Impulso momento tvermė ir standaus kūno kritimas

Kai išorinių jėgų momentų suma pasirinktos ašies atžvilgiu lygi nuliui, impulso momentas L tveriamas. Taigi I₁ω₁=I₂ω₂. Sumažinus I sukimosi greitis auga, o energija gali padidėti žmogaus vidaus darbo sąskaita. Standžiam kūnui krintant apie nejudamą ašį gravitacijos energijos pokytį skaičiuok pagal masės centro aukštį, o greitį bet kuriame taške — v=rω.

Sprendimo eiga

Pasirink ašį → įvertink išorinius momentus → L tvermė, jei leidžiama → energiją tikrink atskirai.

Pritvirtintą strypą veikia atramos jėga, todėl jo tiesinis impulsas paprastai netveriamas, tačiau atramos jėgos momentas apie pačią ašį nulis. Per pakankamai trumpą smūgį apie tą ašį dažnai galima išsaugoti L, jei sunkio impulsinis momentas menkas. Jėgos atliekamas darbas keičiant I nėra vien sukimosi momento iš išorės darbas: vidiniai raumenų procesai gali padidinti mechaninę energiją. Platformos atžvilgiu duotą žmogaus greitį pirmiausia paversk į absoliutų.

Formulės ir žymėjimai

v_rel — žmogaus greitis platformos atžvilgiu; Ω — platformos kampinis greitis su ženklu. Strypo sunkio energijai naudok masės centro aukštį.

\frac{d \vec{L}}{d t} = {\vec{M}}_{i s}, I_{1} ω_{1} = I_{2} ω_{2}

Antroji lygtis kai išorinių momentų apie pasirinktą ašį suma nulis.

A = Δ E_{k} = \frac{L^{2}}{2} (\frac{1}{I_{2}} - \frac{1}{I_{1}})

Keičiant I ir išlaikant L; energija gali didėti vidaus darbo sąskaita.

I_{p l a t} = \frac{M R^{2}}{2}, I_{z m} = m r^{2}

Žmogus — taškinė masė, platforma — vienalytis diskas.

Omega = - \frac{m r v_{r e l}}{I_{p l a t} + m r^{2}}

Žmogus eina platformos atžvilgiu; pradinis visos sistemos L=0.

m g Δ h_{c m} = \frac{I_{O} ω^{2}}{2}, v = r ω

Standus kūnas krinta apie nejudamą ašį.

ω_{s t r} = \sqrt{\frac{3 g}{l}}, v_{r i b} = \sqrt{6 g l}

Strypas iš vertikalės iki horizontalės; antroji — energinė pilno apsisukimo riba.

m u l = I_{p o} ω, I_{p o} = \frac{M l^{2}}{3} + m l^{2}

Kulka statmenai į strypo galą; per smūgį išsaugomas L apie atramą.

\frac{I_{p o} ω^{2}}{2} = g (\frac{M l}{2} + m l) (1 - \cos θ)

Po įstrigimo — energijos tvermė kylant.

Atverti interaktyvų modelį ↗

Pirmiausia – paprastas pavyzdys

Stabdomas smagratis praranda sukimosi energiją. Ant besisukančios kėdės sutraukus rankas mažėja inercijos momentas ir didėja kampinis greitis; energiją gali padidinti raumenų darbas.

Sunkis ir atrama nesukuria sukimo momento apie vertikalią ašį. Rankų judesį sukeliančios jėgos yra vidinės šiai visai sistemai; jos gali pakeisti sukimosi energiją, nors išorinio momento apie z nėra. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

N-mg=0

\sum M_{z,\text{išor}}=0

I_1\omega_1=I_2\omega_2

Rankos pritraukiamos prie sukimosi ašies. I₁ = 4 kg · m²; ω₁ = 2 rad/s; I₂ = 2 kg · m²; išorinio momento nėra.

Pradinis impulso momentas L = I₁ω₁ = 4 · 2 = 8 kg · m²/s.
Tvermė: 8 = 2ω₂, todėl ω₂ = 4 rad/s.
Pradinė energija E₁ = 4 · 2²/2 = 8 J.
Galutinė energija E₂ = 2 · 4²/2 = 16 J.
Energija padidėjo 16 − 8 = 8 J dėl vidinio raumenų darbo.
L tvermė neleidžia automatiškai rašyti E₁ = E₂: šie dėsniai turi skirtingas sąlygas.

ω₂ = 4 rad/s; ΔEₖ = +8 J.

Formulės su paaiškinimais ir visas mokymosi žingsnis →

Uždaviniai

Žmogus eina į centrą

100 kg vienalytė diskinė platforma R=1,5 m; 60 kg žmogus pradžioje krašte. f₁=10 aps./min. Rask f₂ centre ir žmogaus darbą, neįtraukiant jo ėjimo galinės kinetinės energijos.

Duota: 100 kg vienalytė diskinė platforma R=1,5 m; 60 kg žmogus pradžioje krašte.
Rasti: Rask f₂ centre ir žmogaus darbą, neįtraukiant jo ėjimo galinės kinetinės energijos.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Platforma 100 kg; R = 1,5 m. Žmogus 60 kg: kraštas → CM. f₁ = 10 aps./min. ω – kampinis greitis. CM – masės centras

Užuomina

I_platformos=MR²/2; žmogų laikyk tašku.

