Uždavinys 174
$\lim_{x\to -1}\left(\frac{x + 1}{x^{2} + 6 x + 9}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Daugiau praktikos.
Užduotys pagal skyrius. Pasirink temą arba vieną iš septynių ribų neapibrėžtumų. Neapibrėžtumų treniruotėje visi sprendimo žingsniai išskleisti. Ankstesnių pratybų banke dalis užduočių turi tik metodo priminimą ir atsakymą.
Uždavinys 175
$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(2 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys 176
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 177
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x^{2} + 3 x + 1}{2 x^{2} + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/2$
Uždavinys 178
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2 n^{9} + 3 n^{7}}{n^{9} + n^{5} + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2$
Uždavinys 179
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{x}{\sqrt{5 x + 1} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2/5$
Uždavinys 180
$\lim_{x\to 1}\left(\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2/3$
Uždavinys 181
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys 182
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\sqrt{4 n^{2} + 2 n + 1}}{n + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2$
Uždavinys 183
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{3 x^{4} + x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{1 - x^{4}} + \sqrt[3]{2 x^{2} + 1}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-\sqrt[3]{3}$
Uždavinys 184
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{5 x^{2} - x + 2}{1 - 4 x^{2}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-5/4$
Uždavinys 185
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sqrt{2 x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys 186
$\lim_{x\to \pi}\left(\frac{\sqrt{1 - \tan{\left(x \right)}} - \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1/2$
Uždavinys 187
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2} + 3 x + 1} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys 188
$\lim_{x\to 1}\left(\frac{\sqrt[3]{2 - x} - 1}{1 - \sqrt{x}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2/3$
Uždavinys 189
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x^{3} + 3 x^{2} + x + 1}{1 - 2 x^{3}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1/2$
Uždavinys 193
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{\sqrt{5 x + 1}}{\sqrt{3 x - 1}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$\sqrt{5/3}$
Uždavinys 194
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{\sqrt{2 x^{2} + 3 x + 1}}{5 x + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$\sqrt2/5$
Uždavinys 195
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2 n^{2} + \sqrt{n^{4} + 2 n^{2} + 1}}{2 n^{2} + n + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3/2$
Uždavinys 196
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{3 n^{2} - 2 n + 3}{n^{2} + 2 n + \sqrt[3]{1 - 8 n^{6}}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-3$
Uždavinys 197
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{2 x + \sqrt[5]{x^{6} + x^{3} + x}}{x^{2} + 2 x + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 198
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{a + x^{7}}{b x^{3} + c + 3 x^{7}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/3$
Uždavinys 199
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{3 x - \sqrt{x^{5} + 1}}{\sqrt{2 x^{5} + x^{2} + 1}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1/\sqrt2$
Uždavinys 200
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x^{3} + 3 x^{2} + x + 1}{\sqrt{x^{6} + 1}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys 201
$\lim_{x\to \infty}\left(2^{1 \frac{1}{x + 1}} + \frac{3 x^{3}}{1 - 2 x^{3}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1/2$
Uždavinys 202
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x^{4} + x^{2} \sin{\left(x \right)} + 1}{3 x^{4} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/3$
Uždavinys 203
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\sqrt{2 n^{4} + n^{2} + 1}}{\left(-1\right)^{n} n + n^{2} + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$\sqrt2$
Uždavinys 204
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n \left(n + 1\right)}{2 \sqrt{9 n^{4} + 1}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/6$
Uždavinys 205
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n^{2}}{\frac{1}{2} n \left(n + 1\right)}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2$
Uždavinys 252
$\lim_{x\to \infty}\left(\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{2 x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^4$
Uždavinys 253
$\lim_{n\to \infty}\left(\left(\frac{n - 3}{n}\right)^{n - 3}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{-3}$
Uždavinys 254
$\lim_{x\to \infty}\left(\left(\frac{4 x + 1}{4 x - 1}\right)^{3 x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{3/2}$
Uždavinys 255
$\lim_{x\to \infty}\left(2 x \left(- \log{\left(3 x \right)} + \log{\left(3 x - 1 \right)}\right)\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-2/3$
Uždavinys 256
$\lim_{x\to 2}\left(\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x - 8}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2/3$
Uždavinys 257
$\lim_{x\to 3}\left(\frac{x^{3} - 27}{x^{2} - 3 x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$9$
Uždavinys 258
$\lim_{x\to \infty}\left(\left(1 - \frac{3}{x}\right)^{2 x + 2}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{-6}$
Uždavinys 259
$\lim_{x\to 0}\left(\left(4 x + 1\right)^{\left(-1\right) 1 + \frac{3}{x}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{12}$
Uždavinys 260
$\lim_{n\to \infty}\left(\left(\frac{2 n - 3}{2 n - 1}\right)^{4 n}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{-4}$
Uždavinys 261
$\lim_{n\to \infty}\left(\left(n + 1\right) \left(- \log{\left(2 n \right)} + \log{\left(2 n + 8 \right)}\right)\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$4$
Uždavinys 262
$\lim_{n\to \infty}\left(\left(1 - \frac{7}{n}\right)^{n + 3}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{-7}$
Uždavinys 263
$\lim_{x\to \infty}\left(\left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2 x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^6$
Uždavinys 264
$\lim_{x\to \infty}\left(\left(1 - 1 \frac{1}{5 x}\right)^{3 x + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{-3/5}$
Uždavinys 265
$\lim_{n\to \infty}\left(\left(1 + \frac{4}{n}\right)^{n + 3}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^4$
Uždavinys 266
$\lim_{x\to \infty}\left(\left(\left(1 + \frac{5}{x}\right) \left(1 - \frac{3}{x}\right)\right)^{2 x + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^4$
Uždavinys 267
$\lim_{x\to 0}\left(\left(7 x + 1\right)^{\frac{2}{x}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{14}$
Uždavinys 268
$\lim_{x\to 0}\left(\left(1 - 3 x\right)^{2 + \frac{5}{x}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{-15}$
Uždavinys 269
$\lim_{x\to 0}\left(\left(1 - 2 x\right)^{\frac{2 x + 3}{x}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{-6}$
Uždavinys 270
$\lim_{x\to 0}\left(\left(1 - 4 x\right)^{\frac{1 - x}{x}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{-4}$
Uždavinys 271
$\lim_{n\to \infty}\left(\left(\frac{n + 6}{n}\right)^{3 n - 2}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{18}$
Uždavinys 272
$\lim_{x\to \infty}\left(\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{2 x - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{-2}$
Uždavinys 273
$\lim_{x\to \infty}\left(\left(\frac{4 x}{4 x + 2}\right)^{x + 5}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{-1/2}$
Uždavinys 274
$\lim_{n\to \infty}\left(\left(\frac{3 n - 2}{3 n + 1}\right)^{2 \left(n + 1\right)}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{-2}$
Uždavinys 275
$\lim_{n\to \infty}\left(\left(n + 2\right) \left(- \log{\left(n \right)} + \log{\left(n + 3 \right)}\right)\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3$
Uždavinys 276
$\lim_{x\to \infty}\left(\left(x - 1\right) \left(\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 2 \right)}\right)\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-2$
Uždavinys 277
$\lim_{n\to \infty}\left(3 n \left(- \log{\left(n \right)} + \log{\left(n + 5 \right)}\right)\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$15$
Uždavinys 278
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2$
Uždavinys 279
$\lim_{x\to 0}\left(\left(5 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{\cot^{2}{\left(x \right)} + 2}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^5$
Uždavinys 280
$\lim_{x\to 0}\left(\cos^{4 \cot^{2}{\left(x \right)} - 2}{\left(x \right)}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{-2}$
Uždavinys 281.1
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys 281.2
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\left(-1\right) 1 + e^{- x}}{x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1$
Uždavinys 281.3
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{a^{2 x} - 1}{x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2\ln a$
Uždavinys 284
$\lim_{x\to 4}\left(\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 6 x + 8}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$4$
Uždavinys 285
$\lim_{x\to -1}\left(\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-2$
Uždavinys 286
$\lim_{x\to -2}\left(\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 3 x - 10}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$5/7$
Uždavinys 287
$\lim_{x\to 2}\left(\frac{x^{2} - 2 x}{4 - x^{2}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1/2$
Uždavinys 288
$\lim_{x\to -3}\left(\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3/2$
Uždavinys 289
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 290
$\lim_{x\to 1}\left(\frac{x^{2} - 1}{x^{3} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2/3$
Uždavinys 291
$\lim_{x\to 5}\left(\frac{x^{2} - 7 x + 10}{x^{3} - 125}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/25$
Uždavinys 292
$\lim_{x\to -2}\left(\frac{x^{3} + 8}{2 x^{2} - 8}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-3/2$
Uždavinys 293
$\lim_{x\to -1}\left(\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{2 x^{2} + 4 x + 2}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 294
$\lim_{x\to -2}\left(\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8}{x^{2} + 2 x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 295
$\lim_{x\to 2}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{2}}{x^{3} - 8}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/(24\sqrt2)$
Uždavinys 296
$\lim_{x\to 1}\left(\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{x^{2} - 4 x + 3}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1/6$
Uždavinys 297
$\lim_{x\to 4}\left(\frac{x^{4} - 256}{- 2 \sqrt{x} + x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$512$
Uždavinys 219
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{x}{\sin{\left(4 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/4$
Uždavinys 220
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{x^{2}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$18$
Uždavinys 221
$\lim_{x\to0}\sin^3(x/4)/x^3$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/64$.
Uždavinys 222
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{- \cos{\left(2 x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{x \sin{\left(x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3$
Uždavinys 223
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} + 1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3$
Uždavinys 224
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\tan{\left(5 x \right)}}{x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$5$
Uždavinys 225
$\lim_{x\to 0}\left(x^{2} \cot^{2}{\left(2 x \right)}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/4$
Uždavinys 226
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(6 x \right)}}{x^{2}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$18$
Uždavinys 227.1
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys 227.2
$\lim_{x\to \frac{1}{2}}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(1 - 2 x \right)}}{4 x^{2} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1/2$
Uždavinys 228
$\lim_{x\to 2}\left(\frac{\sin{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} + 2^{- \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/4$
Uždavinys 229
$\lim_{x\to -2}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}{x^{2} + 2 x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1/2$
Uždavinys 230
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{2 x}{\sqrt{2 x + 1} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2$
Uždavinys 231
$\lim_{x\to 1}\left(\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2/3$
Uždavinys 232
$\lim_{x\to \pi}\left(\frac{\sqrt{1 - \tan{\left(x \right)}} - \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1/2$
Uždavinys 235
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys 236
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sqrt{2 \sin{\left(x \right)} + 1} - 1}{x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys 237
$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(\frac{- \sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}} + \sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}{\cos{\left(x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys 238
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{\sqrt{5 x + 1} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2/5$
Uždavinys 239
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sqrt{4 x^{2} + 1} - 1}{x \sin{\left(x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2$
Uždavinys 240
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} + 6 x + 1} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2/3$
Uždavinys 241
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{3}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$18\sqrt3$
Uždavinys 242
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\tan{\left(4 x \right)}}{\sqrt[3]{x + 1} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$12$
Uždavinys 243
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{\sin{\left(3 x \right)} \tan{\left(2 x \right)}} \left(\sqrt[3]{3 x^{2} + 1} - 1\right)\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/6$
Uždavinys 244
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sqrt[3]{7 x^{3} + 1} - 1}{\sqrt{3 x^{2} + 1} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 245a
$\lim_{x\to a}\left(\frac{- x + \sqrt{a x}}{- a + x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1/2$
Uždavinys 245b
$\lim_{x\to a}\left(\frac{- x + \sqrt{a x}}{- a + x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$\text{Kai }a<0\text{: abipusė riba neegzistuoja}$
Uždavinys 246
$\lim_{x\to \infty}\left(- x + \sqrt{x^{2} + 3 x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3/2$
Uždavinys 247
$\lim_{x\to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys 248
$\lim_{x\to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2$
Uždavinys 6.16
$\lim_{x\to 2}\left(\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{3} - 8}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/2$
Uždavinys 6.17
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{x^{2} - 5 x}{1 \frac{1}{x^{2}}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 6.18
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{4 x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 9 x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/3$
Uždavinys 6.19
$\lim_{x\to 2}\left(\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{3} - 2 x^{2} - x + 2}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1/3$
Uždavinys 6.20
$\lim_{x\to -1}\left(\frac{x^{3} - 3 x - 2}{x^{2} + x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 6.21
$\lim_{x\to 1}\left(\frac{\left(2 x^{2} - x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 2 x^{2} - x - 2}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 6.22
$\lim_{x\to 1}\left(\frac{x^{3} + x^{2} - 5 x + 3}{x^{3} - x^{2} - x + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2$
Uždavinys 6.23
$\lim_{x\to 4}\left(\frac{\sqrt{2 x + 1} - 3}{\sqrt{x} - 2}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$4/3$
Uždavinys 6.24
$\lim_{x\to 1}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 6.25
$\lim_{x\to -2}\left(\frac{\sqrt[3]{x - 6} + 2}{x^{3} + 8}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/144$
Uždavinys 6.26
$\lim_{x\to 8}\left(\frac{\sqrt{2 x + 9} - 5}{\sqrt[3]{x} - 2}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$12/5$
Uždavinys 6.27
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{- \sqrt[3]{27 - x} + \sqrt[3]{x + 27}}{x + 2 \sqrt[3]{x^{4}}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2/27$
Uždavinys 6.28
$\lim_{x\to 1}\left(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{x - 1} - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/\sqrt2$
Uždavinys 6.29
$\lim_{x\to 2}\left(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{x - 2} - \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/2$
Uždavinys 6.30
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sqrt[3]{\frac{x}{3} + 1} - \sqrt[4]{\frac{x}{4} + 1}}{1 - \sqrt{1 - \frac{x}{2}}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$7/36$
Uždavinys 6.31
$\lim_{x\to \infty}\left(1 + \frac{7}{3 - \sqrt[3]{x}} + \frac{3}{2 x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys 6.32
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{3 x^{3} - 2 x + 10}{5 x^{2} + 3 x - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$+\infty$
Uždavinys 6.33
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 5}{3 x^{4} - 7 x + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 6.34
$\lim_{x\to \infty}\left(- \sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/2$
Uždavinys 6.35
$\lim_{x\to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 2 x} + \sqrt[3]{x^{3} + 3 x^{2}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2$
Uždavinys 6.36
$\lim_{x\to \infty}\left(x \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 2 \right)}\right)\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2$
Uždavinys 6.37
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{- \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(7 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$5$
Uždavinys 6.38
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/2$
Uždavinys 6.39
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2$
Uždavinys 6.40
$\lim_{x\to a}\left(\frac{- \sin{\left(a \right)} + \sin{\left(x \right)}}{- a + x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$\cos a$
Uždavinys 6.41
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{1 - \cos^{3}{\left(x \right)}}{x - \sin{\left(2 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 6.42
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{1 - \sqrt{\cos{\left(x \right)}}}{1 - \cos{\left(\sqrt{x} \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 6.43
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{1 - \cos{\left(3 x \right)}}{x \tan{\left(2 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$9/4$
Uždavinys 6.44
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{\frac{x + 1}{1 - x}} \right)}}{x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys 6.45
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{1 - \cos{\left(10 x \right)}}{e^{x^{2}} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$50$
Uždavinys 6.46
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{3 x^{2} - 5 x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-5/3$
Uždavinys 6.47
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{4 x}{\tan{\left(\pi \left(x + 2\right) \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$4/\pi$
Uždavinys 6.48
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{1 - \cos^{3}{\left(x \right)}}{4 x^{2}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3/8$
Uždavinys 6.49
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$6\sqrt2$
Uždavinys 6.50
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{2^{x} - 1}{\log{\left(2 x + 1 \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$\ln2/2$
Uždavinys 6.51
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 \pi \left(x + 10\right) \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/\pi$
Uždavinys 6.52
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\log{\left(1 - 7 x \right)}}{\sin{\left(\pi \left(x + 7\right) \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$7/\pi$
Uždavinys 6.53
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{9 \log{\left(1 - 2 x \right)}}{4 \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-3/2$
Uždavinys 6.54
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{1 - \sqrt{\cos{\left(x \right)}}}{x \sin{\left(x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/4$
Uždavinys 1.1
Rask 1 eilės išvestinę: $y=x \sqrt{4 - x^{2}}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$- \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} + \sqrt{4 - x^{2}}$
Uždavinys 1.2
Rask 1 eilės išvestinę: $y=5 \cos^{3}{\left(2 x - 1 \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$- 30 \sin{\left(2 x - 1 \right)} \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}$
Uždavinys 1.3
Rask 1 eilės išvestinę: $y=2 \sin{\left(3 x \right)} \tan^{3}{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$2 \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 3\right) \sin{\left(3 x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(3 x \right)} \tan^{3}{\left(x \right)}$
Uždavinys 1.4
Rask 1 eilės išvestinę: $y=3 x \cot{\left(1 \frac{1}{x} \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$3 \cot{\left(1 \frac{1}{x} \right)} - \frac{3 \left(- \cot^{2}{\left(1 \frac{1}{x} \right)} - 1\right)}{x}$
Uždavinys 1.5
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\operatorname{acos}{\left(\sqrt{1 - 3 x} \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{x} \sqrt{1 - 3 x}}$
Uždavinys 1.6
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\sin^{2}{\left(\frac{1 - \log{\left(x \right)}}{x} \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$2 \left(- \frac{1 - \log{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}\right) \sin{\left(\frac{1 - \log{\left(x \right)}}{x} \right)} \cos{\left(\frac{1 - \log{\left(x \right)}}{x} \right)}$
Uždavinys 1.7
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{\log{\left(x^{2} - \sin{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{2 x - \cos{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - \sin{\left(x \right)}\right) \log{\left(3 \right)}}$
Uždavinys 1.8
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\operatorname{atan}{\left(\sqrt{\frac{1 - x}{x + 1}} \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{\sqrt{\frac{1 - x}{x + 1}} \left(x + 1\right) \left(- \frac{1 - x}{2 \left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)}{\left(1 - x\right) \left(\frac{1 - x}{x + 1} + 1\right)}$
Uždavinys 1.9
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\log{\left(\frac{x + \sqrt{1 - x^{2}}}{x} \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{x \left(\frac{- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 1}{x} - \frac{x + \sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2}}\right)}{x + \sqrt{1 - x^{2}}}$
