Gravitacija ir orbitos

Sferiškai simetriško kūno išorėje gravitacijos jėga tokia, lyg visa masė būtų centre: F=GMm/r². Čia r yra atstumas iki centro, ne aukštis virš paviršiaus. U=−GMm/r pasirenkant nulį begalybėje. Apskritiminei orbitai gravitacija suteikia normalinį pagreitį: GM/r²=v²/r. Pabėgimo greitis leidžia pasiekti begalybę su ribiniu nuliniu greičiu, todėl jis didesnis už apskritiminės orbitos greitį.

Sprendimo eiga

Atstumą matuok nuo centro → pasirink gravitacijos ir energijos arba radialinio II dėsnio lygtį → patikrink modelio ribas.

v_orb=√(GM/r), T=2π√(r³/GM), v_pab=√(2GM/r). Tai idealus dviejų kūnų modelis, ignoruojantis atmosferą ir planetos sukimąsi. Keplerio dėsniai: orbita elipsė su centriniu kūnu židinyje; per vienodus laikus spindulys nušluoja vienodus plotus; T² proporcingas didžiojo pusašio kubui. Plono sferinio sluoksnio viduje g=0, tačiau vienalyčio pilno rutulio viduje g=GMr/R³, nes traukia vidinė masė. Taigi vienalyčiame rutulyje g tiesiškai mažėja centro link.

Formulės ir žymėjimai

G=6,6743·10⁻¹¹ N·m²/kg²; R — kūno spindulys, r — atstumas nuo centro. Keplerio I: elipsė; II: vienodi plotai per vienodus laikus.

F = \frac{G M m}{r^{2}}, g = \frac{G M}{r^{2}}, U = - \frac{G M m}{r}

Sferiškai simetriško kūno išorė; r nuo centro, U(∞)=0.

\frac{G M}{r^{2}} = \frac{v^{2}}{r}, v_{o r b} = \sqrt{\frac{G M}{r}}

Apskritiminė orbita; gravitacija yra įcentrinė atstojamoji.

T = 2 π \sqrt{\frac{r^{3}}{G M}}, v_{p a b} = \sqrt{\frac{2 G M}{r}}

Idealus dviejų kūnų modelis be atmosferos.

T^{2} = \frac{4 π^{2} a^{3}}{G M}

Keplerio III dėsnis elipsei; a — didysis pusašis.

M (r) = M \frac{r^{3}}{R^{3}}, g (r) = \frac{G M}{R^{3}} r = g_{0} \frac{r}{R}

Vienalyčio pilno rutulio vidus; plono sferinio sluoksnio viduje g=0.

a_{x} = - \frac{g_{0}}{R} x

Tunelis per vienalyčio rutulio centrą.

Atverti interaktyvų modelį ↗

Apskritiminė orbita per jėgų lygtį

Palydovą traukia tik gravitacija; ji suteikia įcentrinį pagreitį. Iš GMm/r² = mv²/r sutrumpiname m ir vieną r: v² = GM/r. Kai GM = 4 · 10¹⁴ m³/s² ir r = 10⁷ m nuo planetos centro, v = √(4 · 10⁷) ≈ 6325 m/s. r nėra aukštis virš paviršiaus.

\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r},\qquad v=\sqrt{\frac{GM}{r}}

Pasitikrink: išvardyk prielaidas, kryptis ir galutinio dydžio vienetą, tik tada pereik prie bendresnių lygčių.

Pakartoti šiam sprendimui reikalingą pagrindą →

Uždaviniai

Dvigubas spindulys

Palydovas perkeliamas iš r į 2r apskritiminę orbitą. Kaip pakinta g, v ir T?

Duota: Palydovas perkeliamas iš r į 2r apskritiminę orbitą.
Rasti: Dvigubas spindulys

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. I orbita: spindulys r. II orbita: spindulys 2r. Abi apskritiminės. F_g – visuotinės traukos jėga

Užuomina

Palygink r laipsnius.

Pirmas žingsnis

Abiem orbitoms tas pats GM. Todėl santykiuose konstanta susiprastina; r₂/r₁=2. Formulės g=GM/r², v=√(GM/r), T=2π√(r³/GM).

Visas sprendimas

Abiem orbitoms tas pats GM. Todėl santykiuose konstanta susiprastina; r₂/r₁=2. Formulės g=GM/r², v=√(GM/r), T=2π√(r³/GM).
g∝r⁻² → g₂/g₁=1/4.
Į kiekvieną santykį statome 2: g₂/g₁=(1/2)², v₂/v₁=√(1/2), T₂/T₁=√(2³). Paskutinė šaknis √8=2√2.
v∝r⁻¹ᐟ² → v₂/v₁=1/√2.
T∝r³ᐟ² → T₂/T₁=2√2. Didesnėje orbitoje judama lėčiau, nors kelias didesnis.

1/4; 1/√2; 2√2.

Orbita ties Žeme

GM=3,986·10¹⁴ m³/s², r=7,0·10⁶ m. Rask v ir T.

