Kintama masė: raketa, garavimas ir kondensacija

F=ma be papildomų narių negalima aklai taikyti atvirai sistemai, į kurią ateina arba iš kurios išeina masė. Reikia sekti ir masės nešamą impulsą. Raketai, dujoms išlekant atgal santykiniu greičiu u, m dv/dt=−u dm/dt−mg. Krintančiam lašui, prisijungiančiam ramybėje buvusius garus, m dv/dt=mg−v dm/dt. Jei garai nuo lašo atsiskiria be vidutinio santykinio greičio, reaktyvaus nario nėra.

Sprendimo eiga

Apibrėžk sistemą → pasakyk masės srovės greitį Žemės ir kūno atžvilgiu → parašyk impulso balansą → tik tada integruok.

Bendra vienos masės srovės lygtis m dv/dt=F_iš+(v_į−v)dm/dt, kur dm/dt teigiamas įtekant; ištekėjimą galima analogiškai aprašyti su neigiamu dm/dt ir išeinančios masės absoliučiu greičiu. Kryptys ir srovės modelis privalo būti aiškūs. Vertikaliai raketai v=v₀+u ln(m₀/m(t))−gt, kol u ir g pastovūs. Vien m₀ ir u nepakanka v(t): būtinas masės mažėjimo dėsnis. Lašo mechaninė energija atskirai neprivalo tenkinti uždaros pastovios masės sistemos formulės.

Formulės ir žymėjimai

u — išmetimo santykinio greičio modulis; q — masės srautas (kg/s); κ — kondensacijos koeficientas; ρ₀ — skysčio tankis.

m \frac{d \vec{v}}{d t} = {\vec{F}}_{i s} + ({\vec{v}}_{s r a u t o} - \vec{v}) \frac{d m}{d t}

Vienos masės srovės balansas; įtekant dm/dt>0.

m (t) = m_{0} - q t, v = v_{0} + u \ln \frac{m_{0}}{m (t)} - g t

Vertikali raketa, q>0, u ir g pastovūs; m(t)>0.

m = m_{0} e^{- λ t}, v = g t

Garavimas be vidutinio santykinio išmetimo greičio, pradžia iš rimties.

A (t) = \frac{m_{0} g^{2}}{λ^{2}} [1 - (1 + λ t) e^{- λ t}]

Garavimo modelio sunkio darbas; λ>0.

R = R_{0} + c t, c = \frac{κ}{ρ}, m = \frac{4 π ρ R^{3}}{3}

Kondensacija dm/dt=κS, pastovus tankis.

v = \frac{g [(R_{0} + c t)^{4} - R_{0}^{4}]}{4 c (R_{0} + c t)^{3}}

Prisijungiantys garai nejuda Žemės atžvilgiu; v(0)=0.

v_{g a l} = \frac{m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}}{m_{1} + m_{2}}, v_{r i b} = \frac{ρ_{0}}{ρ - ρ_{0}} v_{0}

Platformos sugaudymas; susietų rutulių skystyje ribinis greitis, ρ>ρ₀.

Atverti interaktyvų modelį ↗

Kintama masė: pirmiausia atskirk sistemos ribas

10 kg vežimėlio ir krovinio sistema pradžioje nejuda. Iš jos išmetama 1 kg dalis −5 m/s greičiu Žemės atžvilgiu, išorinis horizontalus impulsas nereikšmingas. Likusios masės 9 kg greitis tenkina 0 = 9v + 1 · (−5), todėl v = 5/9 ≈ 0,556 m/s į priekį. Jei duotas dujų greitis raketos atžvilgiu, pirmiausia pakeisk atskaitos sistemą.

p_{\text{prieš}}=p_{\text{po}}

Pasitikrink: išvardyk prielaidas, kryptis ir galutinio dydžio vienetą, tik tada pereik prie bendresnių lygčių.

Pakartoti šiam sprendimui reikalingą pagrindą →

Uždaviniai

Raketa su pastoviu srautu

m₀=100 kg, dm/dt=−2 kg/s, u=1000 m/s, v₀=0, vertikalus skrydis, g pastovus. Rask v po 10 s.

Duota: m₀=100 kg, dm/dt=−2 kg/s, u=1000 m/s, v₀=0, vertikalus skrydis, g pastovus.
Rasti: Rask v po 10 s.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. m₀ = 100 kg; q = 2 kg/s. u = 1000 m/s santykinis. t = 10 s; g žemyn.

Užuomina

m(t)=m₀−qt.

Pirmas žingsnis

Teigiamas kuro srauto modulis q=2 kg/s. Masė m(t)=m₀−qt, todėl m(10)=100−2·10=80 kg. Traukos jėga uq.