Uždavinys 1.10
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\operatorname{asin}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{1}{x \sqrt{1 - \log{\left(x \right)}^{2}}}$
Uždavinys 1.11
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\tan{\left(\frac{1 - e^{x}}{e^{x} + 1} \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\left(- \frac{\left(1 - e^{x}\right) e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{1 - e^{x}}{e^{x} + 1} \right)} + 1\right)$
Uždavinys 1.12
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \cos{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$- \sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}$
Uždavinys 1.13
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{2 \left(- \sin{\left(\frac{4 x^{2}}{5} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x + 1}{2} \right)}\right)}{5}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$- \frac{16 x \cos{\left(\frac{4 x^{2}}{5} \right)}}{25} - \frac{2 \sin{\left(\frac{2 x + 1}{2} \right)}}{5}$
Uždavinys 1.14
Rask 1 eilės išvestinę: $y=10^{\sqrt{x}} x$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{10^{\sqrt{x}} \sqrt{x} \log{\left(10 \right)}}{2} + 10^{\sqrt{x}}$
Uždavinys 1.15
Rask 1 eilės išvestinę: $y=1 \frac{1}{\tan^{2}{\left(2 x \right)}}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$- \frac{4 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 4}{\tan{\left(2 x \right)} \tan^{2}{\left(2 x \right)}}$
Uždavinys 1.16
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\log{\left(\operatorname{atan}{\left(1 \frac{1}{x + 1} \right)} \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$- \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) \left(x + 1\right)^{2} \operatorname{atan}{\left(1 \frac{1}{x + 1} \right)}}$
Uždavinys 1.17
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\log{\left(1 \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} - 1}} \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{- \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} - 1}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}$
Uždavinys 1.18
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\left(x \sqrt{x + 3} + 1\right)^{1 \cdot \frac{1}{3}}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{\left(\frac{x}{6 \sqrt{x + 3}} + \frac{\sqrt{x + 3}}{3}\right) \left(x \sqrt{x + 3} + 1\right)^{\frac{1}{3}}}{x \sqrt{x + 3} + 1}$
Uždavinys 1.19
Rask 1 eilės išvestinę: $y=x^{2} \sqrt{\sqrt{x} + 1}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{4 \sqrt{\sqrt{x} + 1}} + 2 x \sqrt{\sqrt{x} + 1}$
Uždavinys 1.20
Rask 1 eilės išvestinę: $y=1 \frac{1}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}$
Uždavinys 1.21
Rask 1 eilės išvestinę: $y=x^{3} \operatorname{atan}{\left(x^{3} \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{3 x^{5}}{x^{6} + 1} + 3 x^{2} \operatorname{atan}{\left(x^{3} \right)}$
Uždavinys 1.22
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}}$
Uždavinys 1.23
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\sqrt{1 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
Uždavinys 1.24
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{1 - 4 x}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{4 \operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{\left(1 - 4 x\right)^{2}} + \frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}} \left(1 - 4 x\right)}$
Uždavinys 1.25
Rask 1 eilės išvestinę: $y=e^{1 \frac{1}{\log{\left(x \right)}}}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$- \frac{e^{\frac{1}{\log{\left(x \right)}}}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}$
Uždavinys 1.26
Rask 1 eilės išvestinę: $y=10^{\tan{\left(x \right)}}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$10^{\tan{\left(x \right)}} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(10 \right)}$
Uždavinys 1.27
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\sin^{2}{\left(x \right)} \sin{\left(x^{2} \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$2 x \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x^{2} \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(x^{2} \right)} \cos{\left(x \right)}$
Uždavinys 1.28
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}}}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$- \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}}} + \frac{2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{\frac{3}{2}}{\left(2 x \right)}}$
Uždavinys 1.29
Rask 1 eilės išvestinę: $y=x \sqrt{\frac{1 - x}{x^{2} + 1}}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \left(- \frac{x \left(1 - x\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)}\right)}{\sqrt{1 - x}} + \sqrt{\frac{1 - x}{x^{2} + 1}}$
Uždavinys 1.30
Rask 1 eilės išvestinę: $y=- \frac{x \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{4}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$- \frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\left(1 - x\right) \left(\frac{1}{1 - x} + \frac{x + 1}{\left(1 - x\right)^{2}}\right)}{4 \left(x + 1\right)} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$
Uždavinys 1.31
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$3 \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}} \cos{\left(3 x \right)} + \frac{\left(2 \sin^{3}{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(3 x \right)}}{4 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}$
Uždavinys 1.32
Rask 1 eilės išvestinę: $y=- a \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{a} \right)} + \sqrt{a^{2} - x^{2}}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$- \frac{x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}}}$
Uždavinys 1.33
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\sqrt{x^{2} + 1} - \log{\left(\sqrt{1 + 1 \frac{1}{x^{2}}} + 1 \frac{1}{x} \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{- \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3} \sqrt{1 + 1 \frac{1}{x^{2}}}}}{\sqrt{1 + 1 \frac{1}{x^{2}}} + 1 \frac{1}{x}}$
Uždavinys 1.34
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cot{\left(x \right)} + 1} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)} + 1}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cot{\left(x \right)} + 1} + \frac{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cot{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} - \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)} + 1} + \frac{\left(- \tan^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\tan{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$
Uždavinys 1.35
Rask 1 eilės išvestinę: $y=- \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 1}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}$
Uždavinys 1.36
Rask 1 eilės išvestinę: $y=x e^{1 - \cos{\left(x \right)}}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$x e^{1 - \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} + e^{1 - \cos{\left(x \right)}}$
Uždavinys 1.37
Rask 1 eilės išvestinę: $y=1 \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(e^{- 2 x} \right)}}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{2 e^{- 2 x}}{\left(1 + e^{- 4 x}\right) \operatorname{atan}^{2}{\left(e^{- 2 x} \right)}}$
Uždavinys 1.38
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\left(\sin{\left(3 x \right)} - 3 \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{x}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\left(\sin{\left(3 x \right)} - 3 \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{x} + \left(9 \sin{\left(3 x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{x}$
Uždavinys 1.39
Rask 1 eilės išvestinę: $y=3 x^{3} \operatorname{asin}{\left(x \right)} + \sqrt{1 - x^{2}} \left(x^{2} + 2\right)$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{3 x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 9 x^{2} \operatorname{asin}{\left(x \right)} + 2 x \sqrt{1 - x^{2}} - \frac{x \left(x^{2} + 2\right)}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
Uždavinys 1.40
Rask 1 eilės išvestinę: $y=- \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x - 2}{\sqrt{6}} \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$- \frac{2 - x}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 2}} + \frac{\sqrt{6}}{3 \sqrt{1 - \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{6}}}$
Uždavinys 1.41
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\log{\left(e^{x} \cos{\left(x \right)} + e^{- x} \sin{\left(x \right)} \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{- e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} - e^{- x} \sin{\left(x \right)} + e^{- x} \cos{\left(x \right)}}{e^{x} \cos{\left(x \right)} + e^{- x} \sin{\left(x \right)}}$
Uždavinys 1.42
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$- \frac{x \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\frac{x}{x^{2} + 1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$
Uždavinys 1.43
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{3}{\cos{\left(x - \cos{\left(x \right)} \right)}}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{3 \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x - \cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x - \cos{\left(x \right)} \right)}}$
Uždavinys 1.44
Rask 1 eilės išvestinę: $y=e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$- 3 e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + e^{x} \cos^{4}{\left(x \right)}$
Uždavinys 1.45
Rask 1 eilės išvestinę: $y=x - \log{\left(\sqrt{e^{2 x} + 4 e^{x} + 1} + 2 e^{x} + 1 \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$- \frac{\frac{e^{2 x} + 2 e^{x}}{\sqrt{e^{2 x} + 4 e^{x} + 1}} + 2 e^{x}}{\sqrt{e^{2 x} + 4 e^{x} + 1} + 2 e^{x} + 1} + 1$
Uždavinys 1.46
Rask 1 eilės išvestinę: $y=3^{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{\log{\left(2 x + 3 \right)} + 1} \right)}}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{3^{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{\log{\left(2 x + 3 \right)} + 1} \right)}} \log{\left(3 \right)}}{\left(2 x + 3\right) \sqrt{\log{\left(2 x + 3 \right)} + 1} \left(\log{\left(2 x + 3 \right)} + 2\right)}$
Uždavinys 1.47
Rask 1 eilės išvestinę: $y=- x - \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)} \cot{\left(x \right)} + \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} - \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)} - 1 - \frac{\cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}$
Uždavinys 1.48
Rask 1 eilės išvestinę: $y=2 \log{\left(2 x - 3 \sqrt{1 - 4 x^{2}} \right)} - 6 \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{2 \left(\frac{12 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} + 2\right)}{2 x - 3 \sqrt{1 - 4 x^{2}}} - \frac{12}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$
Uždavinys 1.49
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\log{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)} + \operatorname{acot}{\left(x \right)} + \frac{3 x^{2} - 1}{3 x^{3}}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$6 \frac{1}{3 x^{3}} x + \frac{x}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{3 x^{2} - 1}{x^{4}}$
Uždavinys 1.50
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{\left(3 - x\right) \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}}{2} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x + 1}{\sqrt{2}} \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{\left(3 - x\right) \left(- x - 1\right)}{2 \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}} - \frac{\sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 - \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{2}}}$
Uždavinys 1.51
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\log{\left(x \sqrt{1 - x^{2}} \sin{\left(x \right)} \right)}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{- \frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + x \sqrt{1 - x^{2}} \cos{\left(x \right)} + \sqrt{1 - x^{2}} \sin{\left(x \right)}}{x \sqrt{1 - x^{2}} \sin{\left(x \right)}}$
Uždavinys 1.52
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{e^{x^{2} + \frac{\log{\left(x \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 1}}{\sqrt{x}}$.
Metodo priminimas
Sandaugos, dalmens ir grandinės taisyklės
$\frac{x^{\frac{1}{2}} \left(2 x - \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{2 x}\right) e^{x^{2} - \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 1}}{\sqrt{x}} - \frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2} - \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 1}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$
Uždavinys 2.1
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$\left(- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)}$
Uždavinys 2.2
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\log{\left(x \right)}^{x}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) \log{\left(x \right)}^{x}$
Uždavinys 2.3
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\left(\left(x + 1\right)^{2}\right)^{1 \frac{1}{x}}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$\left(\frac{2 x + 2}{x \left(x + 1\right)^{2}} - \frac{\log{\left(\left(x + 1\right)^{2} \right)}}{x^{2}}\right) \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{x}}$
Uždavinys 2.4
Rask 1 eilės išvestinę: $y=x^{3} e^{x^{2}} \sin{\left(2 x \right)}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$2 x^{4} e^{x^{2}} \sin{\left(2 x \right)} + 2 x^{3} e^{x^{2}} \cos{\left(2 x \right)} + 3 x^{2} e^{x^{2}} \sin{\left(2 x \right)}$
Uždavinys 2.5
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{\left(x + 1\right)^{1 \cdot \frac{1}{3}} \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{3}}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$- \frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{1}{3}} \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{4}} + \frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{3}} \left(2 x - 4\right)}{\left(x - 5\right)^{3}} + \frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{3}} \left(x - 2\right)^{2}}{3 \left(x + 1\right) \left(x - 5\right)^{3}}$
Uždavinys 2.6
Rask 1 eilės išvestinę: $y=x^{\log{\left(x \right)}}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$\frac{2 x^{\log{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)}}{x}$
Uždavinys 2.7
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{\left(x + 1\right)^{3} \left(x - 2\right)^{1 \cdot \frac{1}{4}}}{\left(x - 3\right)^{\frac{2}{5}}}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$- \frac{2 \left(x + 1\right)^{3} \left(x - 2\right)^{\frac{1}{4}}}{5 \left(x - 3\right)^{\frac{7}{5}}} + \frac{\left(x + 1\right)^{3} \left(x - 2\right)^{\frac{1}{4}}}{4 \left(x - 2\right) \left(x - 3\right)^{\frac{2}{5}}} + \frac{3 \left(x + 1\right)^{2} \left(x - 2\right)^{\frac{1}{4}}}{\left(x - 3\right)^{\frac{2}{5}}}$
Uždavinys 2.8
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\sqrt{x \sqrt{1 - e^{x}} \sin{\left(x \right)}}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$\frac{\sqrt{x \sqrt{1 - e^{x}} \sin{\left(x \right)}} \left(\frac{x \sqrt{1 - e^{x}} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x} \sin{\left(x \right)}}{4 \sqrt{1 - e^{x}}} + \frac{\sqrt{1 - e^{x}} \sin{\left(x \right)}}{2}\right)}{x \sqrt{1 - e^{x}} \sin{\left(x \right)}}$
Uždavinys 2.9
Rask 1 eilės išvestinę: $y=x^{\sin{\left(x \right)}}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$x^{\sin{\left(x \right)}} \left(\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right)$
Uždavinys 2.10
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} \left(\left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1}\right) + \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}\right)$
Uždavinys 2.11
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\left(x^{2} + 1\right)^{\sin{\left(x \right)}}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$\left(x^{2} + 1\right)^{\sin{\left(x \right)}} \left(\frac{2 x \sin{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} + \log{\left(x^{2} + 1 \right)} \cos{\left(x \right)}\right)$
Uždavinys 2.12
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\left(\frac{x \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right)^{1 \cdot \frac{1}{3}}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$\frac{\left(\frac{x \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right)^{\frac{1}{3}} \left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(- \frac{4 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}{3 \left(x^{2} - 1\right)^{3}} + \frac{2 x^{2}}{3 \left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{x^{2} + 1}{3 \left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right)}{x \left(x^{2} + 1\right)}$
Uždavinys 2.13
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{\left(3 - x\right)^{4} \sqrt{x + 2}}{\left(x + 1\right)^{5}}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$\frac{\left(3 - x\right)^{4}}{2 \left(x + 1\right)^{5} \sqrt{x + 2}} - \frac{5 \left(3 - x\right)^{4} \sqrt{x + 2}}{\left(x + 1\right)^{6}} - \frac{4 \left(3 - x\right)^{3} \sqrt{x + 2}}{\left(x + 1\right)^{5}}$
Uždavinys 2.14
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{x e^{x} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\log{\left(x \right)}}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$\frac{x e^{x} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\log{\left(x \right)}} + \frac{x e^{x}}{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x \right)}} + \frac{e^{x} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\log{\left(x \right)}} - \frac{e^{x} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\log{\left(x \right)}^{2}}$
Uždavinys 2.15
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\tan^{\frac{\log{\left(x \right)}}{2}}{\left(2 x \right)}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$\left(\frac{\left(2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2\right) \log{\left(x \right)}}{2 \tan{\left(2 x \right)}} + \frac{\log{\left(\tan{\left(2 x \right)} \right)}}{2 x}\right) \tan^{\frac{\log{\left(x \right)}}{2}}{\left(2 x \right)}$
Uždavinys 2.16
Rask 1 eilės išvestinę: $y=x^{2} \cos^{4 x}{\left(3 x \right)}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$x^{2} \left(- \frac{12 x \sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}} + 4 \log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}\right) \cos^{4 x}{\left(3 x \right)} + 2 x \cos^{4 x}{\left(3 x \right)}$
Uždavinys 2.17
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\left(2 x + 1\right)^{3 x} \cos{\left(4 x \right)}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$\left(2 x + 1\right)^{3 x} \left(\frac{6 x}{2 x + 1} + 3 \log{\left(2 x + 1 \right)}\right) \cos{\left(4 x \right)} - 4 \left(2 x + 1\right)^{3 x} \sin{\left(4 x \right)}$
Uždavinys 2.18
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\left(1 - x^{3}\right)^{1 \cdot \frac{1}{3}} \tan^{2 x}{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$- \frac{x^{2} \left(1 - x^{3}\right)^{\frac{1}{3}} \tan^{2 x}{\left(x \right)}}{1 - x^{3}} + \left(1 - x^{3}\right)^{\frac{1}{3}} \left(\frac{2 x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}} + 2 \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}\right) \tan^{2 x}{\left(x \right)}$
Uždavinys 2.19
Rask 1 eilės išvestinę: $y=e^{3 x} \cot^{2 x}{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$\left(\frac{2 x \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right)}{\cot{\left(x \right)}} + 2 \log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)}\right) e^{3 x} \cot^{2 x}{\left(x \right)} + 3 e^{3 x} \cot^{2 x}{\left(x \right)}$
Uždavinys 2.20
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{\left(1 - x^{2}\right) e^{3 x - 1} \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)}}{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$- \frac{2 x e^{3 x - 1} \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)}}{\operatorname{acos}{\left(x \right)}} + \frac{\sqrt{1 - x^{2}} e^{3 x - 1} \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)}}{\operatorname{acos}^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(1 - x^{2}\right) \left(- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) e^{3 x - 1} \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)}}{\operatorname{acos}{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(1 - x^{2}\right) e^{3 x - 1} \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)}}{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}$
Uždavinys 1.1.4-a
Rask 1 eilės išvestinę: $y=x^{3}$.
Metodo priminimas
Tik pagal išvestinės apibrėžimą: skirtuminio santykio riba
$3 x^{2}$
Uždavinys 1.1.4-b
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\sqrt{x}$.
Metodo priminimas
Tik pagal išvestinės apibrėžimą: skirtuminio santykio riba
$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
Uždavinys 1.1.4-c
Rask 1 eilės išvestinę: $y=1 \frac{1}{x}$.
Metodo priminimas
Tik pagal išvestinės apibrėžimą: skirtuminio santykio riba
$- \frac{1}{x^{2}}$
Uždavinys 1.1.4-d
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\cos{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Tik pagal išvestinės apibrėžimą: skirtuminio santykio riba
$- \sin{\left(x \right)}$
Uždavinys 1.1.4-e
Rask 1 eilės išvestinę: $y=e^{x}$.
Metodo priminimas
Tik pagal išvestinės apibrėžimą: skirtuminio santykio riba
$e^{x}$
Uždavinys 1.1.4-f
Rask 1 eilės išvestinę: $y=x^{1 \cdot \frac{1}{3}}$.
Metodo priminimas
Tik pagal išvestinės apibrėžimą: skirtuminio santykio riba
$\frac{x^{\frac{1}{3}}}{3 x}$
Uždavinys 1.1.4-g
Rask 1 eilės išvestinę: $y=1 \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$.
Metodo priminimas
Tik pagal išvestinės apibrėžimą: skirtuminio santykio riba
$- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
Uždavinys 1.1.4-h
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\log{\left(2 x - 3 \right)}$.
Metodo priminimas
Tik pagal išvestinės apibrėžimą: skirtuminio santykio riba
$\frac{2}{2 x - 3}$
Uždavinys 1.1.4-i
Rask 1 eilės išvestinę: $y=4^{x}$.
Metodo priminimas
Tik pagal išvestinės apibrėžimą: skirtuminio santykio riba
$4^{x} \log{\left(4 \right)}$
Uždavinys 1.1.4-j
Rask 1 eilės išvestinę: $y=x^{3} - 5 x$.
Metodo priminimas
Tik pagal išvestinės apibrėžimą: skirtuminio santykio riba
$3 x^{2} - 5$
Uždavinys 1.1.4-k
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\sqrt{2 x + 1}$.
Metodo priminimas
Tik pagal išvestinės apibrėžimą: skirtuminio santykio riba
$\frac{1}{\sqrt{2 x + 1}}$
Uždavinys 1.1.4-l
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\tan{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Tik pagal išvestinės apibrėžimą: skirtuminio santykio riba
$\tan^{2}{\left(x \right)} + 1$
Uždavinys 1.1.4-m
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{x}{x + 1}$.
Metodo priminimas
Tik pagal išvestinės apibrėžimą: skirtuminio santykio riba
$- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1}$
Uždavinys 1.1.4-n
Rask 1 eilės išvestinę: $y=e^{1 \frac{1}{x}}$.
Metodo priminimas
Tik pagal išvestinės apibrėžimą: skirtuminio santykio riba
$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$
Uždavinys 1.1.4-o
Rask 1 eilės išvestinę: $y=1 \frac{1}{x^{2} + 1}$.
Metodo priminimas
Tik pagal išvestinės apibrėžimą: skirtuminio santykio riba
$- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
Uždavinys 1.1.4-p
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\cos{\left(x^{2} \right)}$.