Duota: GM=3,986·10¹⁴ m³/s², r=7,0·10⁶ m.
Rasti: Rask v ir T.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. GM = 3,986·10¹⁴ m³/s². r = 7,0·10⁶ m. v: liestinis greitis. F_g – visuotinės traukos jėga

Užuomina

Gravitacija yra įcentrinė atstojamoji, ne papildoma jėga.

Pirmas žingsnis

Gravitacija suteikia įcentrinį pagreitį: GMm/r²=mv²/r. Sutrumpinę m ir vieną r gauname v²=GM/r.

Visas sprendimas

Gravitacija suteikia įcentrinį pagreitį: GMm/r²=mv²/r. Sutrumpinę m ir vieną r gauname v²=GM/r.
v=√(GM/r)=7546 m/s.
Periodo apibrėžimas: vieno apskritimo ilgis 2πr, laikas T=2πr/v. Į greitį statome r metrais, į periodą greitį metrais per sekundę. Minutėms gautas sekundes dalijame iš 60.
T=2πr/v≈5829 s.
T≈97,14 min; prieš skaičiuojant aukštį reikėtų atimti Žemės spindulį, bet orbitos formulėse naudojamas r.

v≈7,546 km/s; T≈97,14 min.

Pabėgimas

Kūnas paleidžiamas nuo r ten, kur apskritiminis greitis 8 km/s. Koks ribinis pabėgimo greitis?

Duota: Kūnas paleidžiamas nuo r ten, kur apskritiminis greitis 8 km/s.
Rasti: Koks ribinis pabėgimo greitis?

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Apskritiminis v = 8 km/s. Ribinis pabėgimas: E = 0. Oras ignoruojamas. F_g – visuotinės traukos jėga

Užuomina

Begalybėje U=0 ir riboje Eₖ=0.

Pirmas žingsnis

Ribiniu pabėgimu kūnas begalybėje turi nulinį greitį ir nulinę potencinę energiją. Todėl pradinis E=0, kai U=−GMm/r.

Visas sprendimas

Ribiniu pabėgimu kūnas begalybėje turi nulinį greitį ir nulinę potencinę energiją. Todėl pradinis E=0, kai U=−GMm/r.
mv²/2−GMm/r=0.
Iš mv²/2=GMm/r sutrumpiname m ir dauginame iš 2: v²=2GM/r. Apskritiminiam greičiui v_orb²=GM/r, todėl v_pab²=2v_orb².
v_pab=√(2GM/r)=√2 v_orb.
v_pab=11,314 km/s. Atmosferos nuostoliai ir sukimosi įtaka neįskaičiuoti.

11,314 km/s.

Tunelis vienalyčiame rutulyje

Vienalyčio rutulio paviršiuje g₀=10 m/s². Koks pagreitis ties r=R/2 ir centre?

Duota: Vienalyčio rutulio paviršiuje g₀=10 m/s².
Rasti: Koks pagreitis ties r=R/2 ir centre?

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Vienalytis rutulys. g₀ = 10 m/s² paviršiuje. g(r): link centro.

Užuomina

Viduje svarbi tik vidinė masė M(r)=M(r/R)³.

Pirmas žingsnis

Vienalyčiame rutulyje vidinė masė proporcinga tūriui: M(r)=M(r³/R³). Išorinių sferinių sluoksnių bendras laukas viduje nulinis.

Visas sprendimas

Vienalyčiame rutulyje vidinė masė proporcinga tūriui: M(r)=M(r³/R³). Išorinių sferinių sluoksnių bendras laukas viduje nulinis.
g(r)=GM(r)/r²=g₀r/R.
Įstatome į g=GM(r)/r²: g=GMr/R³. Kadangi paviršiuje g₀=GM/R², lieka g=g₀r/R. Centre r=0, todėl ir laukas nulis.
Ties R/2: g=5 m/s² centro kryptimi.
Centre g=0. Tunelyje per centrą aₓ=−(g₀/R)x — harmoninio judėjimo lygtis.

5 m/s²; centre 0; aₓ=−g₀x/R.

Iššūkis: Impulsas apskritiminėje orbitoje

Palydovas apskritiminėje r orbitoje juda v=√(GM/r). Trumpas liestinis impulsas padidina greitį iki √(3/2)v. Rask naujos elipsės didįjį pusašį ir apocentro atstumą.

Duota: Palydovas apskritiminėje r orbitoje juda v=√(GM/r).
Rasti: Rask naujos elipsės didįjį pusašį ir apocentro atstumą.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Pradžioje apskritimas r. Po impulso: √(3/2) v. Elipsė; centras yra židinyje. F_g – visuotinės traukos jėga

Užuomina

Panaudok savitąją energiją −GM/(2a).

Pirmas žingsnis

Po impulso ε=(3/2)v²/2−GM/r=−GM/(4r).

Visas sprendimas

Po impulso ε=(3/2)v²/2−GM/r=−GM/(4r).
−GM/(2a)=−GM/(4r), todėl a=2r. Impulso taškas – pericentras, nes greitis didesnis už apskritiminį.
rp+ra=2a, taigi ra=4r−r.

a=2r; apocentras ra=3r.

Ryšys su kita tema

Orbitos parodė sukimosi svarbą; standžiam kūnui reikės įvertinti masės pasiskirstymą.