Mokykis

Niutono dėsniai, atrama ir trintis

I dėsnis: inercinėje sistemoje nulinė jėgų suma reiškia pastovų greitį. II dėsnis: ΣF=ma. III dėsnis: sąveikaujančių kūnų jėgos lygios ir priešingos, bet veikia skirtingus kūnus. Nubraižyk vieno kūno laisvojo kūno diagramą: sunkis mg, atrama N, įtempimas T, trintis. Atstojamosios papildomai nepridėk. Ramybės trintis prisitaiko: |F_tr|≤μₛN; slystant |F_tr|=μₖN ir ji priešinga santykiniam slydimui.

Sprendimo eiga

Vienas kūnas → realios jėgos → ašys → ΣFₓ=maₓ, ΣFᵧ=maᵧ → trinties režimas → fizinė patikra.

N nėra automatiškai mg. Traukiant kampu aukštyn N=mg−Fsinθ, kol kūnas liečiasi su horizontaliu paviršiumi. Jei gautum N<0, kontakto modelis nebegalioja. Ant šlaito patogu rinktis ašis išilgai ir statmenai paviršiui: sunkio projekcijos mg sinθ ir mg cosθ. Trintis priešinasi slydimui arba jo tendencijai, todėl nebūtinai priešinga kūno greičiui Žemės atžvilgiu. Nežinomai krypčiai pasirink prielaidą ir patikrink rezultatą.

Formulės ir žymėjimai

m — masė (kg), F — jėga (N), μs ir μk — trinties koeficientai; L — visas grandinės ilgis.
ΣF→=ma→,ΣFx=max,ΣFy=may

Pastovi masė, inercinė sistema.

Fg=mg,|Ftr|≤μsN,Fsl=μkN

N — atramos reakcija, ne atstojamoji. Pirmoji trintis — ramybės, antroji — slydimo.

N=mg-Fsinθ,a=Fcosθ-μkNm

Horizontali atrama, trauka kampu aukštyn, slydimas į priekį, N≥0.

N=mgcosθ,F=m[a+gsinθ+μkgcosθ]

Trauka lygiagreti šlaitui, judama aukštyn.

v=v0+at,Δx=v0t+at22,v2-v02=2aΔx

Jėga → pagreitis → judėjimas; tik a=const.

xkab=μsL1+μs,amax=μsg

Vienalytė grandinė ant krašto; antroji — neslystančios viršutinės dėžės riba.

Atverti interaktyvų modelį ↗

Pirmiausia – paprastas pavyzdys

Dėžę stumi į dešinę, o trintis veikia į kairę. Judėjimą keičia jų skirtumas. Jėgų brėžinyje piešiame tik tai, kas veikia pasirinktą kūną; jo paties jėgų į aplinką ten nededame.

Atskirtas kūnas3 kgNmg18 N6 N+x+y
Dėžė slenka į dešinę. Visos keturios rodyklės yra jėgos, veikiančios tą pačią dėžę; jų nesumaišyk su dėžės poveikiu aplinkai. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

18−6=3ax18-6=3a_x
N−30=0N-30=0

Dėžę veikia 18 N ir 6 N. m = 3 kg; trauka 18 N į dešinę; trintis 6 N į kairę; vertikalaus judėjimo nėra.

  1. Atskiriame dėžę. Brėžiame: mg žemyn, N aukštyn, F į dešinę, Ftr į kairę.
  2. Pasirenkame +x į dešinę ir +y aukštyn.
  3. Vertikaliai: N − mg = 0, todėl N = 3 · 10 = 30 N.
  4. Horizontaliai: 18 − 6 = 3a.
  5. Atimame: 12 = 3a. Padalijame iš 3 kg: a = 4 m/s².
  6. Pagreičio ženklas nurodo greičio kitimo kryptį; greičio kryptį reikia žinoti atskirai.

a = 4 m/s² į dešinę.

Formulės su paaiškinimais ir visas mokymosi žingsnis →

Uždaviniai

Trauka kampu

5 kg dėžė slysta horizontaliai. Ją traukia 20 N jėga 30° aukštyn; μₖ=0,20. Rask N ir a.

Duota
5 kg dėžė slysta horizontaliai.
Rasti
Rask N ir a.
Brėžinys ir žymėjimaiTrauka kampumNmgFf+xm = 5 kg; F = 20 NTraukos kampas 30°μₖ = 0,20; f: slydimo trintis

Schema, ne mastelis. m = 5 kg; F = 20 N. Traukos kampas 30°. μₖ = 0,20; f: slydimo trintis. mg – sunkio jėga (m – masė, g – sunkio pagreitis). N prie kūno rodyklės – atramos reakcija; prie skaičiaus N – niutonas, jėgos vienetas. μ – trinties koeficientas. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis

Užuomina

Vertikalaus pagreičio nėra.