Metodo priminimas
Tik pagal išvestinės apibrėžimą: skirtuminio santykio riba
$- 2 x \sin{\left(x^{2} \right)}$
Uždavinys 1.2.7-a
Rask 1 eilės išvestinę: $y=- 2 \sqrt{x} + \frac{x^{5}}{5} + \frac{3 \log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$x^{4} + \frac{3}{x \log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$
Uždavinys 1.2.7-b
Rask 1 eilės išvestinę: $y=x^{4} e^{x}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$
Uždavinys 1.2.7-c
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{\cos{\left(x \right)}}{x + 1}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}$
Uždavinys 1.2.7-d
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\sqrt{2 x - 1}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$\frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$
Uždavinys 1.2.7-e
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\tan{\left(3 x \right)}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 3$
Uždavinys 1.2.7-f
Rask 1 eilės išvestinę: $y=x^{6} \log{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$6 x^{5} \log{\left(x \right)} + x^{5}$
Uždavinys 1.2.7-g
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}}$
Uždavinys 1.2.7-h
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\left(7 x + 1\right)^{11}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$77 \left(7 x + 1\right)^{10}$
Uždavinys 1.2.7-i
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{2^{x} + 3^{x}}{6^{x}}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$- 6^{- x} \left(2^{x} + 3^{x}\right) \log{\left(6 \right)} + 6^{- x} \left(2^{x} \log{\left(2 \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}\right)$
Uždavinys 1.2.7-j
Rask 1 eilės išvestinę: $y=e^{x} \sin{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}$
Uždavinys 1.2.7-k
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{x^{2}}{1 - x}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$\frac{x^{2}}{\left(1 - x\right)^{2}} + \frac{2 x}{1 - x}$
Uždavinys 1.2.7-l
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\left(x^{3} + 1\right)^{1 \cdot \frac{1}{3}}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$\frac{x^{2} \left(x^{3} + 1\right)^{\frac{1}{3}}}{x^{3} + 1}$
Uždavinys 1.2.7-m
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
Uždavinys 1.2.7-n
Rask 1 eilės išvestinę: $y=e^{x^{2}}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$2 x e^{x^{2}}$
Uždavinys 1.2.7-o
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} + 1}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$- \frac{2 x \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2 x - 3}{x^{2} + 1}$
Uždavinys 1.2.7-p
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\cos{\left(2 x \right)}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$- 2 \sin{\left(2 x \right)}$
Uždavinys 1.2.7-q
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\log{\left(2 \sqrt{x} + 1 \right)}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$\frac{1}{\sqrt{x} \left(2 \sqrt{x} + 1\right)}$
Uždavinys 1.2.7-r
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$
Uždavinys 1.2.7-s
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{5^{x} \log{\left(x \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$5^{x} \log{\left(x \right)} + \frac{5^{x}}{x \log{\left(5 \right)}}$
Uždavinys 1.2.7-t
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\log{\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$\frac{1}{x \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$
Uždavinys 1.2.7-u
Rask 1 eilės išvestinę: $y=e^{1 \frac{1}{x}}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$
Uždavinys 1.2.7-v
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\tan{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$\tan^{2}{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)} + 2$
Uždavinys 1.3.3-2a
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\operatorname{acos}{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \right)}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}} \left|{x}\right|}$
Uždavinys 1.3.3-2b
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\sqrt{x} - \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)}$
Uždavinys 1.3.3-2c
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1} \left(x^{2} - 1 + 1\right)}$
Uždavinys 1.3.3-2d
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$\frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$
Uždavinys 1.3.3-2e
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$\frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}}}$
Uždavinys 1.4.3-a
Rask 3 eilės išvestinę: $y=\cos^{2}{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
Uždavinys 1.4.3-b
Rask 2 eilės išvestinę: $y=e^{x^{2}}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$2 \left(2 x^{2} + 1\right) e^{x^{2}}$
Uždavinys 1.4.3-c
Rask 3 eilės išvestinę: $y=x^{3} \log{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$6 \log{\left(x \right)} + 11$
Uždavinys 1.4.3-d
Rask 2 eilės išvestinę: $y=\sqrt{x^{2} + 1}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$\frac{- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$
Uždavinys 1.4.3-e
Rask 3 eilės išvestinę: $y=\tan{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)$
Uždavinys 1.4.3-f
Rask 3 eilės išvestinę: $y=e^{1 \frac{1}{x}}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$- \frac{\left(6 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}}$
Uždavinys 1.4.3-g
Rask 3 eilės išvestinę: $y=x^{x}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$x^{x} \left(\left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{3} + \frac{3 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right)$
Uždavinys 1.4.3-h
Rask 5 eilės išvestinę: $y=1 \frac{1}{x + 1}$.
Metodo priminimas
Išvestinių taisyklės
$- \frac{120}{\left(x + 1\right)^{6}}$
Uždavinys 1.5.2-a
Rask 4 eilės išvestinę: $y=\sqrt{x} \sin{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Leibnico formulė
$\sqrt{x} \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{15 \sin{\left(x \right)}}{16 x^{\frac{7}{2}}}$
Uždavinys 1.5.2-b
Rask 3 eilės išvestinę: $y=e^{5 x} \cos{\left(2 x \right)}$.
Metodo priminimas
Leibnico formulė
$\left(- 142 \sin{\left(2 x \right)} + 65 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{5 x}$
Uždavinys 1.5.2-c
Rask 6 eilės išvestinę: $y=x^{4} \log{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Leibnico formulė
$- \frac{24}{x^{2}}$
Uždavinys 1.5.2-d
Rask 4 eilės išvestinę: $y=\frac{e^{x}}{x}$.
Metodo priminimas
Leibnico formulė
$\frac{\left(1 - \frac{4}{x} + \frac{12}{x^{2}} - \frac{24}{x^{3}} + \frac{24}{x^{4}}\right) e^{x}}{x}$
Uždavinys 1.5.2-e
Rask 5 eilės išvestinę: $y=\frac{\log{\left(x \right)}}{1 - x}$.
Metodo priminimas
Leibnico formulė
$\frac{2 \left(\frac{60 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{5}} - \frac{60}{x \left(x - 1\right)^{4}} - \frac{30}{x^{2} \left(x - 1\right)^{3}} - \frac{20}{x^{3} \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{15}{x^{4} \left(x - 1\right)} - \frac{12}{x^{5}}\right)}{x - 1}$
Uždavinys 1.6.2-a
Rask 1 eilės išvestinę: $y=e^{x} \cos{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$- e^{x} \sin{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}$
Uždavinys 1.6.2-b
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{\left(x + 1\right)^{4} \left(x - 2\right)}{\left(x + 3\right)^{2} \left(x - 1\right)}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$\frac{1}{\left(x + 3\right)^{2} \left(x - 1\right)} \left(x + 1\right)^{4} + 4 \frac{1}{\left(x + 3\right)^{2} \left(x - 1\right)} \left(x + 1\right)^{3} \left(x - 2\right) + \frac{\left(x + 1\right)^{4} \left(x - 2\right) \left(- \left(x + 3\right)^{2} - \left(x - 1\right) \left(2 x + 6\right)\right)}{\left(x + 3\right)^{4} \left(x - 1\right)^{2}}$
Uždavinys 1.6.2-c
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{\log{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{x^{5}}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{5}} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{x x^{5}} - \frac{5 \log{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{x^{6}}$
Uždavinys 1.6.2-d
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{x^{1 \cdot \frac{1}{3}}}{e^{x} \operatorname{acos}{\left(2 x \right)}}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$\frac{x^{\frac{1}{3}} \left(- e^{x} \operatorname{acos}{\left(2 x \right)} + \frac{2 e^{x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}\right) e^{- 2 x}}{\operatorname{acos}^{2}{\left(2 x \right)}} + \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{e^{- x}}{\operatorname{acos}{\left(2 x \right)}}}{3 x}$
Uždavinys 1.6.2-e
Rask 1 eilės išvestinę: $y=\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x^{3} \log{\left(x + 1 \right)}}$.
Metodo priminimas
Logaritminis diferencijavimas
$\frac{\frac{1}{x^{3}} \frac{1}{\log{\left(x + 1 \right)}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\left(- \frac{x^{3}}{x + 1} - 3 x^{2} \log{\left(x + 1 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x^{6} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}$
Uždavinys 110
$\lim_{n\to \infty}\left(1 \frac{1}{3 n}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 111
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{5}{n^{3}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 112
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{3 n + 1}{n}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3$
Uždavinys 113
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1 - 2 n}{3 n}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-2/3$
Uždavinys 114
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2 n^{2} - 7}{n^{2}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2$
Uždavinys 115
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1 - \sqrt{n}}{2 \sqrt{n}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1/2$
Uždavinys 116
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1 - 2 n}{n + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-2$
Uždavinys 117
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{3 n}{n + 5}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3$
Uždavinys 118
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2 n^{3} - 1}{2 - n^{3}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-2$
Uždavinys 119
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\sqrt[4]{n} + 7}{2 - 2 \sqrt[4]{n}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1/2$
Uždavinys 120
$\lim_{n\to \infty}\left(\left(-1\right) 1 + \frac{3}{n}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1$
Uždavinys 121
$\lim_{n\to \infty}\left(2 - \frac{2}{4 n^{2}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2$
Uždavinys 122
$\lim_{n\to \infty}\left(5 + \frac{3}{\sqrt{n}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$5$
Uždavinys 123
$\lim_{n\to \infty}\left(1 - \frac{\sqrt{n}}{n}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys 124
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{3 n}{n - 7}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3$
Uždavinys 125
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1 - 5 n}{3 n}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-5/3$
Uždavinys 126
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2 n + 7}{5 n - 3}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2/5$
Uždavinys 127
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2 - 3 n}{6 n + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1/2$
Uždavinys 128
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys 129
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{3 \sqrt[3]{n} - 2}{\sqrt[3]{n} + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3$
Uždavinys 130
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{3 - \sqrt[5]{n}}{2 \sqrt[5]{n} + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1/2$
Uždavinys 131
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2 n^{2} + 5}{3 n^{2}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2/3$
Uždavinys 132
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1 - 3 n^{5}}{n^{5} + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-3$
Uždavinys 133
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2 - 7 n^{3}}{3 - 5 n^{3}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$7/5$
Uždavinys 134
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{4 - 2 \sqrt{n}}{\sqrt{n}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-2$
Uždavinys 135
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\left(-1\right)^{n} + 3 n}{2 n}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3/2$
Uždavinys 136
$\lim_{n\to \infty}\left(\left(2 + \frac{3}{2 n}\right)^{2}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$4$
Uždavinys 137
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(\frac{\pi n}{2} \right)}}{n}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 138
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n^{2} + 3 n - 2}{2 n^{2}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/2$
Uždavinys 139
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n \left(n + 1\right)}{2 n^{2}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/2$
Uždavinys A2.1
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{- 2 n^{2} + 3 n + 1}{n^{2} + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-2$
Uždavinys A2.2
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n + 4}{n^{2} - 3 n + 2}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys A2.3
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n^{\frac{3}{2}} + 2 n + 1}{7 \sqrt{n} n + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/7$
Uždavinys A2.5
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3} - \left(n - 1\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{2} + \left(n - 1\right)^{2}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3$
Uždavinys A2.6
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{2 n^{2}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/2$
Uždavinys A2.7
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2^{n} - 1}{2^{n} + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys A2.8
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2^{1 \frac{1}{n}} - 1}{2^{1 \frac{1}{n}} + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys A2.9
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n^{3} - 100 n^{2} + 1}{100 n^{2} + 15 n}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$+\infty$
Uždavinys A2.10
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1000 n^{3} + 3 n^{2}}{1 \cdot \frac{1}{1000} n^{4} - 100 n + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys A2.11
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{5 n^{2} - 4 n - 1}{n - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$+\infty$
Uždavinys B15.1
$\lim_{n\to \infty}\left(n - \sqrt{n^{2} + 3}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys B15.2
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n \left(n + 1\right)}{2 \left(n^{2} - 3\right)}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/2$
Uždavinys B15.3
Rask ribą $\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac12+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{2^n}}{1+\frac13+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{3^n}}$.
Metodo priminimas
Geometrinių sumų formulė
$4/3$
Uždavinys B15.4
$\lim_{n\to \infty}\left(- \sqrt{n^{2} - n + 1} + \sqrt{n^{2} + 4 n - 3}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$5/2$
Uždavinys B15.5
$\lim_{n\to \infty}\left(- \frac{2 n}{\sqrt{n^{2} - 2 n + n}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-2$
Uždavinys B15.6
$\lim_{n\to \infty}\left(\left(1 - 1 \frac{1}{5 n}\right)^{2 n - 7}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{-2/5}$
Uždavinys B15.7
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{n^{3} + 2 n - 1}}{n + 2}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys B15.8
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\left(n + \sqrt{n^{2} + 1}\right)^{2}}{\sqrt[3]{n^{6} + 1}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$4$
Uždavinys B15.9
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{- \left(n - 1\right)^{4} + \left(2 n + 1\right)^{4}}{\left(n - 1\right)^{4} + \left(2 n + 1\right)^{4}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$15/17$
Uždavinys B15.10
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{n^{2} + n}}{n + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys B15.11
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n \left(n + 1\right)}{2 n^{2}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/2$
Uždavinys B15.12
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n \left(n + 1\right)}{2 \left(n + 2\right)} - \frac{n}{2}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1/2$
Uždavinys B15.13
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{- 2^{n} + 8 n^{3}}{\left(n + 1\right)^{4} - \left(n + 4\right)^{4}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$+\infty$
Uždavinys B15.14
$\lim_{n\to \infty}\left(n \left(\sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} - 1}\right)\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$+\infty$
Uždavinys B15.15
$\lim_{n\to \infty}\left(- n + \sqrt{n \left(n + 5\right)}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$5/2$
Uždavinys B15.16
$\lim_{n\to \infty}\left(\sqrt{n + 2} \left(\sqrt{n + 3} - \sqrt{n - 1}\right)\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2$
Uždavinys B15.17
$\lim_{n\to \infty}\left(\left(\frac{n + 5}{n - 7}\right)^{\frac{n}{3} + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^4$
Uždavinys 109.1
Apskaičiuok kelis narius ir nustatyk, ar seka turi ribą: $a_n=1 + \frac{\sin{\left(n \right)}}{n}$.
Metodo priminimas
Sekos ribos apibrėžimas
1
Uždavinys 109.2
Apskaičiuok kelis narius ir nustatyk, ar seka turi ribą: $a_n=\sin{\left(n \right)}$.
Metodo priminimas
Sekos ribos apibrėžimas
Riba neegzistuoja
Uždavinys 109.3
Apskaičiuok kelis narius ir nustatyk, ar seka turi ribą: $a_n=2 \left(-1\right)^{n}$.
Metodo priminimas
Sekos ribos apibrėžimas
Riba neegzistuoja
Uždavinys 109.5
Apskaičiuok kelis narius ir nustatyk, ar seka turi ribą: $a_n=\left(-1\right)^{n} \sin{\left(\pi n \right)}$.
Metodo priminimas
Sekos ribos apibrėžimas
0
Uždavinys 109.6
Apskaičiuok kelis narius ir nustatyk, ar seka turi ribą: $a_n=2 \cos{\left(\frac{\pi n}{2} \right)}$.
Metodo priminimas
Sekos ribos apibrėžimas
Riba neegzistuoja
Uždavinys A1.1
Parašyk pirmuosius penkis sekos narius: $a_n=\frac{1}{2 n + 1}$.
Metodo priminimas
Įstatyk n = 1, 2, 3, 4, 5
$\frac{1}{3},\ \frac{1}{5},\ \frac{1}{7},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{11}$
Uždavinys A1.2
Parašyk pirmuosius penkis sekos narius: $a_n=\frac{n + 1}{n^{3} + 1}$.
Metodo priminimas
Įstatyk n = 1, 2, 3, 4, 5
$1,\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{7},\ \frac{1}{13},\ \frac{1}{21}$
Uždavinys A1.3
Parašyk pirmuosius penkis sekos narius: $a_n=2^{- n - 1} n$.
Metodo priminimas
Įstatyk n = 1, 2, 3, 4, 5
$\frac{1}{4},\ \frac{1}{4},\ \frac{3}{16},\ \frac{1}{8},\ \frac{5}{64}$
Uždavinys A1.4
Parašyk pirmuosius penkis sekos narius: $a_n=\frac{\left(-1\right)^{n - 1} \left(n + 1\right)}{n^{2}}$.
Metodo priminimas
Įstatyk n = 1, 2, 3, 4, 5
$2,\ - \frac{3}{4},\ \frac{4}{9},\ - \frac{5}{16},\ \frac{6}{25}$
Uždavinys B14.1
Rask bendrojo nario formulę: $1,\frac1{3^2},\frac1{5^2},\frac1{7^2},\ldots$.
Metodo priminimas
Pasirink tos temos konspekte pateiktą būdą. Pirmiausia nustatyk formulės apibrėžimo sritį.
$a_n=1/(2n-1)^2$
Uždavinys B14.2
Rask bendrojo nario formulę: $1,\frac1{1\cdot2},\frac1{1\cdot2\cdot3},\ldots$.
Metodo priminimas
Pasirink tos temos konspekte pateiktą būdą. Pirmiausia nustatyk formulės apibrėžimo sritį.
$a_n=1/n!$
Uždavinys 1.3a
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{3 - 5 n}{4 n + 2}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-5/4$
Uždavinys 1.3b
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2 n^{3} + 1}{n^{3} + 3}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2$
Uždavinys 1.3c
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2 \sqrt{n} - 4}{1 - 3 \sqrt{n}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-2/3$
Uždavinys 1.3d
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{5^{n + 1}}{4^{n} + 5^{n}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$5$
Uždavinys 1.3e
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n^{2} - n}{5 n - 4}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$+\infty$
Uždavinys 1.3f
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 10}}{2 n + 5}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 1.3g
$\lim_{n\to \infty}\left(\log{\left(n \right)} - \log{\left(n^{2} - 1 \right)}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-\infty$
Uždavinys 1.3h
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{4^{n}}{3 - 2^{n}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-\infty$
Uždavinys 2.4a
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2 n^{9} + 3 n^{7}}{n^{9} + n^{5} + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2$
Uždavinys 2.4b
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{4 n^{6} - 3 n^{5}}{7 n^{5} + 2 n^{4}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$+\infty$
Uždavinys 2.4c
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2 n^{3} - 5 n + 1}{- 3 n^{4} - 6 n^{2} + 4}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 2.4d
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{- 2^{n} + 5^{n}}{6^{n} + 7^{n}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 2.4e
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{- 4^{n + 2} + 6^{n + 1}}{3^{n} + 6^{n - 1}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$36$
Uždavinys 2.4f
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2^{2 n} - 1}{2^{n} + 3^{n}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$+\infty$
Uždavinys 2.4g
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\sqrt{n^{4} + 2 n + 1}}{n + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$+\infty$
Uždavinys 2.4h
$\lim_{n\to \infty}\left(- n^{4} + 2 n^{3}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-\infty$
Uždavinys 2.4i
$\lim_{n\to \infty}\left(- \sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} + n + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/2$
Uždavinys 2.4j
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n \left(n + 1\right)}{2 \sqrt{9 n^{4} + 1}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/6$
Uždavinys 2.4k
$\lim_{n\to \infty}\left(\left(\frac{n + 1}{n - 1}\right)^{2 - 3 n}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{-6}$
Uždavinys 2.4l
$\lim_{n\to \infty}\left(\left(\frac{2 n - 4}{2 n - 1}\right)^{7 n + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{-21/2}$
Uždavinys 3.3a
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\sin{\left(n^{2} \right)}}{3 n}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 3.3b
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2 \sqrt{n} - \cos{\left(n \right)}}{5 \sqrt{n} + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2/5$
Uždavinys 3.3c
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n^{2} \left(\sin{\left(2 n \right)} + 3\right)}{n + 10}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$+\infty$
Uždavinys 3.3d
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n^{2} \left(\sin^{3}{\left(n \right)} + \cos{\left(n \right)}\right)}{\left(n + 2\right) \left(n^{2} - 1\right)}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 3.3e
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{4 n + 1}{3^{n}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 3.3f
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{4^{n}}{n - 3}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$+\infty$
Uždavinys 3.3g
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n^{2} + 2}{5^{n}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 3.3h
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2^{n + 1} + \sin{\left(n \right)}}{- 2^{n - 1} + \cos{\left(3 n \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-4$
Uždavinys 3.3i
$\lim_{n\to \infty}\left(\left(- 4^{n} + 5^{n}\right)^{1 \frac{1}{n}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$5$
Uždavinys 3.3j
$\lim_{n\to \infty}\left(\left(2^{n} + n\right)^{1 \frac{1}{n}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2$
Uždavinys 3.3k
$\lim_{n\to \infty}\left(n^{1 \frac{1}{n}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys 3.3l
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\log{\left(n \right)}}{n + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 4.3-1a
Naudodamas monotoninį konvergavimą įrodyk, kad $a_n=\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdots2n}$ konverguoja. Ribos rasti nereikia.
