Inercijos momentas ir sukimo dinamika

Inercijos momentas I=∫r⊥²dm matuoja, kaip sunku keisti sukimąsi apie konkrečią ašį. Toliau nuo ašies esanti masė svarbesnė kvadratiškai. Jėgos momentas M=r×F, modulis rFsinβ. Apie nejudamą pagrindinę ašį ΣM=Iε. Kinetinė sukimosi energija Iω²/2, impulso momentas L=Iω. Tavo lapuose inercijos momentui dažnai naudojama J; šiame kurse I, kad nesimaišytų su jėgos impulsu.

Sprendimo eiga

Nurodyk ašį → pasirink I arba jį suskaičiuok → rask pasirašytą momentų sumą → ε → kinematika ir energija.

Vienalyčiam diskui ar pilnaviduriam cilindrui I= mR²/2; plonam lankui mR²; pilnaviduriam rutuliui 2mR²/5; strypui per centrą ml²/12, per galą ml²/3. Lygiagrečių ašių teorema I=I_cm+md² taikoma lygiagrečioms ašims, kai viena eina per masės centrą. Sukimo darbas A=∫M dφ, galia P=Mω. Žemę vertinant vienalyčiu rutuliu gaunamas modelinis I, nes tikroji tankio sandara nevienalytė.

Formulės ir žymėjimai

I — inercijos momentas (kg·m²), M — jėgos momentas (N·m), L — impulso momentas (kg·m²/s). ω ir ε ieškok ir 4 skyriaus formulėse.

\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}, | M | = r F \sin β

Jėgos petys d=r sinβ.

I = \int r_{⊥}^{2} d m, I_{O} = I_{c m} + m d^{2}

Steinerio teorema: lygiagrečios ašys, viena per masės centrą.

I_{d i s k} = \frac{m R^{2}}{2}, I_{r u t} = \frac{2 m R^{2}}{5}, I_{l a n k} = m R^{2}

Vienalyčiai kūnai; centrinės simetrijos ašys.

I_{s t r, c m} = \frac{m l^{2}}{12}, I_{s t r, g a l} = \frac{m l^{2}}{3}

Ašys statmenos vienalyčiam strypui.

Σ M_{z} = I_{z} ε, M_{t r} = I \frac{ω_{2} - ω_{1}}{Δ t}

Nejudama pagrindinė ašis; antroji lygtis pastoviam momentui.

E_{s u k} = \frac{I ω^{2}}{2}, L = I ω, A = \frac{I}{2} (ω_{2}^{2} - ω_{1}^{2})

Stabdymo darbas neigiamas.

Δ φ = \frac{ω_{1} + ω_{2}}{2} Δ t, N = \frac{Δ φ}{2 π}

Tolygiai kintantis sukimas; δ=(I−I_tašk)/I_tašk pagal uždavinio apibrėžimą.

Atverti interaktyvų modelį ↗

Pirmiausia – paprastas pavyzdys

Duris lengviau atidaryti stumiant toliau nuo vyrių. Jėgos momentas aprašo sukamąjį jėgos poveikį, o inercijos momentas – kaip sunku pakeisti kūno sukimąsi apie pasirinktą ašį.

Jėga liestine aukštyn ties dešiniuoju kraštu suka prieš laikrodį. Sunkis ir ašies reakcija veikia per centrą, todėl apie šią ašį jų momentai nuliniai. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

R_y+F-mg=0,\qquad R_x=0

FR=I\varepsilon,\qquad I=\frac{mR^2}{2}

Liestinė jėga įsuka diską. m = 2 kg, R = 0,20 m, F = 5 N; trinties nėra; diskas pradžioje nejuda.

Jėga liestinė: M = FR = 5 · 0,20 = 1 N · m.
Disko I = mR²/2 = 2 · 0,20²/2 = 0,040 kg · m².
Rašome M = Iε: 1 = 0,040ε.
Daliname abi puses iš I: ε = 1/0,040 = 25 rad/s².
Per 3 s: ω = ω₀ + εt = 0 + 25 · 3 = 75 rad/s.
Jei prieš sukimą veiktų trinties momentas Mtr, naudotume FR − Mtr = Iε.

I = 0,040 kg · m²; ε = 25 rad/s²; ω = 75 rad/s.

Formulės su paaiškinimais ir visas mokymosi žingsnis →

Uždaviniai

Rutuliai ant strypo

Du pilnaviduriai 1 kg, R=0,05 m rutuliai, centrų atstumas 0,50 m. Lengvas strypas. Rask I apie statmeną ašį per vidurį ir paklaidą laikant rutulius taškais. Naudok δ=(I−I_tašk)/I_tašk.