Visas sprendimas

Teigiamas kuro srauto modulis q=2 kg/s. Masė m(t)=m₀−qt, todėl m(10)=100−2·10=80 kg. Traukos jėga uq.
m(10)=80 kg. Pradinė trauka uq=2000 N>m₀g, todėl raketa gali kilti.
Iš m dv/dt=uq−mg dalijame iš m: dv/dt=uq/(m₀−qt)−g. Integruojant nuo 0 iki t gauname u ln[m₀/(m₀−qt)]−gt.
v=u ln(m₀/m)−gt.
v(10)=1000ln(1,25)−98,1=125,044 m/s. Modelis galioja tik kol neišseko kuras.

125,04 m/s.

Garuoja krisdamas

m(t)=m₀e^−λt, λ>0. Lašas krinta iš rimties; atsiskyrę garai neturi vidutinio santykinio greičio. Rask sunkio darbą A(t).

Duota: m(t)=m₀e^−λt, λ>0.
Rasti: Rask sunkio darbą A(t).

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. m = m₀e^(−λt). Garai neturi santyk. greičio. λ: garavimo spartos rodiklis. mg – sunkio jėga (m – masė, g – sunkio pagreitis). +y – pasirinkta teigiama vertikalioji kryptis

Užuomina

Čia v=gt; integruok galią m(t)gv(t).

Pirmas žingsnis

Garai neturi vidutinio santykinio greičio, todėl reaktyvios traukos nėra. Likusio lašo pagreitis g, iš rimties v(t)=gt. Masė kinta, todėl sunkio darbą skaičiuojame integralu.

Visas sprendimas

Garai neturi vidutinio santykinio greičio, todėl reaktyvios traukos nėra. Likusio lašo pagreitis g, iš rimties v(t)=gt. Masė kinta, todėl sunkio darbą skaičiuojame integralu.
Reaktyvios traukos nėra: dv/dt=g → v=gt.
Dalinio integravimo pasirinkimas: u=τ, dv=exp(−λτ)dτ. Tada du=dτ, v=−exp(−λτ)/λ. Gauname ∫τexp(−λτ)dτ=−τexp(−λτ)/λ−exp(−λτ)/λ²+C. Įstatome ribas 0 ir t, atimame apatinę reikšmę.
P=m₀g²t e^−λt. A(t)=m₀g²∫₀ᵗτe^−λτdτ.
A=(m₀g²/λ²)[1−(1+λt)e^−λt]. Kai t→∞, A→m₀g²/λ². Mažiems t gauname A≈m₀g²t²/2.

A(t)=m₀g²[1−(1+λt)e^−λt]/λ².

Kondensuojasi krisdamas

Vienodo tankio rutulinio lašo masė didėja dm/dt=κS; aplinkiniai garai pradžioje nejuda. Rask v(t), kai v(0)=0 ir R(0)=R₀.

Duota: Vienodo tankio rutulinio lašo masė didėja dm/dt=κS; aplinkiniai garai pradžioje nejuda.
Rasti: Rask v(t), kai v(0)=0 ir R(0)=R₀.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. dm/dt = κS; R(0) = R₀. Garai pradžioje nejuda. κ: masė plotui ir laikui. mg – sunkio jėga (m – masė, g – sunkio pagreitis). +y – pasirinkta teigiama vertikalioji kryptis

Užuomina

m∝R³, o S∝R², todėl R didėja tiesiškai.

Pirmas žingsnis

Masės formulė m=4πρR³/3, paviršius S=4πR². Diferencijuodami gauname dm/dt=4πρR²R′. Sulyginę su κ4πR² ir sutrumpinę 4πR² gauname R′=κ/ρ=c.

Visas sprendimas

Masės formulė m=4πρR³/3, paviršius S=4πR². Diferencijuodami gauname dm/dt=4πρR²R′. Sulyginę su κ4πR² ir sutrumpinę 4πR² gauname R′=κ/ρ=c.
m=4πρR³/3 → 4πρR²R′=κ4πR², taigi R=R₀+ct, c=κ/ρ.
Nejudanti prisijungianti masė lėtina lašą: m v′=mg−v m′. Padaliję iš m gauname v′+(m′/m)v=g, kur m′/m=3c/(R₀+ct). Padauginus iš (R₀+ct)³ kairė tampa d[(R₀+ct)³v]/dt. Integralas dešinėje g∫₀ᵗ(R₀+cτ)³dτ=g[(R₀+ct)⁴−R₀⁴]/(4c). Tada dalijame iš (R₀+ct)³.
dm/(m dt)=3c/(R₀+ct). Judėjimas: v′+[3c/(R₀+ct)]v=g. Dauginimo veiksnys (R₀+ct)³.
v=g[(R₀+ct)⁴−R₀⁴]/[4c(R₀+ct)³]. Ilgainiui v≈gt/4; riboje R₀=0 nuo t>0 tiksliai v=gt/4.

v=g[(R₀+ct)⁴−R₀⁴]/[4c(R₀+ct)³].

Anglis ant platformos

100 kg platforma juda +2 m/s. 20 kg anglies įkrinta iš priešinga kryptimi −3 m/s judančio konteinerio; išpylimas konteinerio atžvilgiu vertikalus. Rask galutinį greitį.