Metodo priminimas
Monotoniškumas ir aprėžtumas arba indeksų liekanų klasės
$0<a_{n+1}<a_n\le1$: seka mažėjanti ir aprėžta iš apačios.
Uždavinys 4.3-1b
Įrodyk, kad $a_n=\prod_{k=1}^{n}(1-10^{-k})$ konverguoja.
Metodo priminimas
Monotoniškumas ir aprėžtumas arba indeksų liekanų klasės
$0<a_{n+1}<a_n<1$. Mažėjanti ir iš apačios aprėžta seka konverguoja.
Uždavinys 4.3-2a
Monotoniniu konvergavimu įrodyk $n^2/2^n\to0$.
Metodo priminimas
Monotoniškumas ir aprėžtumas arba indeksų liekanų klasės
$a_{n+1}/a_n=(n+1)^2/(2n^2)<1$ nuo $n\ge3$. Ribą 0 pagrindžia, pavyzdžiui, nuo n ≥ 4 galiojantis santykio rėžis 25/32.
Uždavinys 4.3-2b
Monotoniniu konvergavimu įrodyk $10^n/(2n+1)!\to0$.
Metodo priminimas
Monotoniškumas ir aprėžtumas arba indeksų liekanų klasės
$a_{n+1}/a_n=10/((2n+3)(2n+2))\le1/2$ nuo $n\ge1$, todėl riba 0.
Uždavinys 4.3-3a
$x_1=1$, $x_{n+1}=(1+x_n)/4$. Įrodyk konvergavimą ir rask ribą.
Metodo priminimas
Monotoniškumas ir aprėžtumas arba indeksų liekanų klasės
$1/3\le x_{n+1}<x_n$; $L=(1+L)/4$, taigi $L=1/3$.
Uždavinys 4.3-3b
$x_1=\sqrt3$, $x_{n+1}=\sqrt{3+x_n}$. Įrodyk konvergavimą ir rask ribą.
Metodo priminimas
Monotoniškumas ir aprėžtumas arba indeksų liekanų klasės
Seka didėjanti ir aprėžta skaičiumi $(1+\sqrt{13})/2$. Todėl $L=(1+\sqrt{13})/2$.
Uždavinys 4.3-3c
$x_1=\sqrt5$, $x_{n+1}=\sqrt{5x_n}$. Įrodyk konvergavimą ir rask ribą.
Metodo priminimas
Monotoniškumas ir aprėžtumas arba indeksų liekanų klasės
$0<x_n<5$, $x_{n+1}>x_n$. Ribos lygtis $L^2=5L$, todėl $L=5$.
Uždavinys 4.3-3d
$x_1=2$, $x_{n+1}=2+1/x_n$. Įrodyk konvergavimą ir rask ribą.
Metodo priminimas
Monotoniškumas ir aprėžtumas arba indeksų liekanų klasės
Lyginių ir nelyginių indeksų posekiai monotoniški, aprėžti ir turi bendrą ribą $L=1+\sqrt2$.
Uždavinys 4.3-4a
Rask dalines ribas, lim inf ir lim sup: $x_n=\sin^n(\pi n/2)$.
Metodo priminimas
Monotoniškumas ir aprėžtumas arba indeksų liekanų klasės
Dalinės ribos $\{-1,0,1\}$; lim inf = −1, lim sup = 1.
Uždavinys 4.3-4b
Rask dalines ribas, lim inf ir lim sup: $x_n=n^{(-1)^n}$.
Metodo priminimas
Monotoniškumas ir aprėžtumas arba indeksų liekanų klasės
Baigtinė dalinė riba 0; išplėstinė dalinė riba $+\infty$. lim inf = 0, lim sup = $+\infty$.
Uždavinys 4.3-4c
Rask dalines ribas: $x_n=(4-n\cos(\pi n/4))/(n+2)$.
Metodo priminimas
Monotoniškumas ir aprėžtumas arba indeksų liekanų klasės
$\{-1,-\sqrt2/2,0,\sqrt2/2,1\}$. lim inf = −1, lim sup = 1.
Uždavinys 4.3-4d
Rask dalines ribas: $x_n=\sqrt[n]{1+5^{n(-1)^n}}$.
Metodo priminimas
Monotoniškumas ir aprėžtumas arba indeksų liekanų klasės
$\{1,5\}$; lim inf = 1, lim sup = 5.
Uždavinys 4.3-4e
Rask dalines ribas: $x_n=n^{n(-1)^n}$.
Metodo priminimas
Monotoniškumas ir aprėžtumas arba indeksų liekanų klasės
Baigtinė dalinė riba 0; taip pat $+\infty$. lim inf = 0, lim sup = $+\infty$.
Uždavinys 4.3-4f
Rask dalines ribas: $x_n=(1+n\sin(2\pi n/3))/(1-n\cos(\pi n/2))$.
Metodo priminimas
Monotoniškumas ir aprėžtumas arba indeksų liekanų klasės
Išplėstinės dalinės ribos $\{-\infty,-\sqrt3/2,0,\sqrt3/2,+\infty\}$. lim inf = $-\infty$, lim sup = $+\infty$.
Uždavinys 4.3-4g
Rask dalines ribas: $x_n=(2^{n+(-1)^n}-1)/(1+2^{n-(-1)^n})$.
Metodo priminimas
Monotoniškumas ir aprėžtumas arba indeksų liekanų klasės
$\{1/4,4\}$; lim inf = 1/4, lim sup = 4.
Uždavinys 4.3-4h
Rask dalines ribas: $x_n=(1+\tan(\pi n/3)/n)^n$.
Metodo priminimas
Monotoniškumas ir aprėžtumas arba indeksų liekanų klasės
$\{e^{-\sqrt3},1,e^{\sqrt3}\}$; lim inf = $e^{-\sqrt3}$, lim sup = $e^{\sqrt3}$.
Uždavinys 387
Rask diferencialą: $y=\sqrt{2 x + 1}$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx. 390 uždavinyje x žymi laiką t, g = 9,81 m/s²; 391 ir 398 – kampą φ.
$dy=(\frac{1}{\sqrt{2 x + 1}})\,dx$
Uždavinys 388
Rask diferencialą: $y=x^{2} - 3 x + 2$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx. 390 uždavinyje x žymi laiką t, g = 9,81 m/s²; 391 ir 398 – kampą φ.
$dy=(2 x - 3)\,dx$
Uždavinys 389
Rask diferencialą: $y=\operatorname{atan}{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx. 390 uždavinyje x žymi laiką t, g = 9,81 m/s²; 391 ir 398 – kampą φ.
$dy=(\frac{1}{x^{2} + 1})\,dx$
Uždavinys 390
Rask diferencialą: $y=\frac{981 x^{2}}{200}$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx. 390 uždavinyje x žymi laiką t, g = 9,81 m/s²; 391 ir 398 – kampą φ.
$dy=(\frac{981 x}{100})\,dx$
Uždavinys 391
Rask diferencialą: $y=x^{2} + \cos{\left(3 x \right)}$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx. 390 uždavinyje x žymi laiką t, g = 9,81 m/s²; 391 ir 398 – kampą φ.
$dy=(2 x - 3 \sin{\left(3 x \right)})\,dx$
Uždavinys 396
Rask diferencialą: $y=\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx. 390 uždavinyje x žymi laiką t, g = 9,81 m/s²; 391 ir 398 – kampą φ.
$dy=(\frac{2 x}{x^{2} + 1})\,dx$
Uždavinys 397
Rask diferencialą: $y=7 x + 2^{- 3 x}$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx. 390 uždavinyje x žymi laiką t, g = 9,81 m/s²; 391 ir 398 – kampą φ.
$dy=(7 - 3 \cdot 2^{- 3 x} \log{\left(2 \right)})\,dx$
Uždavinys 398
Rask diferencialą: $y=\cos^{3}{\left(3 x \right)}$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx. 390 uždavinyje x žymi laiką t, g = 9,81 m/s²; 391 ir 398 – kampą φ.
$dy=(- 9 \sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)})\,dx$
Uždavinys 385
Diferencialu apytiksliai rask $y=\sqrt[3]x$ pokytį, kai x kinta nuo 1000 iki 997.
Metodo priminimas
Diferencialas, ne tikras baigtinis pokytis
$dy=\frac1{3\cdot100}(-3)=-0,01$.
Uždavinys 386
Kubo kraštinė 5 m padidėjo 0,2 m. Kaip apytiksliai pakito tūris?
Metodo priminimas
Diferencialas, ne tikras baigtinis pokytis
$dV=3a^2da=15\ \mathrm{m}^3$.
Uždavinys 393
Rask $y=x^3$ tikrą pokytį Δy ir diferencialą dy, kai x kinta nuo 2 iki 1,98.
Metodo priminimas
Diferencialas, ne tikras baigtinis pokytis
$\Delta y=1,98^3-2^3=-0,237608$, $dy=3\cdot2^2(-0,02)=-0,24$.
Uždavinys 394
Apytiksliai rask $y=\sqrt x$ pokytį nuo x=100 iki x=101.
Metodo priminimas
Diferencialas, ne tikras baigtinis pokytis
$dy=1/(2\sqrt{100})=0,05$.
Uždavinys 395
Kvadrato kraštinė 2 m sumažėjo 3 cm. Kaip apytiksliai pakito plotas?
Metodo priminimas
Diferencialas, ne tikras baigtinis pokytis
$dS=2a\,da=-0,12\ \mathrm{m}^2$.
Uždavinys 399
Rask $y=x^2+5x-2$ apytikslį pokytį nuo x=2 iki x=2,01.
Metodo priminimas
Diferencialas, ne tikras baigtinis pokytis
$dy=(2\cdot2+5)0,01=0,09$.
Uždavinys 401
Sferos spindulys padidėjo nuo 10 iki 10,2 cm. Rask apytikslį paviršiaus ploto padidėjimą.
Metodo priminimas
Diferencialas, ne tikras baigtinis pokytis
$dS=8\pi r\,dr=16\pi\ \mathrm{cm}^2$.
Uždavinys 402
Rutulio spindulys padidėjo nuo 10 iki 10,2 cm. Rask apytikslį tūrio padidėjimą.
Metodo priminimas
Diferencialas, ne tikras baigtinis pokytis
$dV=4\pi r^2dr=80\pi\ \mathrm{cm}^3$.
Uždavinys 403
Lygiašonio trikampio pagrindas 10 cm, aukštinė sumažėjo nuo 8 iki 7 cm. Rask apytikslį ploto pokytį.
Metodo priminimas
Diferencialas, ne tikras baigtinis pokytis
$dS=(10/2)(-1)=-5\ \mathrm{cm}^2$.
Uždavinys 392.1
Rask $y=x^{2} + 2 x - 1$ diferencialą, kai $x=0$, $dx=0.1$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx
$dy=\frac{1}{5}$.
Uždavinys 392.2
Rask $y=x^{2} + 2 x - 1$ diferencialą, kai $x=0$, $dx=-0.2$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx
$dy=- \frac{2}{5}$.
Uždavinys 392.3
Rask $y=x^{2} + 2 x - 1$ diferencialą, kai $x=1$, $dx=2$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx
$dy=8$.
Uždavinys 392.4
Rask $y=x^{2} + 2 x - 1$ diferencialą, kai $x=3$, $dx=-0.1$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx
$dy=- \frac{4}{5}$.
Uždavinys 392.5
Rask $y=x^{2} + 2 x - 1$ diferencialą, kai $x=-1$, $dx=4$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx
$dy=0$.
Uždavinys 392.6
Rask $y=x^{2} + 2 x - 1$ diferencialą, kai $x=3$, $dx=1$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx
$dy=8$.
Uždavinys 392.7
Rask $y=x^{2} + 2 x - 1$ diferencialą, kai $x=3$, $dx=-4$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx
$dy=-32$.
Uždavinys 400.1
Rask $y=x^{3} + 3 x$ diferencialą, kai $x=0$, $dx=0.01$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx
$dy=\frac{3}{100}$.
Uždavinys 400.2
Rask $y=x^{3} + 3 x$ diferencialą, kai $x=0$, $dx=-10$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx
$dy=-30$.
Uždavinys 400.3
Rask $y=x^{3} + 3 x$ diferencialą, kai $x=0$, $dx=-0.1$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx
$dy=- \frac{3}{10}$.
Uždavinys 400.4
Rask $y=x^{3} + 3 x$ diferencialą, kai $x=0$, $dx=100$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx
$dy=300$.
Uždavinys 400.5
Rask $y=x^{3} + 3 x$ diferencialą, kai $x=-2$, $dx=1$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx
$dy=15$.
Uždavinys 400.6
Rask $y=x^{3} + 3 x$ diferencialą, kai $x=1$, $dx=10$.
Metodo priminimas
dy = f′(x) dx
$dy=60$.
Uždavinys 2.1.3-a
Atlik pakeitimą diferenciale: $(5x+4)^{10}dx$, kai $u=5x+4$.
Metodo priminimas
Diferencialo kintamojo pakeitimas
$u^{10}du/5$
Uždavinys 2.1.3-b
Atlik pakeitimą diferenciale: $xe^{-x^2}dx$, kai $u=-x^2$.
Metodo priminimas
Diferencialo kintamojo pakeitimas
$-e^u du/2$
Uždavinys 2.1.3-c
Atlik pakeitimą diferenciale: $dx/(x\ln x)$, kai $u=\ln x$.
Metodo priminimas
Diferencialo kintamojo pakeitimas
$du/u$
Uždavinys 2.1.3-d
Atlik pakeitimą diferenciale: $dx/(1+\tan x)$, kai $u=\tan x$.
Metodo priminimas
Diferencialo kintamojo pakeitimas
$du/((1+u)(1+u^2))$
Uždavinys 2.1.3-e
Atlik pakeitimą diferenciale: $\sqrt{1-x^2}dx$, kai $x=\sin t$.
Metodo priminimas
Diferencialo kintamojo pakeitimas
$|\cos t|\cos t\,dt$; kai cos t ≥ 0, tai $\cos^2t\,dt$.
Uždavinys 2.1.3-f
Atlik pakeitimą diferenciale: $\sqrt{1+x^2}dx$, kai $x=\tan t$.
Metodo priminimas
Diferencialo kintamojo pakeitimas
$|\sec t|\sec^2t\,dt$; intervale $(-\pi/2,\pi/2)$ tai $\sec^3t\,dt$.
Uždavinys 2.1.5-1a
Kubo kraštinė sumažėjo nuo 25 cm iki 24 cm. Diferencialu rask paviršiaus ploto ir tūrio pokyčius.
Metodo priminimas
Pirmos eilės diferencialas
$dS=-300\ \mathrm{cm}^2$, $dV=-1875\ \mathrm{cm}^3$.
Uždavinys 2.1.5-1b
Sferos spindulys padidėjo nuo 2 m iki 2,2 m. Diferencialu rask ploto ir tūrio pokyčius.
Metodo priminimas
Pirmos eilės diferencialas
$dS=3,2\pi\ \mathrm{m}^2$, $dV=3,2\pi\ \mathrm{m}^3$.
Uždavinys 2.1.5-2a
Diferencialu apytiksliai rask $\sqrt{25,5}$.
Metodo priminimas
Pirmos eilės diferencialas
$5+0,5/(2\cdot5)=5,05$.
Uždavinys 2.1.5-2b
Diferencialu apytiksliai rask $e^{1,01}$.
Metodo priminimas
Pirmos eilės diferencialas
$e+0,01e=1,01e\approx2,74546$.
Uždavinys 2.1.5-2c
Diferencialu apytiksliai rask $\arctan(0,9)$.
Metodo priminimas
Pirmos eilės diferencialas
$\pi/4-0,05\approx0,735398$ rad.
Uždavinys 2.1.5-2d
Diferencialu apytiksliai rask $\sqrt[3]{8,2}$.
Metodo priminimas
Pirmos eilės diferencialas
$2+0,2/12\approx2,016667$.
Uždavinys 2.1.5-2e
Diferencialu prie $\pi/3$ apytiksliai rask $\sin(0,3\pi)$.
Metodo priminimas
Pirmos eilės diferencialas
$\sqrt3/2-\pi/60\approx0,813666$.
Uždavinys 2.4-a
Rask $d^{2}(\sqrt{x})$, kai dx nepriklauso nuo x.
Metodo priminimas
dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ
$(- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}})(dx)^{2}$
Uždavinys 2.4-b
Rask $d^{2}(\tan{\left(x \right)})$, kai dx nepriklauso nuo x.
Metodo priminimas
dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ
$(2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)})(dx)^{2}$
Uždavinys 2.4-c
Rask $d^{2}(e^{x} \log{\left(x \right)})$, kai dx nepriklauso nuo x.
Metodo priminimas
dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ
$(\left(\log{\left(x \right)} + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right) e^{x})(dx)^{2}$
Uždavinys 2.4-d
Rask $d^{3}(\log{\left(x \right)})$, kai dx nepriklauso nuo x.
Metodo priminimas
dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ
$(\frac{2}{x^{3}})(dx)^{3}$
Uždavinys 2.4-e
Rask $d^{3}(e^{\frac{1}{x}})$, kai dx nepriklauso nuo x.
Metodo priminimas
dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ
$(- \frac{\left(6 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}})(dx)^{3}$
Uždavinys 2.4-f
Rask $d^{4}(x^{6})$, kai dx nepriklauso nuo x.
Metodo priminimas
dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ
$(360 x^{2})(dx)^{4}$
Uždavinys 3.1
Rask y′ iš lygties $e^{x} + e^{y} - e^{x y}=0$.
Metodo priminimas
Diferencijuok abi puses; y yra x funkcija
$y^\prime=\frac{y e^{x y} - e^{x}}{- x e^{x y} + e^{y}}$, kai vardiklis nelygus 0 ir tenkinama pradinė lygtis.
Uždavinys 3.2
Rask y′ iš lygties $3 \sin{\left(y \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x y \right)}=0$.
Metodo priminimas
Diferencijuok abi puses; y yra x funkcija
$y^\prime=\frac{- y \sin{\left(x y \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x y \right)} + 3 \cos{\left(y \right)}}$, kai vardiklis nelygus 0 ir tenkinama pradinė lygtis.
Uždavinys 3.3
Rask y′ iš lygties $- x \cos{\left(y \right)} - x + \sin{\left(x \right)}=0$.
Metodo priminimas
Diferencijuok abi puses; y yra x funkcija
$y^\prime=\frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(y \right)} + 1}{x \sin{\left(y \right)}}$, kai vardiklis nelygus 0 ir tenkinama pradinė lygtis.
Uždavinys 3.4
Rask y′ iš lygties $y - \operatorname{atan}{\left(x y \right)}=0$.
Metodo priminimas
Diferencijuok abi puses; y yra x funkcija
$y^\prime=\frac{y}{\left(- \frac{x}{x^{2} y^{2} + 1} + 1\right) \left(x^{2} y^{2} + 1\right)}$, kai vardiklis nelygus 0 ir tenkinama pradinė lygtis.
Uždavinys 3.5
Rask y′ iš lygties $y - \operatorname{acos}{\left(x y \right)}=0$.
Metodo priminimas
Diferencijuok abi puses; y yra x funkcija
$y^\prime=- \frac{y}{\left(\frac{x}{\sqrt{- x^{2} y^{2} + 1}} + 1\right) \sqrt{- x^{2} y^{2} + 1}}$, kai vardiklis nelygus 0 ir tenkinama pradinė lygtis.