Duota: Du pilnaviduriai 1 kg, R=0,05 m rutuliai, centrų atstumas 0,50 m.
Rasti: Rask I apie statmeną ašį per vidurį ir paklaidą laikant rutulius taškais. Naudok δ=(I−I_tašk)/I_tašk.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Du rutuliai po 1 kg. Kiekvieno R = 0,05 m. Statmena ašis per vidurį.

Užuomina

Kiekvienam rutuliui pridėk savo ir orbitinį I.

Pirmas žingsnis

Abiejų rutulių centrai yra 0,50/2=0,25 m nuo ašies. Kiekvienam taikome Steinerio teoremą I=I_cm+md², o pilnaviduriam rutuliui I_cm=2mR²/5.

Visas sprendimas

Abiejų rutulių centrai yra 0,50/2=0,25 m nuo ašies. Kiekvienam taikome Steinerio teoremą I=I_cm+md², o pilnaviduriam rutuliui I_cm=2mR²/5.
I=2[(2/5)mR²+m(0,25)²]=2(0,001+0,0625)=0,127 kg·m².
Vieno rutulio savasis momentas 2·1·0,05²/5=0,001, perkėlimo dėmuo 1·0,25²=0,0625. Sudedame ir dauginame iš 2. Paklaidos vardiklis pagal sąlygą yra taškų modelio I.
I_tašk=2·1·0,25²=0,125 kg·m².
δ=(0,127−0,125)/0,125=0,016=1,6 %. Jei vardiklis būtų tikras I, procentas būtų 1,575 %.

I=0,127 kg·m²; δ=1,6 %.

Diską greitina jėga

0,50 kg diskas R=0,20 m. ω=2+8t (SI). Kokia tangentinė jėga krašte, jei trinties nėra?

Duota: 0,50 kg diskas R=0,20 m.
Rasti: Kokia tangentinė jėga krašte, jei trinties nėra?

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. m = 0,50 kg; R = 0,20 m. ω = 2 + 8t rad/s. Fτ: kraštą veikianti jėga. ω – kampinis greitis. aₙ – į centrą nukreiptas normalinis pagreitis. Fτ – liestinė jėga

Užuomina

ε yra ω funkcijos nuolydis.

Pirmas žingsnis

Vienalytis diskas: I=mR²/2. Kampinis pagreitis yra ω išvestinė: ε=d(2+8t)/dt=8.

Visas sprendimas

Vienalytis diskas: I=mR²/2. Kampinis pagreitis yra ω išvestinė: ε=d(2+8t)/dt=8.
I=mR²/2=0,010 kg·m²; ε=8 rad/s².
Sukimo dinamika M=Iε. Krašte tangentiškai veikiančiai jėgai M=FR, todėl FR=Iε ir F=Iε/R.
M=Iε=0,080 N·m.
F=M/R=0,40 N. Pradinė ω reikšmė pagreičiui įtakos neturi.

0,40 N.

Smagračio stabdymas

I=2 kg·m², dažnis sumažėja nuo 300 iki 180 aps./min per 60 s tolygiai. Rask ε, momentą, stabdymo darbą ir apsisukimus.

Duota: I=2 kg·m², dažnis sumažėja nuo 300 iki 180 aps./min per 60 s tolygiai.
Rasti: Rask ε, momentą, stabdymo darbą ir apsisukimus.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. I = 2 kg·m²; Δt = 60 s. 300 → 180 aps./min. Stabdymo momentas prieš ω. ω – kampinis greitis. aₙ – į centrą nukreiptas normalinis pagreitis. Fτ – liestinė jėga

Užuomina

ω₁=10π, ω₂=6π rad/s.

Pirmas žingsnis

Paverčiame dažnius: 300 aps./min=5 s⁻¹ ir 180 aps./min=3 s⁻¹. Todėl ω₁=10π, ω₂=6π. Tolygiam lėtėjimui ε=(ω₂−ω₁)/60.

Visas sprendimas

Paverčiame dažnius: 300 aps./min=5 s⁻¹ ir 180 aps./min=3 s⁻¹. Todėl ω₁=10π, ω₂=6π. Tolygiam lėtėjimui ε=(ω₂−ω₁)/60.
ε=(6π−10π)/60=−π/15 rad/s²; M=Iε=−2π/15=−0,41888 N·m.
Stabdymo darbas lygus sukimosi energijos pokyčiui: A=(I/2)(36π²−100π²). Apsisukimams naudojame vidutinį dažnį (5+3)/2=4 s⁻¹, nes lėtėjimas tolygus.
A=I(ω₂²−ω₁²)/2=−64π²≈−631,65 J.
N=[(5+3)/2]·60=240 aps. Patikra A=M·2πN.

−0,20944 rad/s²; −0,41888 N·m; −631,65 J; 240 aps.

Impulso momentas iš energijos

Veleno Eₖ=60 J, f=5 s⁻¹. Rask L ir I.