Pirmas žingsnis

Pasirenkame x traukimo kryptimi, y aukštyn. Vertikaliai dėžė negreitėja, todėl N+Fsin30°−mg=0. Horizontaliai Fcos30°−f=ma.

Visas sprendimas
  1. Pasirenkame x traukimo kryptimi, y aukštyn. Vertikaliai dėžė negreitėja, todėl N+Fsin30°−mg=0. Horizontaliai Fcos30°−f=ma.
  2. N+Fsin30°−mg=0 → N=49,05−10=39,05 N.
  3. Apskaičiavę N, tik tada randame slydimo trintį f=μₖN. Traukos vertikali dedamoji mažina atramos reakciją ir kartu trintį.
  4. F_tr=μN=7,81 N.
  5. a=(Fcos30°−F_tr)/m=(17,3205−7,81)/5=1,902 m/s².

N=39,05 N; a=1,902 m/s².

Įkalnė

2 kg kūną traukiame aukštyn 30° šlaitu su a=1 m/s², μₖ=0,10. Trauka lygiagreti šlaitui. Rask F.

Duota
2 kg kūną traukiame aukštyn 30° šlaitu su a=1 m/s², μₖ=0,10.
Rasti
Rask F.
Brėžinys ir žymėjimaiĮkalnėmmgNF, +sαm = 2 kg; α = 30°a = 1 m/s² į viršųμₖ = 0,10

Schema, ne mastelis. m = 2 kg; α = 30°. a = 1 m/s² į viršų. μₖ = 0,10. mg – sunkio jėga (m – masė, g – sunkio pagreitis). N prie kūno rodyklės – atramos reakcija; prie skaičiaus N – niutonas, jėgos vienetas. μ – trinties koeficientas

Užuomina

Sunkis ir trintis nukreipti žemyn šlaitu.

Pirmas žingsnis

Ašis nukreipta aukštyn šlaitu. Trauka teigiama, sunkio ir trinties projekcijos neigiamos. Statmenai šlaitui pagreičio nėra, todėl N=mgcos30°.

Visas sprendimas
  1. Ašis nukreipta aukštyn šlaitu. Trauka teigiama, sunkio ir trinties projekcijos neigiamos. Statmenai šlaitui pagreičio nėra, todėl N=mgcos30°.
  2. N=mgcos30°.
  3. Iš F−mgsin30°−μmgcos30°=ma pridedame abu priešinančius dėmenis: F=ma+mgsin30°+μmgcos30°. Iškeliame m ir tik tada statome skaičius.
  4. F−mgsin30°−μmgcos30°=ma.
  5. F=m[a+g(sin30°+μcos30°)]=13,509 N.

F≈13,51 N.

Grandinė ant krašto

Vienalytės grandinės ilgis L=2 m, ramybės trinties koeficientas 0,30. Koks didžiausias kabantis ilgis x, kad ji laikytųsi?

Duota
Vienalytės grandinės ilgis L=2 m, ramybės trinties koeficientas 0,30.
Rasti
Koks didžiausias kabantis ilgis x, kad ji laikytųsi?
Brėžinys ir žymėjimaiGrandinė ant kraštofₛmg daliesGrandinė L = 2 mKabanti dalis: xμₛ = 0,30

Schema, ne mastelis. Grandinė L = 2 m. Kabanti dalis: x. μₛ = 0,30. mg – sunkio jėga (m – masė, g – sunkio pagreitis). fₛ – rimties trinties jėga. μ – trinties koeficientas

Užuomina

Kabančią ir gulinčią masę išreikšk per tiesinį tankį λ.

Pirmas žingsnis

Pažymime λ masę vienam grandinės ilgio metrui. Kabančios dalies masė λx, ant stalo esančios λ(L−x). Ramybės trintis gali didėti tik iki μₛN.

Visas sprendimas
  1. Pažymime λ masę vienam grandinės ilgio metrui. Kabančios dalies masė λx, ant stalo esančios λ(L−x). Ramybės trintis gali didėti tik iki μₛN.
  2. Kabantį galą traukia λxg. Ant stalo esanti dalis turi N=λ(L−x)g.
  3. Ribinėje lygtyje sutrumpiname λg>0: x=μₛ(L−x). Išskleidžiame x=μₛL−μₛx, perkeliame: x(1+μₛ)=μₛL.
  4. Riboje λxg=μₛλ(L−x)g.
  5. x=μₛL/(1+μₛ)=0,60/1,30=0,4615 m.

0,4615 m, arba 23,08 % viso ilgio.

Dėžė ant dėžės

2 kg dėžė guli ant 3 kg dėžės, grindys be trinties. Apatinę traukia horizontali F. μₛ tarp dėžių 0,40. Kada viršutinė pradeda slysti?