Uždavinys 3.6
Rask y′ iš lygties $x y - \cos{\left(x + y \right)}=0$.
Metodo priminimas
Diferencijuok abi puses; y yra x funkcija
$y^\prime=\frac{- y - \sin{\left(x + y \right)}}{x + \sin{\left(x + y \right)}}$, kai vardiklis nelygus 0 ir tenkinama pradinė lygtis.
Uždavinys 3.7
Rask y′ iš lygties $x e^{x y} - \sin{\left(x - y \right)}=0$.
Metodo priminimas
Diferencijuok abi puses; y yra x funkcija
$y^\prime=\frac{- x y e^{x y} - e^{x y} + \cos{\left(x - y \right)}}{x^{2} e^{x y} + \cos{\left(x - y \right)}}$, kai vardiklis nelygus 0 ir tenkinama pradinė lygtis.
Uždavinys 3.8
Rask y′ iš lygties $x^{3} - y^{3} - 3 \sin{\left(- x + y \right)}=0$.
Metodo priminimas
Diferencijuok abi puses; y yra x funkcija
$y^\prime=\frac{- 3 x^{2} - 3 \cos{\left(x - y \right)}}{- 3 y^{2} - 3 \cos{\left(x - y \right)}}$, kai vardiklis nelygus 0 ir tenkinama pradinė lygtis.
Uždavinys 3.9
Rask y′ iš lygties $x^{2} y^{2} - 2 \cos{\left(x - y \right)} - 3=0$.
Metodo priminimas
Diferencijuok abi puses; y yra x funkcija
$y^\prime=\frac{- 2 x y^{2} - 2 \sin{\left(x - y \right)}}{2 x^{2} y - 2 \sin{\left(x - y \right)}}$, kai vardiklis nelygus 0 ir tenkinama pradinė lygtis.
Uždavinys 3.10
Rask y′ iš lygties $- x^{2} + y - \cos{\left(\frac{\pi}{y} \right)}=0$.
Metodo priminimas
Diferencijuok abi puses; y yra x funkcija
$y^\prime=\frac{2 x}{1 - \frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi}{y} \right)}}{y^{2}}}$, kai vardiklis nelygus 0 ir tenkinama pradinė lygtis.
Uždavinys 3.11
Rask y′ iš lygties $- y e^{\frac{\pi}{y}} + y - e^{x}=0$.
Metodo priminimas
Diferencijuok abi puses; y yra x funkcija
$y^\prime=\frac{e^{x}}{- e^{\frac{\pi}{y}} + 1 + \frac{\pi e^{\frac{\pi}{y}}}{y}}$, kai vardiklis nelygus 0 ir tenkinama pradinė lygtis.
Uždavinys 3.12
Rask y′ iš lygties $x^{2} \sin{\left(\frac{y}{x} \right)} - y \log{\left(\pi \right)}=0$.
Metodo priminimas
Diferencijuok abi puses; y yra x funkcija
$y^\prime=\frac{- 2 x \sin{\left(\frac{y}{x} \right)} + y \cos{\left(\frac{y}{x} \right)}}{x \cos{\left(\frac{y}{x} \right)} - \log{\left(\pi \right)}}$, kai vardiklis nelygus 0 ir tenkinama pradinė lygtis.
Uždavinys 3.13
Rask y′ iš lygties $- x^{2} \sin{\left(\frac{\pi}{3} \right)} + y^{2} \cos{\left(\frac{x}{y} \right)}=0$.
Metodo priminimas
Diferencijuok abi puses; y yra x funkcija
$y^\prime=\frac{2 x \sin{\left(\frac{\pi}{3} \right)} + y \sin{\left(\frac{x}{y} \right)}}{x \sin{\left(\frac{x}{y} \right)} + 2 y \cos{\left(\frac{x}{y} \right)}}$, kai vardiklis nelygus 0 ir tenkinama pradinė lygtis.
Uždavinys 3.14
Rask y′ iš lygties $- x + y - \sin{\left(\frac{x}{y} \right)}=0$.
Metodo priminimas
Diferencijuok abi puses; y yra x funkcija
$y^\prime=\frac{1 + \frac{\cos{\left(\frac{x}{y} \right)}}{y}}{\frac{x \cos{\left(\frac{x}{y} \right)}}{y^{2}} + 1}$, kai vardiklis nelygus 0 ir tenkinama pradinė lygtis.
Uždavinys 3.15
Rask y′ iš lygties $- x \cos{\left(\frac{y}{x} \right)} + y - 1=0$.
Metodo priminimas
Diferencijuok abi puses; y yra x funkcija
$y^\prime=\frac{\cos{\left(\frac{y}{x} \right)} + \frac{y \sin{\left(\frac{y}{x} \right)}}{x}}{\sin{\left(\frac{y}{x} \right)} + 1}$, kai vardiklis nelygus 0 ir tenkinama pradinė lygtis.
Uždavinys 3.16
Rask y′ iš lygties $y - \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{y} \right)}=0$.
Metodo priminimas
Diferencijuok abi puses; y yra x funkcija
$y^\prime=\frac{1}{y \left(\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1\right) \left(\frac{x}{y^{2} \left(\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1\right)} + 1\right)}$, kai vardiklis nelygus 0 ir tenkinama pradinė lygtis.
Uždavinys 3.17
Rask y′ iš lygties $y - \operatorname{asin}{\left(\frac{y}{x} \right)}=0$.
Metodo priminimas
Diferencijuok abi puses; y yra x funkcija
$y^\prime=- \frac{y}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}} \left(1 - \frac{1}{x \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}}\right)}$, kai vardiklis nelygus 0 ir tenkinama pradinė lygtis.
Uždavinys 3.18
Rask y′ iš lygties $- \log{\left(y \right)} + \tan{\left(x y \right)} - \log{\left(\pi \right)}=0$.
Metodo priminimas
Diferencijuok abi puses; y yra x funkcija
$y^\prime=- \frac{y \left(\tan^{2}{\left(x y \right)} + 1\right)}{x \left(\tan^{2}{\left(x y \right)} + 1\right) - \frac{1}{y}}$, kai vardiklis nelygus 0 ir tenkinama pradinė lygtis.
Uždavinys 4.2.3-a
Rask y′ ir y″ iš lygties $x^{2} - 2 x y - x + y^{2}=0$.
Metodo priminimas
Abi puses diferencijuok pagal x
$y^\prime=\frac{- 2 x + 2 y + 1}{- 2 x + 2 y}$; $y^{\prime\prime}=\frac{\left(\frac{2}{- 2 x + 2 y} - \frac{2 \left(- 2 x + 2 y + 1\right)}{\left(- 2 x + 2 y\right)^{2}}\right) \left(- 2 x + 2 y + 1\right)}{- 2 x + 2 y} - \frac{2}{- 2 x + 2 y} + \frac{2 \left(- 2 x + 2 y + 1\right)}{\left(- 2 x + 2 y\right)^{2}}$. Formulės galioja tik ten, kur jų vardikliai nenuliniai.
Uždavinys 4.2.3-b
Rask y′ ir y″ iš lygties $- x + y - \sin{\left(y \right)}=0$.
Metodo priminimas
Abi puses diferencijuok pagal x
$y^\prime=\frac{1}{1 - \cos{\left(y \right)}}$; $y^{\prime\prime}=- \frac{\sin{\left(y \right)}}{\left(1 - \cos{\left(y \right)}\right)^{3}}$. Formulės galioja tik ten, kur jų vardikliai nenuliniai.
Uždavinys 4.2.3-c
Rask y′ ir y″ iš lygties $x^{2} - 6 x + y^{2} + 10 y - 2=0$.
Metodo priminimas
Abi puses diferencijuok pagal x
$y^\prime=\frac{6 - 2 x}{2 y + 10}$; $y^{\prime\prime}=- \frac{2 \left(6 - 2 x\right)^{2}}{\left(2 y + 10\right)^{3}} - \frac{2}{2 y + 10}$. Formulės galioja tik ten, kur jų vardikliai nenuliniai.
Uždavinys 4.2.3-d
Rask y′ ir y″ iš lygties $x y + e^{y} - e=0$.
Metodo priminimas
Abi puses diferencijuok pagal x
$y^\prime=- \frac{y}{x + e^{y}}$; $y^{\prime\prime}=- \frac{y \left(\frac{y e^{y}}{\left(x + e^{y}\right)^{2}} - \frac{1}{x + e^{y}}\right)}{x + e^{y}} + \frac{y}{\left(x + e^{y}\right)^{2}}$. Formulės galioja tik ten, kur jų vardikliai nenuliniai.
Uždavinys 4.2.3-e
Rask y′ ir y″ iš lygties $- x^{3} + y^{2} \left(2 - x\right)=0$.
Metodo priminimas
Abi puses diferencijuok pagal x
$y^\prime=\frac{3 x^{2} + y^{2}}{2 y \left(2 - x\right)}$; $y^{\prime\prime}=\frac{3 x}{y \left(2 - x\right)} + \frac{\left(3 x^{2} + y^{2}\right) \left(\frac{1}{2 - x} - \frac{3 x^{2} + y^{2}}{2 y^{2} \left(2 - x\right)}\right)}{2 y \left(2 - x\right)} + \frac{3 x^{2} + y^{2}}{2 y \left(2 - x\right)^{2}}$. Formulės galioja tik ten, kur jų vardikliai nenuliniai.
Uždavinys 4.2.3-f
Rask y′ ir y″ iš lygties $x y + \log{\left(y \right)} - 1=0$.
Metodo priminimas
Abi puses diferencijuok pagal x
$y^\prime=- \frac{y}{x + \frac{1}{y}}$; $y^{\prime\prime}=- \frac{y \left(- \frac{1}{x + \frac{1}{y}} - \frac{1}{y \left(x + \frac{1}{y}\right)^{2}}\right)}{x + \frac{1}{y}} + \frac{y}{\left(x + \frac{1}{y}\right)^{2}}$. Formulės galioja tik ten, kur jų vardikliai nenuliniai.
Uždavinys 4.2.3-g
Rask y′ ir y″ iš lygties $- x - y + e^{x - y}=0$.
Metodo priminimas
Abi puses diferencijuok pagal x
$y^\prime=\frac{1 - e^{x - y}}{- e^{x - y} - 1}$; $y^{\prime\prime}=\frac{\left(1 - e^{x - y}\right) \left(- \frac{\left(1 - e^{x - y}\right) e^{x - y}}{\left(- e^{x - y} - 1\right)^{2}} + \frac{e^{x - y}}{- e^{x - y} - 1}\right)}{- e^{x - y} - 1} + \frac{\left(1 - e^{x - y}\right) e^{x - y}}{\left(- e^{x - y} - 1\right)^{2}} - \frac{e^{x - y}}{- e^{x - y} - 1}$. Formulės galioja tik ten, kur jų vardikliai nenuliniai.
Uždavinys 4.2.3-h
Rask y′ ir y″ iš lygties $x y - \cos{\left(x y \right)} - 1=0$.
Metodo priminimas
Abi puses diferencijuok pagal x
$y^\prime=\frac{- y \sin{\left(x y \right)} - y}{x \sin{\left(x y \right)} + x}$; $y^{\prime\prime}=- \frac{y^{2} \cos{\left(x y \right)}}{x \sin{\left(x y \right)} + x} + \frac{\left(- y \sin{\left(x y \right)} - y\right) \left(- \frac{x^{2} \left(- y \sin{\left(x y \right)} - y\right) \cos{\left(x y \right)}}{\left(x \sin{\left(x y \right)} + x\right)^{2}} + \frac{- x y \cos{\left(x y \right)} - \sin{\left(x y \right)} - 1}{x \sin{\left(x y \right)} + x}\right)}{x \sin{\left(x y \right)} + x} + \frac{\left(- y \sin{\left(x y \right)} - y\right) \left(- x y \cos{\left(x y \right)} - \sin{\left(x y \right)} - 1\right)}{\left(x \sin{\left(x y \right)} + x\right)^{2}}$. Formulės galioja tik ten, kur jų vardikliai nenuliniai.
Uždavinys 4.2.3-i
Rask y′ ir y″ iš lygties $x^{2} - x y + y^{2} - 1=0$.
Metodo priminimas
Abi puses diferencijuok pagal x
$y^\prime=\frac{- 2 x + y}{- x + 2 y}$; $y^{\prime\prime}=\frac{\left(- 2 x + y\right) \left(- \frac{2 \left(- 2 x + y\right)}{\left(- x + 2 y\right)^{2}} + \frac{1}{- x + 2 y}\right)}{- x + 2 y} + \frac{- 2 x + y}{\left(- x + 2 y\right)^{2}} - \frac{2}{- x + 2 y}$. Formulės galioja tik ten, kur jų vardikliai nenuliniai.
Uždavinys 4.2.3-j
Rask y′ ir y″ iš lygties $- x^{4} + y^{2} + 2 \log{\left(y \right)}=0$.
Metodo priminimas
Abi puses diferencijuok pagal x
$y^\prime=\frac{4 x^{3}}{2 y + \frac{2}{y}}$; $y^{\prime\prime}=\frac{16 x^{6} \left(-2 + \frac{2}{y^{2}}\right)}{\left(2 y + \frac{2}{y}\right)^{3}} + \frac{12 x^{2}}{2 y + \frac{2}{y}}$. Formulės galioja tik ten, kur jų vardikliai nenuliniai.
Uždavinys 4.2.3-k
Rask y′ ir y″ iš lygties $x^{2} - 6 x y - 2 y^{2} - 3=0$.
Metodo priminimas
Abi puses diferencijuok pagal x
$y^\prime=\frac{- 2 x + 6 y}{- 6 x - 4 y}$; $y^{\prime\prime}=\frac{\left(- 2 x + 6 y\right) \left(\frac{6}{- 6 x - 4 y} + \frac{4 \left(- 2 x + 6 y\right)}{\left(- 6 x - 4 y\right)^{2}}\right)}{- 6 x - 4 y} - \frac{2}{- 6 x - 4 y} + \frac{6 \left(- 2 x + 6 y\right)}{\left(- 6 x - 4 y\right)^{2}}$. Formulės galioja tik ten, kur jų vardikliai nenuliniai.
Uždavinys 4.2.3-l
Rask y′ ir y″ iš lygties $x - y \log{\left(y \right)}=0$.
Metodo priminimas
Abi puses diferencijuok pagal x
$y^\prime=- \frac{1}{- \log{\left(y \right)} - 1}$; $y^{\prime\prime}=\frac{1}{y \left(- \log{\left(y \right)} - 1\right)^{3}}$. Formulės galioja tik ten, kur jų vardikliai nenuliniai.
Uždavinys 4.1.3-1a
Rask y′: $x=t^{2} - 4 t$, $y=t^{3} - 6 t$.
Metodo priminimas
y′ = y′(t)/x′(t); y″ = (y′)′ₜ/x′(t)
$\frac{3 \left(t^{2} - 2\right)}{2 \left(t - 2\right)}$, kai x′(t) ≠ 0 ir formulės apibrėžtos.
Uždavinys 4.1.3-1b
Rask y′: $x=\cos{\left(t \right)}$, $y=t \sin{\left(t \right)}$.
Metodo priminimas
y′ = y′(t)/x′(t); y″ = (y′)′ₜ/x′(t)
$- \frac{t \cos{\left(t \right)} + \sin{\left(t \right)}}{\sin{\left(t \right)}}$, kai x′(t) ≠ 0 ir formulės apibrėžtos.
Uždavinys 4.1.3-1c
Rask y′: $x=\operatorname{asin}{\left(t \right)}$, $y=\sqrt{1 - t^{2}}$.
Metodo priminimas
y′ = y′(t)/x′(t); y″ = (y′)′ₜ/x′(t)
$- t$, kai x′(t) ≠ 0 ir formulės apibrėžtos.
Uždavinys 4.1.3-1d
Rask y′: $x=\frac{e^{t}}{t + 1}$, $y=\left(t - 1\right) e^{t}$.
Metodo priminimas
y′ = y′(t)/x′(t); y″ = (y′)′ₜ/x′(t)
$\left(t + 1\right)^{2}$, kai x′(t) ≠ 0 ir formulės apibrėžtos.
Uždavinys 4.1.3-1e
Rask y′: $x=\frac{t^{2} + 1}{1 - t^{2}}$, $y=\frac{2 t}{1 - t^{2}}$.
Metodo priminimas
y′ = y′(t)/x′(t); y″ = (y′)′ₜ/x′(t)
$\frac{t^{2} + 1}{2 t}$, kai x′(t) ≠ 0 ir formulės apibrėžtos.
Uždavinys 4.1.3-2a
Rask y″: $x=t^{4} + 1$, $y=t^{2} + t$.
Metodo priminimas
y′ = y′(t)/x′(t); y″ = (y′)′ₜ/x′(t)
$- \frac{4 t + 3}{16 t^{7}}$, kai x′(t) ≠ 0 ir formulės apibrėžtos.
Uždavinys 4.1.3-2b
Rask y″: $x=t^{2} + 2 t$, $y=t e^{t}$.
Metodo priminimas
y′ = y′(t)/x′(t); y″ = (y′)′ₜ/x′(t)
$\frac{e^{t}}{4 \left(t + 1\right)}$, kai x′(t) ≠ 0 ir formulės apibrėžtos.
Uždavinys 4.1.3-2c
Rask y″: $x=\log{\left(\sin{\left(t \right)} \right)}$, $y=\log{\left(\cos{\left(t \right)} \right)}$.
Metodo priminimas
y′ = y′(t)/x′(t); y″ = (y′)′ₜ/x′(t)
$- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}\right) \sin^{2}{\left(t \right)}}{\cos^{4}{\left(t \right)}}$, kai x′(t) ≠ 0 ir formulės apibrėžtos.
Uždavinys 4.1.3-2d
Rask y″: $x=\operatorname{atan}{\left(t \right)}$, $y=\log{\left(t^{2} + 1 \right)}$.
Metodo priminimas
y′ = y′(t)/x′(t); y″ = (y′)′ₜ/x′(t)
$2 \left(t^{2} + 1\right)$, kai x′(t) ≠ 0 ir formulės apibrėžtos.
Uždavinys 4.1.3-2e
Rask y″: $x=\sec{\left(t \right)}$, $y=- t + \tan{\left(t \right)}$.
Metodo priminimas
y′ = y′(t)/x′(t); y″ = (y′)′ₜ/x′(t)
$\frac{1}{\tan{\left(t \right)} \sec^{2}{\left(t \right)}}$, kai x′(t) ≠ 0 ir formulės apibrėžtos.
Uždavinys 1.1.4a
Pagal ε–δ apibrėžimą įrodyk $\lim_{x\to 1}\left(5 x + 2\right)$ = $7$.
Metodo priminimas
Išspręsk |f(x)−L| < ε nelygybę, rinkis intervalą aplink a ir mažesnį atstumą iki jo kraštų.
$7$
Uždavinys 1.1.4b
Pagal ε–δ apibrėžimą įrodyk $\lim_{x\to 4}\left(3 \sqrt{x} + 2\right)$ = $8$.
Metodo priminimas
Išspręsk |f(x)−L| < ε nelygybę, rinkis intervalą aplink a ir mažesnį atstumą iki jo kraštų.
$8$
Uždavinys 1.1.4c
Pagal ε–δ apibrėžimą įrodyk $\lim_{x\to -5}\left(\frac{2 x + 1}{x - 1}\right)$ = $3/2$.
Metodo priminimas
Išspręsk |f(x)−L| < ε nelygybę, rinkis intervalą aplink a ir mažesnį atstumą iki jo kraštų.
$3/2$
Uždavinys 1.1.4d
Pagal ε–δ apibrėžimą įrodyk $\lim_{x\to 2}\left(2 x^{2} - 3\right)$ = $5$.
Metodo priminimas
Išspręsk |f(x)−L| < ε nelygybę, rinkis intervalą aplink a ir mažesnį atstumą iki jo kraštų.