Duota: Veleno Eₖ=60 J, f=5 s⁻¹.
Rasti: Rask L ir I.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Eₖ = 60 J; f = 5 s⁻¹. L: impulso momentas. I: inercijos momentas. ω – kampinis greitis. aₙ – į centrą nukreiptas normalinis pagreitis. Fτ – liestinė jėga

Užuomina

Eₖ=Iω²/2=Lω/2.

Pirmas žingsnis

Naudojame dvi formules Eₖ=Iω²/2 ir L=Iω. Pašaliname I: Eₖ=Lω/2, todėl L=2Eₖ/ω.

Visas sprendimas

Naudojame dvi formules Eₖ=Iω²/2 ir L=Iω. Pašaliname I: Eₖ=Lω/2, todėl L=2Eₖ/ω.
ω=2πf=10π rad/s.
Apskaičiavę L, iš L=Iω dalijame iš ω ir randame I. Vien tik energijos duomens be kampinio greičio šiems dviem dydžiams nepakaktų.
L=2Eₖ/ω=12/π=3,8197 kg·m²/s.
I=L/ω=1,2/π²=0,12159 kg·m².

L=3,820 kg·m²/s; I=0,12159 kg·m².

Neįmanomi duomenys

R=0,20 m diską krašte suka 98,1 N jėga, priešinasi 98,1 N·m trinties momentas. Teigiama, kad ε=+100 rad/s² jėgos momento kryptimi. Ar įmanoma teigiama disko masė?

Duota: R=0,20 m diską krašte suka 98,1 N jėga, priešinasi 98,1 N·m trinties momentas.
Rasti: Ar įmanoma teigiama disko masė?

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. R = 0,20 m; Fτ = 98,1 N. Trinties momentas 98,1 N·m. Tikrinamas ε = +100 rad/s². N prie kūno rodyklės – atramos reakcija; prie skaičiaus N – niutonas, jėgos vienetas. ω – kampinis greitis. aₙ – į centrą nukreiptas normalinis pagreitis. Fτ – liestinė jėga. ε – kampinis pagreitis

Užuomina

Palygink momentus prieš spręsdamas masę.

Pirmas žingsnis

Teigiama kryptis sutampa su varančiu jėgos momentu. Jis FR, trinties momentas priešingas, todėl M_ats=FR−M_tr.

Visas sprendimas

Teigiama kryptis sutampa su varančiu jėgos momentu. Jis FR, trinties momentas priešingas, todėl M_ats=FR−M_tr.
Varantis momentas FR=19,62 N·m. Atstojamasis 19,62−98,1=−78,48 N·m.
Dinamika M_ats=Iε, diskui I=mR²/2. Jei ε teigiamas ir m teigiama, dešinė pusė turi būti teigiama. Neigiamas kairės rezultatas iškart rodo prieštaravimą.
Lygtis (mR²/2)·100=−78,48 duotų m=−39,24 kg.
Fizinė išvada: pateikti duomenys nesuderinami su teigiamu pagreičiu pasirinkta kryptimi. Galimas lėtėjimas, bet negalima savavališkai „pataisyti“ skaičiaus.

Teigiamos masės sprendinio nėra. Tai originalo 5.3 sąlygos problema.

Iššūkis: Diskas, žiedas ir stabdymas

2 kg R=0,5 m diskas ir 1 kg tokio pat spindulio žiedas standžiai sujungti. Iš rimties juos 4 s suka 2 N·m momentas; paskui stabdo 1 N·m momentas. Rask didžiausią ω ir visą posūkį iki sustojimo.

Duota: 2 kg R=0,5 m diskas ir 1 kg tokio pat spindulio žiedas standžiai sujungti.
Rasti: Rask didžiausią ω ir visą posūkį iki sustojimo.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Diskas 2 kg + žiedas 1 kg. R = 0,5 m; 2 N·m 4 s. Po to stabdo 1 N·m. N prie kūno rodyklės – atramos reakcija; prie skaičiaus N – niutonas, jėgos vienetas. ω – kampinis greitis. aₙ – į centrą nukreiptas normalinis pagreitis. Fτ – liestinė jėga

Užuomina

Abiejų kūnų I sudėk.

Pirmas žingsnis

I=MR²/2+mR²=0,5 kg·m². Greitinant ε=4 rad/s².

Visas sprendimas

I=MR²/2+mR²=0,5 kg·m². Greitinant ε=4 rad/s².
Po 4 s ω=16 rad/s, posūkis 32 rad. Stabdant |ε|=2 rad/s², trukmė 8 s.
Stabdymo posūkis ω²/(2|ε|)=64 rad.

ωmax=16 rad/s; visas posūkis 96 rad.

Ryšys su kita tema

Inercijos momentas leis apskaičiuoti masyvaus skridinio ir riedančio kūno judėjimą.