Pirmas žingsnis

Platformai I_p=MR²/2, žmogui taško modelis I_ž=mr². Pradžioje r=R, gale r=0. Išorinio momento apie vertikalią ašį nėra, todėl I₁ω₁=I₂ω₂.

Visas sprendimas

Platformai I_p=MR²/2, žmogui taško modelis I_ž=mr². Pradžioje r=R, gale r=0. Išorinio momento apie vertikalią ašį nėra, todėl I₁ω₁=I₂ω₂.
I₁=50·2,25+60·2,25=247,5 kg·m²; I₂=112,5 kg·m².
Pradinis dažnis 10/60=1/6 s⁻¹, todėl ω₁=2π/6=π/3. Kadangi L tas pats, E=L²/(2I). Žmogaus darbas lygus galutinės ir pradinės sukimosi energijų skirtumui.
ω₂/ω₁=I₁/I₂=2,2 → f₂=22 aps./min.
A=ΔEₖ=L²(1/I₂−1/I₁)/2. Su ω₁=π/3 gauname E₁=135,707 J, E₂=298,556 J → A=162,85 J.

22 aps./min; A≈162,85 J.

Žmogus vaikšto platforma

I_platformos=5000 kg·m²; 60 kg žmogus eina r=5 m apskritimu 1 m/s platformos atžvilgiu. Pradžioje visa sistema stovi. Rask platformos ω.

Duota: I_platformos=5000 kg·m²; 60 kg žmogus eina r=5 m apskritimu 1 m/s platformos atžvilgiu.
Rasti: Rask platformos ω.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. I_platformos = 5000 kg·m². Žmogus 60 kg; r = 5 m. Santykinis greitis 1 m/s. ω – kampinis greitis

Užuomina

Absoliutus žmogaus kampinis greitis Ω+v_rel/r.

Pirmas žingsnis

Platformos kampinį greitį žymime Ω. Žmogaus absoliutus kampinis greitis yra Ω+v_rel/r, nes duotas greitis platformos, o ne Žemės atžvilgiu.

Visas sprendimas

Platformos kampinį greitį žymime Ω. Žmogaus absoliutus kampinis greitis yra Ω+v_rel/r, nes duotas greitis platformos, o ne Žemės atžvilgiu.
0=I_pΩ+mr²(Ω+v_rel/r).
Pradinis L=0. Iš 0=I_pΩ+mr²Ω+mrv_rel iškeliame Ω: (I_p+mr²)Ω=−mrv_rel. Dalijame iš viso teigiamo momento.
Ω=−mrv_rel/(I_p+mr²)=−300/(5000+1500).
Ω=−0,04615 rad/s. Žmogaus absoliutus kampinis greitis 0,15385 rad/s; platforma sukasi priešingai.

Ω=−0,04615 rad/s.

Krinta pieštukas

15 cm vienalytis strypas iš beveik vertikalios padėties krinta apie neslystantį apatinį galą. Rask ω horizontalią padėtį pasiekus ir vidurio bei viršutinio galo greičius.

Duota: 15 cm vienalytis strypas iš beveik vertikalios padėties krinta apie neslystantį apatinį galą.
Rasti: Rask ω horizontalią padėtį pasiekus ir vidurio bei viršutinio galo greičius.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Vienalytis strypas ℓ = 15 cm. Apačia neslysta. Kritimas iki horizontalės.

Užuomina

Masės centras nusileidžia l/2, I_galo=ml²/3.

Pirmas žingsnis

Strypo masės centras iš beveik vertikalios padėties iki horizontalios nusileidžia l/2. Prarasta potencinė energija mg l/2 virsta Iω²/2.

Visas sprendimas

Strypo masės centras iš beveik vertikalios padėties iki horizontalios nusileidžia l/2. Prarasta potencinė energija mg l/2 virsta Iω²/2.
mgl/2=(ml²/3)ω²/2 → ω=√(3g/l).
Įstatome I=ml²/3: mgl/2=ml²ω²/6. Dauginame iš 6 ir dalijame iš ml²: ω²=3g/l. Kiekvieno taško greitis lygus jo atstumui nuo ašies, padaugintam iš ω.
ω=√(3·9,81/0,15)=14,007 rad/s.
v_vid=(l/2)ω=1,0505 m/s; v_gal=lω=2,1011 m/s. Tikram laisvai ant stalo pastatytam pieštukui neslydimo atramoje prielaida turi būti patikrinta.

ω≈14,007 rad/s; v_vid≈1,051; v_gal≈2,101 m/s.

Visas strypo apsisukimas

Vienalytis strypas l=0,85 m sukasi apie viršutinį galą. Kokį mažiausią apatinio galo greitį reikia suteikti žemiausioje padėtyje, kad pasiektų viršutinę? Ašis tvirta.