$5$
Uždavinys 1.1.4e
Pagal ε–δ apibrėžimą įrodyk $\lim_{x\to 1}\left(x + 1 \frac{1}{x}\right)$ = $2$.
Metodo priminimas
Išspręsk |f(x)−L| < ε nelygybę, rinkis intervalą aplink a ir mažesnį atstumą iki jo kraštų.
$2$
Uždavinys 1.1.4f
Pagal ε–δ apibrėžimą įrodyk $\lim_{x\to 9}\left(\frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 4}\right)$ = $-7$.
Metodo priminimas
Išspręsk |f(x)−L| < ε nelygybę, rinkis intervalą aplink a ir mažesnį atstumą iki jo kraštų.
$-7$
Uždavinys 1.1.4g
Pagal ε–δ apibrėžimą įrodyk $\lim_{x\to 3}\left(\frac{2 x}{x^{2} + 1}\right)$ = $3/5$.
Metodo priminimas
Išspręsk |f(x)−L| < ε nelygybę, rinkis intervalą aplink a ir mažesnį atstumą iki jo kraštų.
$3/5$
Uždavinys 1.1.4h
Pagal ε–δ apibrėžimą įrodyk $\lim_{x\to 2}\left(x^{3} - x\right)$ = $6$.
Metodo priminimas
Išspręsk |f(x)−L| < ε nelygybę, rinkis intervalą aplink a ir mažesnį atstumą iki jo kraštų.
$6$
Uždavinys 1.4a
Pagal atitinkamą apibrėžimą įrodyk $\lim_{x\to 3}\left(\frac{x + 2}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)$ = $+\infty$.
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$+\infty$
Uždavinys 1.4b
Pagal atitinkamą apibrėžimą įrodyk $\lim_{x\to \infty}\left(\frac{\sqrt{4 x^{2} - 1}}{x}\right)$ = $2$.
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2$
Uždavinys 1.4c
Pagal atitinkamą apibrėžimą įrodyk $\lim_{x\to 0}\left(e^{- \frac{1}{x^{2}}}\right)$ = $0$.
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 1.4d
Pagal atitinkamą apibrėžimą įrodyk $\lim_{x\to \infty}\left(\frac{5^{x}}{4^{x} + 5^{x}}\right)$ = $1$.
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys 1.4f
Pagal atitinkamą apibrėžimą įrodyk $\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}}\right)$ = $1$.
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1$
Uždavinys 1.4g
Pagal atitinkamą apibrėžimą įrodyk $\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{5^{x}}{4^{x} + 5^{x}}\right)$ = $0$.
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 1.4h
Pagal atitinkamą apibrėžimą įrodyk $\lim_{x\to \infty}\left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x^{2} + 1 \right)}\right)$ = $+\infty$.
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$+\infty$
Uždavinys 2.1.2a
$\lim_{x\to -1}\left(\frac{2 x + 5}{3 x + 8}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3/5$
Uždavinys 2.1.2b
$\lim_{x\to 0}\left(\log{\left(5 e^{x} + 2 \right)}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$\ln7$
Uždavinys 2.1.2c
$\lim_{x\to 5}\left(e^{x} \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^5/2$
Uždavinys 2.1.2d
$\lim_{x\to -2}\left(\frac{\sqrt{x + 11}}{\cos{\left(\pi x \right)} + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3/2$
Uždavinys 2.2.4a
$\lim_{x\to -5}\left(\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 25}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3/10$
Uždavinys 2.2.4b
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{4 x^{2} + 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3/4$
Uždavinys 2.2.4c
$\lim_{x\to 1}\left(\frac{\sqrt{2 - x} - 1}{x - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1/2$
Uždavinys 2.2.4d
$\lim_{x\to \infty}\left(- 5^{x} + 7^{x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$+\infty$
Uždavinys 2.2.4e
$\lim_{x\to 2}\left(\frac{x^{3} - 8}{x^{4} - 16}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3/8$
Uždavinys 2.2.4f
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x^{3} + 6}{5 x^{2} - 4 x + 7}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$+\infty$
Uždavinys 2.2.4g
$\lim_{x\to \infty}\left(- x + \log{\left(2 e^{x} + 1 \right)}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$\ln2$
Uždavinys 2.2.4h
$\lim_{x\to 9}\left(\frac{\sqrt{x} - 3}{x^{2} - 9 x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/54$
Uždavinys 2.2.4i
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{\sqrt{2 x^{4} - 1}}{5 x^{2} + 3 x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$\sqrt2/5$
Uždavinys 2.2.4j
$\lim_{x\to 0}\left(- \cot{\left(x \right)} + \csc{\left(x \right)}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 2.2.4k
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{- 5 x + \sqrt{25 x^{2} + 7 x}}{x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys 2.3.5a
$\lim_{x\to \infty}\left(\left(1 + \frac{5}{x}\right)^{x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^5$
Uždavinys 2.3.5b
$\lim_{x\to 0}\left(\left(1 - 8 x\right)^{1 \frac{1}{x}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{-8}$
Uždavinys 2.3.5c
$\lim_{x\to \infty}\left(\left(\frac{x - 3}{x + 4}\right)^{2 x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{-14}$
Uždavinys 2.3.5d
$\lim_{x\to 0}\left(\left(\frac{x + 2}{2 - x}\right)^{1 \frac{1}{x}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e$
Uždavinys 2.3.5e
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\log{\left(7 x + 1 \right)}}{x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$7$
Uždavinys 2.3.5f
$\lim_{x\to \infty}\left(x \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 6 \right)}\right)\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$6$
Uždavinys 2.3.5g
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{e^{5 x} - 1}{4 x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$5/4$
Uždavinys 2.3.5h
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{e^{6 x} - 1}{e^{7 x} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$6/7$
Uždavinys 2.3.9a
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/3$
Uždavinys 2.3.9b
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\tan{\left(6 x \right)}}{x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$6$
Uždavinys 2.3.9c
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{1 - \cos{\left(4 x \right)}}{x^{2}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$8$
Uždavinys 2.3.9d
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$7/5$
Uždavinys 2.3.9e
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/2$
Uždavinys 2.3.9f
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3$
Uždavinys 2.3.9g
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/2$
Uždavinys 2.3.9h
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{x}{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/2$
Uždavinys 2.3.9i
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{1 - \cos{\left(4 x \right)}}{1 - \cos{\left(2 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$4$
Uždavinys 2.3.9j
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{- \cos{\left(5 x \right)} + \cos{\left(7 x \right)}}{x^{2}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-12$
Uždavinys 2.5.2a
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\sqrt{x + 4} - 2}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$12$
Uždavinys 2.5.2b
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{e^{4 x} - 1}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$4/5$
Uždavinys 2.5.2c
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 5 \right)}}{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 2 \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$5/2$
Uždavinys 2.5.2d
$\lim_{x\to 0}\left(x^{2} \left(\cot^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right)\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/4$
Uždavinys 2.5.2e
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(7 x \right)}}{\operatorname{atan}{\left(6 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$7/6$
Uždavinys 2.5.2f
$\lim_{x\to 0}\left(\left(1 - 3 \tan^{2}{\left(x \right)}\right)^{\cot^{2}{\left(x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{-3}$
Uždavinys 2.5.2g
$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(\sin^{\tan^{2}{\left(x \right)}}{\left(x \right)}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$e^{-1/2}$
Uždavinys 2.4.3a1
Apskaičiuok abi vienpuses ribas, kai $x\to -3$: $f(x)=\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}$.
Metodo priminimas
Vienpusių ribų ženklai ir pagrindinės ribos
$\lim_{x\to -3^-}f(x)=\infty$, $\lim_{x\to -3^+}f(x)=-\infty$.
Uždavinys 2.4.3a2
Apskaičiuok abi vienpuses ribas, kai $x\to 1$: $f(x)=\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}$.
Metodo priminimas
Vienpusių ribų ženklai ir pagrindinės ribos
$\lim_{x\to 1^-}f(x)=\frac{1}{2}$, $\lim_{x\to 1^+}f(x)=\frac{1}{2}$.
Uždavinys 2.4.3b
Apskaičiuok abi vienpuses ribas, kai $x\to 0$: $f(x)=\operatorname{atan}{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}$.
Metodo priminimas
Vienpusių ribų ženklai ir pagrindinės ribos
$\lim_{x\to 0^-}f(x)=- \frac{\pi}{2}$, $\lim_{x\to 0^+}f(x)=\frac{\pi}{2}$.
Uždavinys 2.4.3c
Apskaičiuok abi vienpuses ribas, kai $x\to 0$: $f(x)=\frac{\sin{\left(x \right)}}{\left|{x}\right|}$.
Metodo priminimas
Vienpusių ribų ženklai ir pagrindinės ribos
$\lim_{x\to 0^-}f(x)=-1$, $\lim_{x\to 0^+}f(x)=1$.
Uždavinys 2.4.3d1
Apskaičiuok abi vienpuses ribas, kai $x\to 0$: $f(x)=\frac{1}{1 + e^{- \frac{1}{x}}}$.
Metodo priminimas
Vienpusių ribų ženklai ir pagrindinės ribos
$\lim_{x\to 0^-}f(x)=0$, $\lim_{x\to 0^+}f(x)=1$.
Uždavinys 2.4.3d2
Apskaičiuok abi vienpuses ribas, kai $x\to \infty$: $f(x)=\frac{1}{1 + e^{- \frac{1}{x}}}$.
Metodo priminimas
Vienpusių ribų ženklai ir pagrindinės ribos
$\lim_{x\to \infty^-}f(x)=\frac{1}{2}$, $\lim_{x\to \infty^+}f(x)=\frac{1}{2}$.
Uždavinys 2.4.3d3
Apskaičiuok abi vienpuses ribas, kai $x\to -\infty$: $f(x)=\frac{1}{1 + e^{- \frac{1}{x}}}$.
Metodo priminimas
Vienpusių ribų ženklai ir pagrindinės ribos
$\lim_{x\to -\infty^-}f(x)=\frac{1}{2}$, $\lim_{x\to -\infty^+}f(x)=\frac{1}{2}$.
Uždavinys 2.4.3e
Apskaičiuok abi vienpuses ribas, kai $x\to 1$: $f(x)=\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$.
Metodo priminimas
Vienpusių ribų ženklai ir pagrindinės ribos
$\lim_{x\to 1^-}f(x)=\infty$, $\lim_{x\to 1^+}f(x)=-\infty$.
Uždavinys 2.4.3f
Apskaičiuok abi vienpuses ribas, kai $x\to 0$: $f(x)=\operatorname{atan}{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}$.
Metodo priminimas
Vienpusių ribų ženklai ir pagrindinės ribos
$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\frac{\pi}{4}$, $\lim_{x\to 0^+}f(x)=\frac{\pi}{2}$.
Uždavinys 3.1.2b
$\lim_{x\to 1}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt[3]{x} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$3/2$
Uždavinys 3.1.2c
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{1 - \cos{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$0$
Uždavinys 3.1.2d
$\lim_{x\to \pi}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\pi - x}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$-2$
Uždavinys 3.1.2e
$\lim_{x\to 2}\left(\frac{- x^{2} + 2 x}{x - 2}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$-2$
Uždavinys 3.1.2f
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x + 1}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$0$
Uždavinys 3.1.2g
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sqrt[4]{7 x + 1} - 1}{x}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$7/4$
Uždavinys 3.1.2h
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x}}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$0$
Uždavinys 3.1.2i
$\lim_{x\to 1}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$-\pi$
Uždavinys 3.1.2j
$\lim_{x\to 1}\left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$1/2$
Uždavinys 3.1.5a
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$1/6$
Uždavinys 3.1.5b
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{x^{2}}{- x + e^{x} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$2$
Uždavinys 3.1.5c
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x^{3}}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$+\infty$
Uždavinys 3.1.5d
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{x^{3}}{- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$2$
Uždavinys 3.1.5e
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{x - \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$1/2$
Uždavinys 3.1.8a
$\lim_{x\to 0}\left(\sqrt{x} \log{\left(x \right)}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$0$
Uždavinys 3.1.8b
$\lim_{x\to 0}\left(- \frac{1}{e^{x} - 1} + 1 \frac{1}{x}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$1/2$
Uždavinys 3.1.8c
$\lim_{x\to \pi}\left(\left(\pi - x\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$2$
Uždavinys 3.1.8d
$\lim_{x\to \infty}\left(x^{4} e^{- 2 x}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$0$
Uždavinys 3.1.8e
$\lim_{x\to 1}\left(1 \frac{1}{\log{\left(x \right)}} - 1 \frac{1}{x - 1}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$1/2$
Uždavinys 3.2a
$\lim_{x\to 0}\left(x^{x}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$1$
Uždavinys 3.2c
$\lim_{x\to 0}\left(\left(x + e^{2 x}\right)^{1 \frac{1}{x}}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$e^3$
Uždavinys 3.2d
$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(\sin^{\tan{\left(x \right)}}{\left(x \right)}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$1$
Uždavinys 3.2e
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{1 \frac{1}{x}} - e}{x}\right)$
Metodo priminimas
Tik šiame skyriuje: Lopitalio taisyklė, patikrinus jos prielaidas
$-e/2$
Uždavinys A3.1
$\lim_{x\to 1}\left(\frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{x - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$6$
Uždavinys A3.2
$\lim_{x\to -1}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x^{3} - 2 x - 1\right)}{x^{4} + 4 x^{2} - 5}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$0$
Uždavinys A3.3
$\lim_{x\to 1}\left(\frac{x^{4} - 1}{2 x^{4} - x^{2} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2/3$
Uždavinys A3.4
$\lim_{x\to 2}\left(\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4}{x^{3} - 3 x^{2} + 4}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/3$.
Uždavinys A3.5
$\lim_{x\to -3}\left(\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 15 x + 19}{x^{3} + 8 x^{2} + 21 x + 18}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-\infty$ iš abiejų pusių.
Uždavinys A3.6
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{\log{\left(1 - x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-2$
Uždavinys A3.7
$\lim_{x\to \pi}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(3 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-5/3$.
Uždavinys A3.8
$\lim_{x\to 2}\left(\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 2}{x^{3} - x - 6}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$15/11$.
Uždavinys A3.9
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{\sin{\left(b x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$a/b$
Uždavinys A3.10
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{3} - \left(3 x + 1\right)}{x^{3} + x^{2}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3$
Uždavinys B16.2
Apskaičiuok $\lim_{x\to8}\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x^2}-4}$.
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$3/5$.
Uždavinys B16.3
$\lim_{x\to 1}\left(\frac{\sqrt{5 - x} - 2}{\sqrt[4]{2 - x} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/2$.
Uždavinys B16.4
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sqrt[3]{- x^{2} + 3 x + 8} - 1}{\sqrt[3]{x^{3} + x^{2}}}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$+\infty$
Uždavinys 14.1
$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$-3$
Uždavinys 14.2
$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\tan{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(3 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$3/5$
Uždavinys 14.3
$\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$-1/2$
Uždavinys 14.4
$\lim_{x\to 1}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt{x}}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$\pi$
Uždavinys 14.5
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{e^{x} - 2 + e^{- x}}{1 - \cos{\left(2 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$1/2$
Uždavinys 14.6
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{x \sin{\left(2 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$1/2$
Uždavinys 14.7
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(4 x \right)} \right)}}{x \tan{\left(2 x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$-4$
Uždavinys 14.8
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\log{\left(2 - e^{3 x} \right)}}{\log{\left(2 - e^{5 x} \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$3/5$
Uždavinys 14.9
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{\log{\left(e^{3 x} + 4 \right)}}{\log{\left(e^{5 x} + 6 \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$3/5$
Uždavinys 14.10
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{\log{\left(x^{7} + 1 \right)}}{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$7/2$
Uždavinys 14.11
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\log{\left(e^{x} - \cos{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$1$
Uždavinys 14.12
$\lim_{x\to \pi}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$1/2$
Uždavinys 14.13
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$16$
Uždavinys 14.14
$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\left(2 x - \pi\right) \cos{\left(x \right)}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$4$
Uždavinys 14.15
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{e^{x^{2}} - 1}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$-2$
Uždavinys 15.1
$\lim_{x\to 0}\left(1 \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} - 1 \frac{1}{x}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$0$
Uždavinys 15.2
$\lim_{x\to 1}\left(- \frac{7}{x^{7} - 1} + \frac{5}{x^{5} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$1$
Uždavinys 15.3
$\lim_{x\to 0}\left(\cot{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1 \frac{1}{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$0$
Uždavinys 15.4
$\lim_{x\to 0}\left(\cot{\left(x \right)} - 1 \frac{1}{x}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$0$
Uždavinys 15.5
$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(\tan{\left(x \right)} - 1 \frac{1}{1 - \sin{\left(x \right)}}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$-\infty$
Uždavinys 15.6
$\lim_{x\to 0}\left(x^{2} \log{\left(x \right)}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$0$
Uždavinys 15.7
$\lim_{x\to \frac{1}{2}}\left(\sin{\left(2 x - 1 \right)} \tan{\left(\pi x \right)}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$-2/\pi$
Uždavinys 15.8
$\lim_{x\to 0}\left(\log{\left(x + e^{x} \right)} \cot{\left(x \right)}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$2$
Uždavinys 15.9
$\lim_{x\to 0}\left(\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)} \cot^{2}{\left(x \right)}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$-2$
Uždavinys 15.10
$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$0$
Uždavinys 15.11
$\lim_{x\to 0}\left(\log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$0$
Uždavinys 15.12
$\lim_{x\to \infty}\left(x \left(1 - e^{\frac{3}{x}}\right)\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$-3$
Uždavinys 15.13
$\lim_{x\to \infty}\left(\log{\left(x \right)} \log{\left(\tan{\left(\frac{\pi}{4} + 1 \frac{1}{x} \right)} \right)}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$0$
Uždavinys 15.14
$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} + 1 \right)} \tan{\left(x \right)}\right)$
Metodo priminimas
Šio skyriaus sąlyga leidžia Lopitalio taisyklę. Vienpusę ribą imk iš realios apibrėžimo srities.
$-3$
Uždavinys 12.1
Rask diferencialą $y=x \sqrt{x^{2} + 5}$.
Metodo priminimas
Diferencialo formulė
$dy=(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 5}} + \sqrt{x^{2} + 5})dx$.
Uždavinys 12.2
Rask diferencialą $y=3 x + \left(x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}$.
Metodo priminimas
Diferencialo formulė
$dy=(2 x \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)} + 3 + \frac{x^{2} + 1}{2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)})dx$.
Uždavinys 12.3
Rask diferencialą $y=\left(1 - \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$.
Metodo priminimas
Diferencialo formulė
$dy=(- 2 \left(1 - \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\right) \sin{\left(2 x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}})dx$.
Uždavinys 12.4
Rask diferencialą $y=\left(2 \sin{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- 3 x}$.
Metodo priminimas
Diferencialo formulė
$dy=(- 3 \left(2 \sin{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- 3 x} + \left(6 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- 3 x})dx$.
Uždavinys 13.1
Apytiksliai rask $\arccos(0,4993)$ naudodamas diferencialą.
Metodo priminimas
Diferencialas arba vienpusės išvestinės
$\pi/3+0,0014/\sqrt3\approx1,048006$ rad.
Uždavinys 13.2
Apytiksliai rask $\ln(1,01)$.
Metodo priminimas
Diferencialas arba vienpusės išvestinės
$0,01$.
Uždavinys 13.3
Apytiksliai rask $\tan(44^\circ56^\prime)$.
Metodo priminimas
Diferencialas arba vienpusės išvestinės
$1-\pi/1350\approx0,997673$.
Uždavinys 13.4
Apytiksliai rask $\sqrt[5]{31}$.
Metodo priminimas
Diferencialas arba vienpusės išvestinės
$2-1/80=1,9875$.