Duota
2 kg dėžė guli ant 3 kg dėžės, grindys be trinties.
Rasti
Kada viršutinė pradeda slysti?
Brėžinys ir žymėjimaiDėžė ant dėžėsm₂ = 3 kgm₁ = 2 kgFfₛViršuje m₁ = 2 kgApačioje m₂ = 3 kgμₛ = 0,40

Schema, ne mastelis. Viršuje m₁ = 2 kg. Apačioje m₂ = 3 kg. μₛ = 0,40. fₛ – rimties trinties jėga. μ – trinties koeficientas

Užuomina

Viršutinę horizontaliai greitina tik trintis.

Pirmas žingsnis

Abi dėžės laikomos viena sistema tik kol neslysta viena kitos atžvilgiu. Bendras II dėsnis F=(2+3)a. Viršutinę horizontaliai greitina vien tik trintis.

Visas sprendimas
  1. Abi dėžės laikomos viena sistema tik kol neslysta viena kitos atžvilgiu. Bendras II dėsnis F=(2+3)a. Viršutinę horizontaliai greitina vien tik trintis.
  2. Kol neslysta, a=F/(2+3).
  3. Viršutinei 2a≤μₛ·2g. Dalijame iš 2: a≤μₛg. Į F=5a įstatome didžiausią leidžiamą pagreitį.
  4. Viršutinei reikia f=2a; didžiausia f=μₛ·2g, todėl a≤μₛg.
  5. F_rib=(2+3)μₛg=19,62 N. Virš ribos bendro pagreičio modelis nebegalioja.

Slydimas prasideda, kai F>19,62 N.

Nuo jėgos iki sustojimo

Kūnas slysta horizontaliai v₀=6 m/s; μₖ=0,15. Rask sustojimo laiką ir kelią.

Duota
Kūnas slysta horizontaliai v₀=6 m/s; μₖ=0,15.
Rasti
Rask sustojimo laiką ir kelią.
Brėžinys ir žymėjimaiNuo jėgos iki sustojimomNmgv₀fₖv₀ = 6 m/s į dešinęμₖ = 0,15Sustojimas: v = 0

Schema, ne mastelis. v₀ = 6 m/s į dešinę. μₖ = 0,15. Sustojimas: v = 0. mg – sunkio jėga (m – masė, g – sunkio pagreitis). N prie kūno rodyklės – atramos reakcija; prie skaičiaus N – niutonas, jėgos vienetas. fₖ – slydimo trinties jėga. μ – trinties koeficientas. v₀ – pradinis greitis

Užuomina

Pirma rask pastovų pagreitį, tada naudok kinematiką.

Pirmas žingsnis

Horizontaliai juda tik dėl trinties lėtėjantis kūnas: N=mg, f=μₖmg, o teigiama ašis pasirinkta pradinio judėjimo kryptimi.

Visas sprendimas
  1. Horizontaliai juda tik dėl trinties lėtėjantis kūnas: N=mg, f=μₖmg, o teigiama ašis pasirinkta pradinio judėjimo kryptimi.
  2. ΣFₓ=−μmg=ma → a=−μg=−1,4715 m/s².
  3. Sustojus v=0. Iš v=v₀+at gauname t=−v₀/a. Iš v²=v₀²+2as gauname 2as=−v₀² ir s=−v₀²/(2a)>0.
  4. t=−v₀/a=4,077 s.
  5. 0=v₀²+2as → s=12,232 m. Masė susiprastina.

4,077 s; 12,232 m.

Iššūkis: Mažiausia traukos jėga

10 kg dėžę horizontaliai traukiama virve kampu α į viršų. Slydimo μ=0,4; reikalaujamas a=2 m/s². g=10 m/s². Rask kampą, kuriam reikalinga mažiausia jėga, ir patikrink kontaktą.

Duota
10 kg dėžę horizontaliai traukiama virve kampu α į viršų.
Rasti
Rask kampą, kuriam reikalinga mažiausia jėga, ir patikrink kontaktą.
Brėžinys ir žymėjimaiIššūkis: Mažiausia traukos jėgamNmgFf+xm = 10 kg; μ = 0,4a = 2 m/s²Keičiamas traukos kampas α

Schema, ne mastelis. m = 10 kg; μ = 0,4. a = 2 m/s². Keičiamas traukos kampas α. mg – sunkio jėga (m – masė, g – sunkio pagreitis). N prie kūno rodyklės – atramos reakcija; prie skaičiaus N – niutonas, jėgos vienetas. μ – trinties koeficientas. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis

Užuomina

Išreikšk jėgą per cos α + μ sin α.

Pirmas žingsnis

N=mg−Fsinα, Fcosα−μN=ma.

Visas sprendimas
  1. N=mg−Fsinα, Fcosα−μN=ma.
  2. F=m(a+μg)/(cosα+μsinα). Vardiklis didžiausias, kai tanα=μ.
  3. Fmin=60/√1,16 N; N=100−Fmin·0,4/√1,16 > 0.

α≈21,80°; Fmin≈55,71 N; N≈79,31 N.

Ryšys su kita tema

Atskirus jėgų brėžinius sujungsime į kelių kūnų sistemą su virvės ryšiais.