Duota: Vienalytis strypas l=0,85 m sukasi apie viršutinį galą.
Rasti: Visas strypo apsisukimas

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Vienalytis strypas ℓ = 0,85 m. Tvirta ašis viršuje. Nuo apačios iki viršaus. N prie kūno rodyklės – atramos reakcija; prie skaičiaus N – niutonas, jėgos vienetas

Užuomina

Masės centro aukštis padidėja l; viršuje riboje ω→0.

Pirmas žingsnis

Masės centras nuo žemiausios iki aukščiausios padėties pakyla per visą l. Pradinė sukimosi energija Iω²/2, o apatinio galo greitis v=lω.

Visas sprendimas

Masės centras nuo žemiausios iki aukščiausios padėties pakyla per visą l. Pradinė sukimosi energija Iω²/2, o apatinio galo greitis v=lω.
I=ml²/3. Energija Iv²/(2l²)=mgl.
Įstatome ω=v/l: Iv²/(2l²)=mgl. Su I=ml²/3 lieka mv²/6=mgl. Sutrumpiname m ir dauginame iš 6: v²=6gl.
v_rib=√(6gl)=√(6·9,81·0,85)=7,073 m/s.
Tai energinė riba pasiekti viršų; visam apsisukimui iš idealios sistemos reikia v>v_rib, nes ties riba viršutinė nestabili padėtis pasiekiama asimptotiškai. Tvirta ašis gali ir stumti, ir traukti.

Ribinė reikšmė 7,073 m/s; pilnam perėjimui — truputį daugiau.

Kulka į įtvirtintą strypą

0,010 kg kulka greičiu 100 m/s pataiko statmenai į 1 kg, 1 m ilgio strypo apatinį galą ir įstringa. Strypas kabo ant ašies viršuje. Rask ω po smūgio ir didžiausią atlenkimo kampą.

Duota: 0,010 kg kulka greičiu 100 m/s pataiko statmenai į 1 kg, 1 m ilgio strypo apatinį galą ir įstringa.
Rasti: Rask ω po smūgio ir didžiausią atlenkimo kampą.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Strypas 1 kg, ℓ = 1 m. Kulka 0,010 kg; u = 100 m/s. Įstringa apatiniame gale. mg – sunkio jėga (m – masė, g – sunkio pagreitis). θ – brėžinyje pažymėtas kampas

Užuomina

Smūgiui išsaugok L apie ašį; kilimui energiją.

Pirmas žingsnis

Per smūgį tveriasi impulso momentas apie įtvirtintą ašį, nes ašies reakcija apie ją nesudaro momento. Tiesinis impulsas čia nebūtinai tveriasi.

Visas sprendimas

Per smūgį tveriasi impulso momentas apie įtvirtintą ašį, nes ašies reakcija apie ją nesudaro momento. Tiesinis impulsas čia nebūtinai tveriasi.
L_pr=m u l=1 kg·m²/s; I_po=Ml²/3+ml²=0,343333 kg·m². ω=L/I=2,91262 rad/s.
Po smūgio I=Ml²/3+ml². Kylant strypo centras kyla (l/2)(1−cosθ), kulka l(1−cosθ). Sumuojame jų potencines energijas ir sulyginame su energija po smūgio.
E_po=L²/(2I)=1,45631 J. Kildami strypas ir kulka kaupia g(Ml/2+ml)(1−cosθ).
1−cosθ=1,45631/[9,81(0,5+0,01)]=0,29108 → θ≈44,85°.

ω≈2,913 rad/s; θ≈44,85°.

Iššūkis: Prilipęs krovinys ir žmogaus judėjimas

I=4 kg·m² platforma sukasi ω=3 rad/s. Prie krašto r=1 m prilimpa tangentiškai 4 m/s ta pačia kryptimi judantis 2 kg krovinys. Tada jis lėtai perkeliamas į r=0,5 m. Rask abu ω ir energijos pokytį perkeliant.

Duota: I=4 kg·m² platforma sukasi ω=3 rad/s.
Rasti: Rask abu ω ir energijos pokytį perkeliant.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. I = 4 kg·m²; ω₀ = 3 rad/s. Krovinys 2 kg: u = 4 m/s. r = 1 m → 0,5 m. ω – kampinis greitis

Užuomina

Prilipimas ir perkėlimas yra du skirtingi etapai.

Pirmas žingsnis

Prieš smūgį L=4·3+2·4·1=20 kg·m²/s. Po prilipimo I₁=6, ω₁=10/3 rad/s.

Visas sprendimas

Prieš smūgį L=4·3+2·4·1=20 kg·m²/s. Po prilipimo I₁=6, ω₁=10/3 rad/s.
Perkėlus I₂=4+2·0,5²=4,5; ω₂=40/9 rad/s.
E₂−E₁=L²/2·(1/I₂−1/I₁)=100/9 J. Darbą atlieka perkelianti jėga.

ω₁=10/3 rad/s; ω₂=40/9 rad/s; ΔEₖ=100/9≈11,111 J.

Ryšys su kita tema

Sunkio jėgos momentas apie pakabą leis paaiškinti fizinės švytuoklės svyravimus.