Uždavinys 13.5
Apytiksliai rask $\sin(60^\circ3^\prime)$.
Metodo priminimas
Diferencialas arba vienpusės išvestinės
$\sqrt3/2+\pi/7200\approx0,866462$.
Uždavinys 13.6
Apytiksliai rask $\arctan(1,02)$.
Metodo priminimas
Diferencialas arba vienpusės išvestinės
$\pi/4+0,01\approx0,795398$ rad.
Uždavinys 11
Nurodyk taškus, kuriuose išvestinė neegzistuoja: $f(x)=\sqrt[3]x$, kai $x<1$; $f(x)=e^{x-1}$, kai $x\ge1$.
Metodo priminimas
Diferencialas arba vienpusės išvestinės
$x=0$ ir $x=1$. Ties 0 kubinės šaknies išvestinė nebaigtinė, ties 1 kairioji išvestinė 1/3, dešinioji 1.
Uždavinys 19.1
Rask parametrus, kad funkcija būtų tolydi: $f(x)=\begin{cases}x,&x\le 0,\\a x + b,&0<x<1,\\\operatorname{atan}{\left(x \right)},&x\ge 1.\end{cases}$
Metodo priminimas
Sulygink vienpuses ribas ir funkcijos reikšmę jungties taškuose
$a=\frac{\pi}{4},\ b=0$.
Uždavinys 19.2
Rask parametrus, kad funkcija būtų tolydi: $f(x)=\begin{cases}- x,&x\le 0,\\a x + b,&0<x<\pi,\\\cos{\left(x \right)},&x\ge \pi.\end{cases}$
Metodo priminimas
Sulygink vienpuses ribas ir funkcijos reikšmę jungties taškuose
$a=- \frac{1}{\pi},\ b=0$.
Uždavinys 19.3
Rask parametrus, kad funkcija būtų tolydi: $f(x)=\begin{cases}- \sin{\left(x \right)},&x\le 0,\\a x + b,&0<x<10,\\\tan{\left(x \right)},&x\ge 10.\end{cases}$
Metodo priminimas
Sulygink vienpuses ribas ir funkcijos reikšmę jungties taškuose
$a=\frac{\tan{\left(10 \right)}}{10},\ b=0$.
Uždavinys 19.4
Rask parametrus, kad funkcija būtų tolydi: $f(x)=\begin{cases}3 - x,&x\le -2,\\a x + b,&-2<x<0,\\\log{\left(x + 1 \right)},&x\ge 0.\end{cases}$
Metodo priminimas
Sulygink vienpuses ribas ir funkcijos reikšmę jungties taškuose
$a=- \frac{5}{2},\ b=0$.
Uždavinys 19.5
Rask parametrus, kad funkcija būtų tolydi: $f(x)=\begin{cases}x^{2} - 1,&x\le 0,\\a x + b,&0<x<3,\\\frac{1}{x - 2},&x\ge 3.\end{cases}$
Metodo priminimas
Sulygink vienpuses ribas ir funkcijos reikšmę jungties taškuose
$a=\frac{2}{3},\ b=-1$.
Uždavinys 19.6
Rask parametrus, kad funkcija būtų tolydi: $f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x},&x\le -1,\\a x^{2} + b,&-1<x<2,\\\sqrt{2} \sqrt{x},&x\ge 2.\end{cases}$
Metodo priminimas
Sulygink vienpuses ribas ir funkcijos reikšmę jungties taškuose
$a=1,\ b=-2$.
Uždavinys 19.7
Rask parametrus, kad funkcija būtų tolydi: $f(x)=\begin{cases}\operatorname{atan}{\left(x \right)},&x\le 0,\\a x + b,&0<x<2,\\\frac{1}{x - 1},&x\ge 2.\end{cases}$
Metodo priminimas
Sulygink vienpuses ribas ir funkcijos reikšmę jungties taškuose
$a=\frac{1}{2},\ b=0$.
Uždavinys 19.8
Rask parametrus, kad funkcija būtų tolydi: $f(x)=a x^{2} + 2$ kai $x<1$; $f(x)=\log{\left(x \right)}$ kai $x\ge1$.
Metodo priminimas
Sulygink vienpuses ribas ir funkcijos reikšmę jungties taškuose
$a=-2$.
Uždavinys 19.9
Rask parametrus, kad funkcija būtų tolydi: $f(x)=\begin{cases}x^{2} + 1,&x\le -1,\\a x + b,&-1<x<1,\\\sqrt{x},&x\ge 1.\end{cases}$
Metodo priminimas
Sulygink vienpuses ribas ir funkcijos reikšmę jungties taškuose
$a=- \frac{1}{2},\ b=\frac{3}{2}$.
Uždavinys 19.10
Rask parametrus, kad funkcija būtų tolydi: $f(x)=\begin{cases}\frac{3}{x},&x\le -1,\\a x + b,&-1<x<2,\\\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}},&x\ge 2.\end{cases}$
Metodo priminimas
Sulygink vienpuses ribas ir funkcijos reikšmę jungties taškuose
$a=\frac{4}{3},\ b=- \frac{5}{3}$.
Uždavinys 10.1
Rask a ir b, kad ties jungtimi $x=1$ funkcija $x \sin{\left(\pi x \right)}$ kairėje ir $a x^{2} + b$ dešinėje būtų diferencijuojama.
Metodo priminimas
Sutapti turi ir reikšmės, ir abi vienpusės išvestinės
$a=- \frac{\pi}{2},\ b=\frac{\pi}{2}$.
Uždavinys 10.2
Rask a ir b, kad ties jungtimi $x=0$ funkcija $2^{x} x$ kairėje ir $a x + b$ dešinėje būtų diferencijuojama.
Metodo priminimas
Sutapti turi ir reikšmės, ir abi vienpusės išvestinės
$a=1,\ b=0$.
Uždavinys 10.3
Rask a ir b, kad ties jungtimi $x=0$ funkcija $a x + b$ kairėje ir $\cos{\left(2 x \right)}$ dešinėje būtų diferencijuojama.
Metodo priminimas
Sutapti turi ir reikšmės, ir abi vienpusės išvestinės
$a=0,\ b=1$.
Uždavinys 10.4
Rask a ir b, kad ties jungtimi $x=1$ funkcija $a x^{2} + b$ kairėje ir $\log{\left(x \right)}$ dešinėje būtų diferencijuojama.
Metodo priminimas
Sutapti turi ir reikšmės, ir abi vienpusės išvestinės
$a=\frac{1}{2},\ b=- \frac{1}{2}$.
Uždavinys 10.6
Rask a ir b, kad ties jungtimi $x=0$ funkcija $a e^{x} + b$ kairėje ir $\log{\left(x + 1 \right)}$ dešinėje būtų diferencijuojama.
Metodo priminimas
Sutapti turi ir reikšmės, ir abi vienpusės išvestinės
$a=1,\ b=-1$.
Uždavinys 18
Parink a, kad $f(x)=(x^2-1)/(x-1)$ kai $x\ne1$, ir $f(1)=a$ būtų tolydi ties 1.
Metodo priminimas
Pasirink tos temos konspekte pateiktą būdą. Pirmiausia nustatyk formulės apibrėžimo sritį.
$a=2$.
Uždavinys 20.1
Rask ir klasifikuok jungčių trūkius. $f(x)=\begin{cases}- x & x<0\\\sin{\left(x \right)} & 0<x<\pi\\x - 2 & x>\pi\end{cases}$ Jungčių reikšmės: $f(0)=0$, $f(\pi)=0$.
Metodo priminimas
Palygink kairiąją ir dešiniąją ribas. Skirtingos baigtinės ribos – šuolis; begalinė – antros rūšies trūkis.
$x=0$: kairioji riba $0$, dešinioji $0$. $x=\pi$: kairioji riba $0$, dešinioji $-2 + \pi$.
Uždavinys 20.2
Rask ir klasifikuok jungčių trūkius. $f(x)=\begin{cases}2 x & x<0\\x^{2} + 1 & 0<x<1\\2 & x>1\end{cases}$ Jungčių reikšmės: $f(0)=0$, $f(1)=2$.
Metodo priminimas
Palygink kairiąją ir dešiniąją ribas. Skirtingos baigtinės ribos – šuolis; begalinė – antros rūšies trūkis.
$x=0$: kairioji riba $0$, dešinioji $1$. $x=1$: kairioji riba $2$, dešinioji $2$.
Uždavinys 20.3
Rask ir klasifikuok jungčių trūkius. $f(x)=\begin{cases}1 & x<0\\\cos{\left(x \right)} & 0<x<\frac{\pi}{2}\\x - 1 & x>\frac{\pi}{2}\end{cases}$ Jungčių reikšmės: $f(0)=1$, $f(\pi/2)=0$.
Metodo priminimas
Palygink kairiąją ir dešiniąją ribas. Skirtingos baigtinės ribos – šuolis; begalinė – antros rūšies trūkis.
$x=0$: kairioji riba $1$, dešinioji $1$. $x=\frac{\pi}{2}$: kairioji riba $0$, dešinioji $-1 + \frac{\pi}{2}$.
Uždavinys 20.4
Rask ir klasifikuok jungčių trūkius. $f(x)=\begin{cases}4 & x<-2\\4 - x^{2} & -2<x<2\\x - 2 & x>2\end{cases}$ Jungčių reikšmės: $f(-2)=0$, $f(2)=0$.
Metodo priminimas
Palygink kairiąją ir dešiniąją ribas. Skirtingos baigtinės ribos – šuolis; begalinė – antros rūšies trūkis.
$x=-2$: kairioji riba $4$, dešinioji $0$. $x=2$: kairioji riba $0$, dešinioji $0$.
Uždavinys 20.5
Rask ir klasifikuok jungčių trūkius. $f(x)=\begin{cases}x^{3} & x<1\\4 x & 1<x<2\\6 - x & x>2\end{cases}$ Jungčių reikšmės: $f(1)=1$, $f(2)=8$.
Metodo priminimas
Palygink kairiąją ir dešiniąją ribas. Skirtingos baigtinės ribos – šuolis; begalinė – antros rūšies trūkis.
$x=1$: kairioji riba $1$, dešinioji $4$. $x=2$: kairioji riba $8$, dešinioji $4$.
Uždavinys 20.6
Rask ir klasifikuok jungčių trūkius. $f(x)=\begin{cases}- \frac{1}{x} & x<0\\\frac{x^{2}}{2} & 0<x<1\\2 - x & x>1\end{cases}$ Jungčių reikšmės: $f(0)=0$, $f(1)=1$.
Metodo priminimas
Palygink kairiąją ir dešiniąją ribas. Skirtingos baigtinės ribos – šuolis; begalinė – antros rūšies trūkis.
$x=0$: kairioji riba $\infty$, dešinioji $0$. $x=1$: kairioji riba $\frac{1}{2}$, dešinioji $1$.
Uždavinys 20.7
Rask ir klasifikuok jungčių trūkius. $f(x)=\begin{cases}2 \sqrt{x} & x<1\\4 - 2 x & 1<x<\frac{5}{2}\\2 x - 7 & x>\frac{5}{2}\end{cases}$ Jungčių reikšmės: $f(1)=2$, $f(2{,}5)=-2$.
Metodo priminimas
Palygink kairiąją ir dešiniąją ribas. Skirtingos baigtinės ribos – šuolis; begalinė – antros rūšies trūkis.
$x=1$: kairioji riba $2$, dešinioji $2$. $x=\frac{5}{2}$: kairioji riba $-1$, dešinioji $-2$.
Uždavinys 20.8
Rask ir klasifikuok jungčių trūkius. $f(x)=\begin{cases}- x & x<-1\\\frac{2}{x - 1} & x>-1\end{cases}$ Jungčių reikšmės: $f(-1)=1$.
Metodo priminimas
Palygink kairiąją ir dešiniąją ribas. Skirtingos baigtinės ribos – šuolis; begalinė – antros rūšies trūkis.
$x=-1$: kairioji riba $1$, dešinioji $-1$.
Uždavinys 20.9
Rask ir klasifikuok jungčių trūkius. $f(x)=\begin{cases}1 - x^{2} & x<0\\\left(x - 1\right)^{2} & 0<x<2\\4 - x & x>2\end{cases}$ Jungčių reikšmės: $f(0)=1$, $f(2)=1$.
Metodo priminimas
Palygink kairiąją ir dešiniąją ribas. Skirtingos baigtinės ribos – šuolis; begalinė – antros rūšies trūkis.
$x=0$: kairioji riba $1$, dešinioji $1$. $x=2$: kairioji riba $1$, dešinioji $2$.
Uždavinys 20.10
Rask ir klasifikuok jungčių trūkius. $f(x)=\begin{cases}\operatorname{asin}{\left(x \right)} & x<0\\x^{2} + 1 & 0<x<1\\\frac{2}{x - 1} & x>1\end{cases}$ Jungčių reikšmės: $f(0)=0$, $f(1)=2$.
Metodo priminimas
Palygink kairiąją ir dešiniąją ribas. Skirtingos baigtinės ribos – šuolis; begalinė – antros rūšies trūkis.
$x=0$: kairioji riba $0$, dešinioji $1$. $x=1$: kairioji riba $2$, dešinioji $\infty$.
Uždavinys 20.11
Rask ir klasifikuok jungčių trūkius. $f(x)=\begin{cases}\cos{\left(x \right)} & x<0\\\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(3 \right)}} & 0<x<\sqrt{3}\\x^{2} - \frac{5}{2} & x>\sqrt{3}\end{cases}$ Jungčių reikšmės: $f(0)=1$, $f(\sqrt3)=1/2$.
Metodo priminimas
Palygink kairiąją ir dešiniąją ribas. Skirtingos baigtinės ribos – šuolis; begalinė – antros rūšies trūkis.
$x=0$: kairioji riba $1$, dešinioji $-\infty$. $x=\sqrt{3}$: kairioji riba $\frac{\log{\left(\sqrt{3} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$, dešinioji $\frac{1}{2}$.
Uždavinys 20.12
Rask ir klasifikuok jungčių trūkius. $f(x)=\begin{cases}\sin{\left(2 x \right)} & x<0\\\frac{1}{x} & 0<x<1\\\left(x + 1\right)^{2} - 2 & x>1\end{cases}$ Jungčių reikšmės: $f(0)=0$, $f(1)=2$.
Metodo priminimas
Palygink kairiąją ir dešiniąją ribas. Skirtingos baigtinės ribos – šuolis; begalinė – antros rūšies trūkis.
$x=0$: kairioji riba $0$, dešinioji $\infty$. $x=1$: kairioji riba $1$, dešinioji $2$.
Uždavinys 1.1
Rask $y=\sqrt{x} + \sqrt{x^{4} - 1}$ apibrėžimo sritį.
Metodo priminimas
Šaknies pošaknis ≥ 0; vardiklis ≠ 0; logaritmo argumentas > 0; arcsin argumentas tarp −1 ir 1
$D=[1,+\infty)$.
Uždavinys 1.2
Rask $y=\frac{\sqrt{x^{2} - 4 x + 3}}{x - 4}$ apibrėžimo sritį.
Metodo priminimas
Šaknies pošaknis ≥ 0; vardiklis ≠ 0; logaritmo argumentas > 0; arcsin argumentas tarp −1 ir 1
$D=(-\infty,1]\cup[3,4)\cup(4,+\infty)$.
Uždavinys 1.3
Rask $y=\sqrt{x} + 1 \frac{1}{\sqrt{2 x^{2} - 5 x + 2}}$ apibrėžimo sritį.
Metodo priminimas
Šaknies pošaknis ≥ 0; vardiklis ≠ 0; logaritmo argumentas > 0; arcsin argumentas tarp −1 ir 1
$D=[0,1/2)\cup(2,+\infty)$.
Uždavinys 1.4
Rask $y=\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x + 1}}$ apibrėžimo sritį.
Metodo priminimas
Šaknies pošaknis ≥ 0; vardiklis ≠ 0; logaritmo argumentas > 0; arcsin argumentas tarp −1 ir 1
$D=(-1,+\infty)$.
Uždavinys 1.5
Rask $y=\sqrt{2 - x} + \frac{\log{\left(4 - x^{2} \right)}}{\log{\left(10 \right)}}$ apibrėžimo sritį.
Metodo priminimas
Šaknies pošaknis ≥ 0; vardiklis ≠ 0; logaritmo argumentas > 0; arcsin argumentas tarp −1 ir 1
$D=(-2,2)$.
Uždavinys 1.6
Rask $y=\sqrt{3 - 2 x} \operatorname{asin}{\left(3 - 2 x \right)}$ apibrėžimo sritį.
Metodo priminimas
Šaknies pošaknis ≥ 0; vardiklis ≠ 0; logaritmo argumentas > 0; arcsin argumentas tarp −1 ir 1
$D=[1,3/2]$.
Uždavinys 1.7
Rask $y=\frac{\sqrt{- x^{2} + x + 6}}{\frac{1}{\log{\left(10 \right)}} \log{\left(x \right)}}$ apibrėžimo sritį.
Metodo priminimas
Šaknies pošaknis ≥ 0; vardiklis ≠ 0; logaritmo argumentas > 0; arcsin argumentas tarp −1 ir 1
$D=(0,1)\cup(1,3]$.
Uždavinys 1.8
Rask $y=\operatorname{asin}{\left(\frac{1 - 2 x}{5} \right)}$ apibrėžimo sritį.
Metodo priminimas
Šaknies pošaknis ≥ 0; vardiklis ≠ 0; logaritmo argumentas > 0; arcsin argumentas tarp −1 ir 1
$D=[-2,3]$.
Uždavinys 1.9
Rask $y=\frac{\log{\left(9 - x^{2} \right)}}{\log{\left(x \right)}}$ apibrėžimo sritį.
Metodo priminimas
Šaknies pošaknis ≥ 0; vardiklis ≠ 0; logaritmo argumentas > 0; arcsin argumentas tarp −1 ir 1
$D=(0,1)\cup(1,3)$.
Uždavinys 1.10
Rask $y=\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2} - 1}$ apibrėžimo sritį.
Metodo priminimas
Šaknies pošaknis ≥ 0; vardiklis ≠ 0; logaritmo argumentas > 0; arcsin argumentas tarp −1 ir 1
$D=[-3,-1)\cup(-1,1)\cup(1,3]$.
Uždavinys 1.11
Rask $y=\sqrt{x + 2} + 1 \frac{1}{\frac{1}{\log{\left(10 \right)}} \log{\left(1 - x \right)}}$ apibrėžimo sritį.
Metodo priminimas
Šaknies pošaknis ≥ 0; vardiklis ≠ 0; logaritmo argumentas > 0; arcsin argumentas tarp −1 ir 1
$D=[-2,0)\cup(0,1)$.
Uždavinys 1.12
Rask $y=- \frac{\log{\left(4 - x \right)}}{\log{\left(10 \right)}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x - 3}{2} \right)}$ apibrėžimo sritį.
Metodo priminimas
Šaknies pošaknis ≥ 0; vardiklis ≠ 0; logaritmo argumentas > 0; arcsin argumentas tarp −1 ir 1
$D=[1,4)$.
Uždavinys 2.1
$\lim_{x\to 0}\left(\frac{3 x^{2} - 2 x}{2 x^{2} - 5 x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$2/5$
Uždavinys 2.2
$\lim_{x\to 3}\left(\frac{x^{2} - 5 x + 6}{3 x^{2} - 9 x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/9$
Uždavinys 2.3
$\lim_{x\to - \frac{3}{2}}\left(\frac{4 x^{2} - 9}{2 x + 3}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-6$
Uždavinys 2.4
$\lim_{x\to 5}\left(\frac{x^{2} - 8 x + 15}{x^{2} - 25}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/5$
Uždavinys 2.5
$\lim_{x\to 1}\left(- \frac{2}{1 - x^{2}} + 1 \frac{1}{1 - x}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1/2$
Uždavinys 2.6
$\lim_{x\to 2}\left(- \frac{4}{x^{2} - 4} + 1 \frac{1}{x - 2}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/4$
Uždavinys 2.7
$\lim_{x\to -2}\left(- \frac{12}{x^{3} + 8} + 1 \frac{1}{x + 2}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-1/2$.