Duota: 100 kg platforma juda +2 m/s.
Rasti: Rask galutinį greitį.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Platforma ir įkrintanti anglis. Horizontalus impulsas tveria. Vertikalus judėjimas atskiras.

Užuomina

Išpylimo vertikalumas konteinerio atžvilgiu nepanaikina anglies horizontalaus greičio.

Pirmas žingsnis

Anglies horizontalus greitis Žemės atžvilgiu yra −3 m/s. Vertikalus išpylimas konteinerio atžvilgiu nepanaikina šios horizontalios dedamosios.

Visas sprendimas

Anglies horizontalus greitis Žemės atžvilgiu yra −3 m/s. Vertikalus išpylimas konteinerio atžvilgiu nepanaikina šios horizontalios dedamosios.
Sistemos horizontalus pradinis impulsas 100·2+20(−3)=140 kg·m/s.
Po sugaudymo bendra masė 120 kg. Impulso lygtyje 120v=140 dalijame abi puses iš 120, todėl v=7/6 m/s į teigiamą pusę.
Trumpą sugaudymą ignoruojant išorinį horizontalų impulsą: 120v=140.
v=1,1667 m/s. Jei anglis būtų vertikaliai krintanti Žemės atžvilgiu, gautume 1,6667 m/s.

+1,167 m/s.

Kūnas skystyje ir oro pusėje

Du vienodi ρ tankio rutuliai ant idealaus skridinio, vienas visiškai paniręs į ρ₀<ρ skystį. Atskiro laisvo rutulio ribinis kritimo greitis skystyje v₀; pasipriešinimo jėgos modulis k·v². Oro pasipriešinimo nepaisyk. Rask susietos sistemos ribinį greitį.

Duota: Du vienodi ρ tankio rutuliai ant idealaus skridinio, vienas visiškai paniręs į ρ₀<ρ skystį.
Rasti: Rask susietos sistemos ribinį greitį.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Vienodi ρ tankio rutuliai. Vienas skystyje: F_A aukštyn. F_pas ∝ v²; ρ₀ < ρ. F_A – Archimedo jėga. ρ – tankis

Užuomina

Sistemos varančioji jėga — plūdrumo sukeltas svorių skirtumas.

Pirmas žingsnis

Pasipriešinimo jėgos modulis Fpas=k·v². Laisvas rutulys leidžiasi ribiniu greičiu, kai sunkis lygus plūdrumo ir pasipriešinimo sumai.

Visas sprendimas

Pasipriešinimo jėgos modulis Fpas=k·v². Laisvas rutulys leidžiasi ribiniu greičiu, kai sunkis lygus plūdrumo ir pasipriešinimo sumai.
Laisvam rutuliui k·v₀²=(ρ−ρ₀)Vg. V – vieno rutulio tūris, g – sunkio pagreitis.
Susietoje sistemoje ore esantis rutulys leidžiasi, o paniręs kyla. Vienodi svoriai susiprastina; plūdrumo jėga ρ₀Vg varo judėjimą, pasipriešinimas panirusiam rutuliui veikia žemyn.
Ribiniu režimu k·v²=ρ₀Vg. Padaliję iš laisvo rutulio lygties gauname v²/v₀²=ρ₀/(ρ−ρ₀).
Imame teigiamą greičio modulį: v=v₀√[ρ₀/(ρ−ρ₀)].

v=v₀√[ρ₀/(ρ−ρ₀)]; paniręs rutulys kyla, ore esantis leidžiasi.

Iššūkis: Dviejų režimų raketa

Raketa pradžioje turi 100 kg masę ir nejuda. Pirmas 10 s q=2 kg/s, kitas 10 s q=1 kg/s; u=1000 m/s, g=10 m/s², oro nėra. Rask greitį po 20 s ir abiejų etapų pabaigos pagreičius.

Duota: Raketa pradžioje turi 100 kg masę ir nejuda.
Rasti: Rask greitį po 20 s ir abiejų etapų pabaigos pagreičius.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. m₀ = 100 kg; u = 1000 m/s. 0…10 s: q = 2 kg/s. 10…20 s: q = 1 kg/s.

Užuomina

Logaritmai susideda, gravitacijos laikas taip pat.

Pirmas žingsnis

Po etapų masės 80 ir 70 kg. Δv₁=u ln(100/80)−100.

Visas sprendimas

Po etapų masės 80 ir 70 kg. Δv₁=u ln(100/80)−100.
Δv₂=u ln(80/70)−100. v=u ln(100/70)−200.
Pirmo etapo pabaigoje a=2000/80−10; antro pabaigoje a=1000/70−10.

v≈156,675 m/s; a₁=15 m/s², a₂≈4,286 m/s² (iki režimo pakeitimo ir iki kuro tiekimo pabaigos).

Ryšys su kita tema

Energijos ir centripetinio pagreičio idėjas panaudosime gravitacijos lauke.