=t³, (−9t²)′=−18t. Greičio minimumui tiriame jo išvestinę aₓ=3t²−18.

Visas sprendimas

Išvedame padėtį: (0,25t⁴)′=t³, (−9t²)′=−18t. Greičio minimumui tiriame jo išvestinę aₓ=3t²−18.
vₓ=t³−18t, aₓ=3t²−18. Vidinis taškas t=√6 s.
Lygtis 3t²−18=0 duoda t²=6 ir intervale t≥0 paliekame √6. Prieš √6 pagreitis neigiamas, po jo teigiamas; dar palyginame su abiejų intervalo galų greičiais.
vₓ(0)=0, vₓ(√6)=−12√6≈−29,39, vₓ(5)=35 m/s. Taigi mažiausia projekcija −29,39 m/s.
Tame taške a=0, todėl F_ats=ma=0. Tai nereiškia, kad kūnas stovi; |v| minimumas šiame intervale yra 0.

vₓ,min=−29,39 m/s ties 2,449 s; F_ats=0.

Iššūkis: Sustojimai, kelias ir vidutinis greitis

x(t) = t³ − 6t² + 9t (m), 0 ≤ t ≤ 5 s. Rask sustojimo laikus, kelią, poslinkį ir vidutinį kelinį greitį.

Duota: x(t) = t³ − 6t² + 9t (m), 0 ≤ t ≤ 5 s.
Rasti: Rask sustojimo laikus, kelią, poslinkį ir vidutinį kelinį greitį.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. x = t³ − 6t² + 9t. Sustojimai: v = 0. Intervalas 0…5 s. Kreivė rodo tik funkcijos pobūdį; tikslius taškus apskaičiuok pagal lygtį.

Užuomina

Kelias – padėties pokyčių modulių suma.

Pirmas žingsnis

v = 3(t−1)(t−3), todėl kūnas sustoja ties 1 s ir 3 s.

Visas sprendimas

v = 3(t−1)(t−3), todėl kūnas sustoja ties 1 s ir 3 s.
x(0)=0, x(1)=4, x(3)=0, x(5)=20 m. Kryptis kinta abiem sustojimais.
Kelias s = 4 + 4 + 20 = 28 m. Poslinkis 20 m; vidutinis kelinis greitis s/5.

t = 1 ir 3 s; s = 28 m; Δx = 20 m; vidutinis kelinis greitis 5,6 m/s.

Ryšys su kita tema

Iš padėties, greičio ir pagreičio ryšių dabar sudarysime metimo lygtis.