Uždavinys 2.8
$\lim_{x\to -1}\left(\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - 1}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-3/2$
Uždavinys 2.9
$\lim_{x\to 2}\left(\frac{x^{3} - 4 x}{x^{2} - 3 x + 2}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$8$
Uždavinys 2.10
$\lim_{x\to 2}\left(\frac{3 x - 6}{x^{3} - 8}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$1/4$
Uždavinys 2.11
$\lim_{x\to -2}\left(\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}{x^{2} - x - 6}\right)$
Metodo priminimas
Pagrindinės ribos ir algebriniai pertvarkymai
$-2/5$
Uždavinys 7.1
Pagal apibrėžimą įrodyk $f(x)=3 x^{2} - 2 x + 1$ tolydumą jos apibrėžimo srityje.
Metodo priminimas
ε–δ: nelygybė → intervalas → δ
Kiekviename srities taške a reikia parodyti: $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. Nelygybę $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ išspręsk x atžvilgiu ir parink teigiamą δ.
Uždavinys 7.2
Pagal apibrėžimą įrodyk $f(x)=\left|{x}\right|$ tolydumą jos apibrėžimo srityje.
Metodo priminimas
ε–δ: nelygybė → intervalas → δ
Kiekviename srities taške a reikia parodyti: $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. Nelygybę $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ išspręsk x atžvilgiu ir parink teigiamą δ.
Uždavinys 7.3
Pagal apibrėžimą įrodyk $f(x)=\frac{x}{x^{2} + 1}$ tolydumą jos apibrėžimo srityje.
Metodo priminimas
ε–δ: nelygybė → intervalas → δ
Kiekviename srities taške a reikia parodyti: $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. Nelygybę $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ išspręsk x atžvilgiu ir parink teigiamą δ.
Uždavinys 7.4
Pagal apibrėžimą įrodyk $f(x)=\sin{\left(x \right)}$ tolydumą jos apibrėžimo srityje.
Metodo priminimas
ε–δ: nelygybė → intervalas → δ
Kiekviename srities taške a reikia parodyti: $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. Nelygybę $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ išspręsk x atžvilgiu ir parink teigiamą δ.
Uždavinys 7.5
Pagal apibrėžimą įrodyk $f(x)=\sin{\left(2 x - 3 \right)}$ tolydumą jos apibrėžimo srityje.
Metodo priminimas
ε–δ: nelygybė → intervalas → δ
Kiekviename srities taške a reikia parodyti: $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. Nelygybę $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ išspręsk x atžvilgiu ir parink teigiamą δ.
Uždavinys 7.6
Pagal apibrėžimą įrodyk $f(x)=\sqrt{x}$ tolydumą jos apibrėžimo srityje.
Metodo priminimas
ε–δ: nelygybė → intervalas → δ
Kiekviename srities taške a reikia parodyti: $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. Kai a=0, imk $\delta=\varepsilon^2$; kai a>0, spręsk $|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\varepsilon$ intervalų būdu.
Uždavinys 7.17
Parink f(0), kad $f(x)=\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$ būtų tolydi ties x=0.
Metodo priminimas
Funkcijos reikšmę ties 0 sulygink su riba
$f(0)=1/2$.
Uždavinys 7.18
Parink f(0), kad $f(x)=\frac{- \log{\left(1 - x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}}{x}$ būtų tolydi ties x=0.
Metodo priminimas
Funkcijos reikšmę ties 0 sulygink su riba
$f(0)=2$.
Uždavinys 7.19
Parink f(0), kad $f(x)=x^{2} \sin{\left(1 \frac{1}{x} \right)}$ būtų tolydi ties x=0.
Metodo priminimas
Funkcijos reikšmę ties 0 sulygink su riba
$f(0)=0$.
Uždavinys 7.20
Parink f(0), kad $f(x)=\left(x + 1\right)^{1 \frac{1}{x}}$ būtų tolydi ties x=0.
Metodo priminimas
Funkcijos reikšmę ties 0 sulygink su riba
$f(0)=e$.
Uždavinys 7.21
Parink f(0), kad $f(x)=\frac{\log{\left(1 - 3 x \right)}}{x}$ būtų tolydi ties x=0.
Metodo priminimas
Funkcijos reikšmę ties 0 sulygink su riba
$f(0)=-3$.
Uždavinys 7.22
Parink f(0), kad $f(x)=\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{\left(x + 1\right)^{1 \cdot \frac{1}{3}} - 1}$ būtų tolydi ties x=0.
Metodo priminimas
Funkcijos reikšmę ties 0 sulygink su riba
$f(0)=3/2$.
Uždavinys 7.23
Parink f(0), kad $f(x)=\frac{\left(2 x + 1\right)^{1 \cdot \frac{1}{5}} - 1}{\sin{\left(x \right)}}$ būtų tolydi ties x=0.
Metodo priminimas
Funkcijos reikšmę ties 0 sulygink su riba
$f(0)=2/5$.
Uždavinys 7.24
Parink f(0), kad $f(x)=\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 \tan{\left(x \right)}}$ būtų tolydi ties x=0.
Metodo priminimas
Funkcijos reikšmę ties 0 sulygink su riba
$f(0)=1/2$.
Uždavinys 1.1
Rask trūkius ir jų rūšį: $f(x)=1 \frac{1}{x^{2} - 9}$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
x=-3,3: antros rūšies trūkiai
Uždavinys 1.2
Rask trūkius ir jų rūšį: $f(x)=\frac{2 x + 1}{x^{2} + 3 x - 10}$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
x=-5,2: antros rūšies trūkiai
Uždavinys 1.3
Rask trūkius ir jų rūšį: $f(x)=\frac{\left|{3 x - 6}\right|}{3 x - 6}$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
x=2: pirmos rūšies trūkis, šuolis 2
Uždavinys 1.4
Rask trūkius ir jų rūšį: $f(x)=\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{x - 2}$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
x=2: pašalinamas trūkis, riba 1
Uždavinys 1.5
Rask trūkius ir jų rūšį: $f(x)=2^{1 \frac{1}{x - 3}}$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
x=3: antros rūšies trūkis
Uždavinys 1.6
Rask trūkius ir jų rūšį: $f(x)=\frac{3 x - 5}{x^{2} + 2 x + 10}$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
Tolydi visoje R
Uždavinys 1.7
Rask trūkius ir jų rūšį: $f(x)=\operatorname{acot}{\left(1 \frac{1}{x} \right)}$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
x=0: pirmos rūšies trūkis, šuolio modulis π
Uždavinys 1.8
Rask trūkius ir jų rūšį: $f(x)=\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{x}$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
x=0: pašalinamas trūkis (riba 2); srities kraštuose ±1 begalinės ribos
Uždavinys 1.9
Rask trūkius ir jų rūšį: $f(x)=\frac{x}{\left|{x - 3}\right|}$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
x=3: antros rūšies trūkis
Uždavinys 1.10
Rask trūkius ir jų rūšį: $f(x)=1 - \left(1 - x\right) \sin{\left(1 \frac{1}{1 - x} \right)}$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
x=1: pašalinamas trūkis, riba 1
Uždavinys 2.1
Rask asimptotes: $f(x)=1 \frac{1}{x^{2} - x}$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
Vertikalios x=0, x=1; horizontali y=0
Uždavinys 2.2
Rask asimptotes: $f(x)=\frac{x^{3} - 4 x}{x^{2} - 1}$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
Vertikalios x=±1; pasviroji y=x
Uždavinys 2.3
Rask asimptotes: $f(x)=\log{\left(2 + 1 \frac{1}{x} \right)}$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
Vertikalios x=0 ir x=-1/2 (iš srities pusės); horizontali y=ln 2
Uždavinys 2.4
Rask asimptotes: $f(x)=\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 1}{x^{3}}$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
Vertikali x=0; horizontali y=1
Uždavinys 2.5
Rask asimptotes: $f(x)=4^{1 \frac{1}{1 - x}} + 1$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
Vertikali x=1; horizontali y=2
Uždavinys 2.6
Rask asimptotes: $f(x)=\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4}$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
Vertikalios x=±2; horizontali y=1
Uždavinys 2.7
Rask asimptotes: $f(x)=\frac{x^{3}}{x^{3} + 1}$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
Vertikali x=-1; horizontali y=1
Uždavinys 2.8
Rask asimptotes: $f(x)=\frac{2 x^{2} - 9}{x + 2}$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
Vertikali x=-2; pasviroji y=2x-4
Uždavinys 2.9
Rask asimptotes: $f(x)=- 3^{1 \frac{1}{x^{2} - 9}}$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
Vertikalios x=±3; horizontali y=-1
Uždavinys 2.10
Rask asimptotes: $f(x)=\frac{x^{4} + x^{2}}{x^{4} + 1}$.
Metodo priminimas
Vienpusės ribos; pasviroji y=kx+b, kur k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx)
Horizontali y=1; vertikalių nėra
Uždavinys 7.7
Rask trūkio taškus ir juos ištirk: $f(x)=\left\lfloor{x}\right\rfloor$.
Metodo priminimas
Funkcijos sritis ir vienpusės ribos
Pirmos rūšies trūkiai visuose sveikuosiuose taškuose, šuolis 1.
Uždavinys 7.8
Rask trūkio taškus ir juos ištirk: $f(x)=\frac{\left|{3 x - 5}\right|}{3 x - 5}$.
Metodo priminimas
Funkcijos sritis ir vienpusės ribos
Ties x=5/3 vienpusės ribos −1 ir 1, šuolis 2.
Uždavinys 7.9
Rask trūkio taškus ir juos ištirk: $f(x)=1 - x \sin{\left(1 \frac{1}{x} \right)}$.
Metodo priminimas
Funkcijos sritis ir vienpusės ribos
Ties x=0 pašalinamas trūkis, riba 1.
Uždavinys 7.10
Rask trūkio taškus ir juos ištirk: $f(x)=3^{\frac{x}{4 - x^{2}}}$.
Metodo priminimas
Funkcijos sritis ir vienpusės ribos
Antros rūšies trūkiai x=−2 ir x=2.
Uždavinys 7.11
Rask trūkio taškus ir juos ištirk: $f(x)=\frac{3^{1 \frac{1}{x - 2}} - 1}{3^{1 \frac{1}{x - 2}} + 1}$.
Metodo priminimas
Funkcijos sritis ir vienpusės ribos
Ties x=2 vienpusės ribos −1 ir 1, šuolis 2.
Uždavinys 7.12
Rask trūkio taškus ir juos ištirk: $f(x)=\frac{\left|{x + 2}\right|}{\operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}}$.
Metodo priminimas
Funkcijos sritis ir vienpusės ribos
Ties x=−2 vienpusės ribos −1 ir 1, šuolis 2.
Uždavinys 7.13
Rask trūkio taškus ir juos ištirk: $f(x)=\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{x}$.
Metodo priminimas
Funkcijos sritis ir vienpusės ribos
Ties x=0 pašalinamas trūkis, riba 2. Srities kraštuose x=±1 – begalinės ribos.
Uždavinys 7.14
Rask trūkio taškus ir juos ištirk: $f(x)=\frac{- \frac{1}{x + 1} + 1 \frac{1}{x}}{1 \frac{1}{x - 1} - 1 \frac{1}{x}}$.
Metodo priminimas
Funkcijos sritis ir vienpusės ribos
Ties x=0 ir x=1 pašalinami trūkiai, ribos −1 ir 0. Ties x=−1 – begalinis trūkis.
Uždavinys 7.16
Ištirk $f(x)=x^2$ kai $x\le1$ ir $f(x)=x^3$ kai $x>1$ tolydumą.
Metodo priminimas
Pasirink tos temos konspekte pateiktą būdą. Pirmiausia nustatyk formulės apibrėžimo sritį.
Ties 1 abi ribos ir reikšmė lygios 1. Funkcija tolydi visoje R.
Uždavinys 1.3.3-1a
Naudodamas atvirkštinės funkcijos formulę įrodyk $(\operatorname{acot}{\left(x \right)})'$.
Metodo priminimas
(f⁻¹)′ = 1/f′. Atsižvelk į pasirinktos atvirkštinės šakos sritį.
$- \frac{1}{x^{2} + 1}$.
Uždavinys 1.3.3-1b
Naudodamas atvirkštinės funkcijos formulę įrodyk $(\operatorname{asin}{\left(x \right)})'$.
Metodo priminimas
(f⁻¹)′ = 1/f′. Atsižvelk į pasirinktos atvirkštinės šakos sritį.
$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.
Uždavinys 1.3.3-1c
Naudodamas atvirkštinės funkcijos formulę įrodyk $(\operatorname{acos}{\left(x \right)})'$.
Metodo priminimas
(f⁻¹)′ = 1/f′. Atsižvelk į pasirinktos atvirkštinės šakos sritį.
$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.
Uždavinys 1.3.3-3a
Nežiūrėdamas į lentelę apskaičiuok $(\operatorname{asec}{\left(x \right)})'$.
Metodo priminimas
Atvirkštinės funkcijos išvestinė
$1/(|x|\sqrt{x^2-1})$, kai $|x|>1$.
Uždavinys 1.3.3-3b
Nežiūrėdamas į lentelę apskaičiuok $(\operatorname{acsc}{\left(x \right)})'$.
Metodo priminimas
Atvirkštinės funkcijos išvestinė
$-1/(|x|\sqrt{x^2-1})$, kai $|x|>1$.
Uždavinys 1.3.3-4a
Rask intervalus, kuriuose $y=- e^{2 x} + 4 e^{x}$ turi tolydžią atvirkštinę funkciją. Nurodyk jos sritį ir x′(y); jei įmanoma, išreikšk x(y).
Metodo priminimas
Pastovus f′ ženklas užtikrina griežtą monotoniškumą; x′(y)=1/f′(x(y)).
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 1.3.3-4b
Rask intervalus, kuriuose $y=\frac{x^{2}}{x - 4}$ turi tolydžią atvirkštinę funkciją. Nurodyk jos sritį ir x′(y); jei įmanoma, išreikšk x(y).
Metodo priminimas
Pastovus f′ ženklas užtikrina griežtą monotoniškumą; x′(y)=1/f′(x(y)).
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 1.3.3-4c
Rask intervalus, kuriuose $y=\tan{\left(x \right)} + 9 \cot{\left(x \right)}$ turi tolydžią atvirkštinę funkciją. Nurodyk jos sritį ir x′(y); jei įmanoma, išreikšk x(y).
Metodo priminimas
Pastovus f′ ženklas užtikrina griežtą monotoniškumą; x′(y)=1/f′(x(y)).
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 1.3.3-4d
Rask intervalus, kuriuose $y=x e^{x}$ turi tolydžią atvirkštinę funkciją. Nurodyk jos sritį ir x′(y); jei įmanoma, išreikšk x(y).
Metodo priminimas
Pastovus f′ ženklas užtikrina griežtą monotoniškumą; x′(y)=1/f′(x(y)).
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 1.3.3-4e
Rask intervalus, kuriuose $y=x - 2 \sin{\left(x \right)}$ turi tolydžią atvirkštinę funkciją. Nurodyk jos sritį ir x′(y); jei įmanoma, išreikšk x(y).
Metodo priminimas
Pastovus f′ ženklas užtikrina griežtą monotoniškumą; x′(y)=1/f′(x(y)).
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 1.3.3-4f
Rask intervalus, kuriuose $y=x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ turi tolydžią atvirkštinę funkciją. Nurodyk jos sritį ir x′(y); jei įmanoma, išreikšk x(y).
Metodo priminimas
Pastovus f′ ženklas užtikrina griežtą monotoniškumą; x′(y)=1/f′(x(y)).
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 1.3.3-4g
Rask intervalus, kuriuose $y=7 x - e^{x}$ turi tolydžią atvirkštinę funkciją. Nurodyk jos sritį ir x′(y); jei įmanoma, išreikšk x(y).
Metodo priminimas
Pastovus f′ ženklas užtikrina griežtą monotoniškumą; x′(y)=1/f′(x(y)).
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 1.3.3-4h
Rask intervalus, kuriuose $y=- x^{4} + 16 x^{2}$ turi tolydžią atvirkštinę funkciją. Nurodyk jos sritį ir x′(y); jei įmanoma, išreikšk x(y).
Metodo priminimas
Pastovus f′ ženklas užtikrina griežtą monotoniškumą; x′(y)=1/f′(x(y)).
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 1.3.3-4i
Rask intervalus, kuriuose $y=x^{2} - 10 \log{\left(x \right)}$ turi tolydžią atvirkštinę funkciją. Nurodyk jos sritį ir x′(y); jei įmanoma, išreikšk x(y).
Metodo priminimas
Pastovus f′ ženklas užtikrina griežtą monotoniškumą; x′(y)=1/f′(x(y)).
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 3.4.1-a
Rask $f(x)=\frac{1}{x + 4}$ Teiloro polinomą, kai $n=3$, $c=-1$, ir įvertink liekaną intervale $I=[-1,5;-0,5]$.
Metodo priminimas
Teiloro formulė ir Lagranžo liekanos įvertis
$T_3(x)=- \frac{x}{9} - \frac{\left(x + 1\right)^{3}}{81} + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{27} + \frac{2}{9}$. Liekana $|R_n(x)|\le M|x-c|^{n+1}/(n+1)!$, kur M yra didžiausia $|f^{(n+1)}|$ reikšmė nurodytame intervale.
Uždavinys 3.4.1-b
Rask $f(x)=\cos{\left(x \right)}$ Teiloro polinomą, kai $n=4$, $c=\frac{\pi}{4}$, ir įvertink liekaną intervale $I=[0;\pi/2]$.
Metodo priminimas
Teiloro formulė ir Lagranžo liekanos įvertis
$T_4(x)=\frac{\sqrt{2} \left(x - \frac{\pi}{4}\right)^{4}}{48} + \frac{\sqrt{2} \left(x - \frac{\pi}{4}\right)^{3}}{12} - \frac{\sqrt{2} \left(x - \frac{\pi}{4}\right)^{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} \left(x - \frac{\pi}{4}\right)}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$. Liekana $|R_n(x)|\le M|x-c|^{n+1}/(n+1)!$, kur M yra didžiausia $|f^{(n+1)}|$ reikšmė nurodytame intervale.
Uždavinys 3.4.1-c
Rask $f(x)=\log{\left(x + 3 \right)}$ Teiloro polinomą, kai $n=3$, $c=0$, ir įvertink liekaną intervale $I=[-1;1]$.
Metodo priminimas
Teiloro formulė ir Lagranžo liekanos įvertis
$T_3(x)=\frac{x^{3}}{81} - \frac{x^{2}}{18} + \frac{x}{3} + \log{\left(3 \right)}$. Liekana $|R_n(x)|\le M|x-c|^{n+1}/(n+1)!$, kur M yra didžiausia $|f^{(n+1)}|$ reikšmė nurodytame intervale.
Uždavinys 3.4.1-d
Rask $f(x)=\sqrt{2 x - 1}$ Teiloro polinomą, kai $n=2$, $c=5$, ir įvertink liekaną intervale $I=[4,5;5,5]$.
Metodo priminimas
Teiloro formulė ir Lagranžo liekanos įvertis
$T_2(x)=\frac{x}{3} - \frac{\left(x - 5\right)^{2}}{54} + \frac{4}{3}$. Liekana $|R_n(x)|\le M|x-c|^{n+1}/(n+1)!$, kur M yra didžiausia $|f^{(n+1)}|$ reikšmė nurodytame intervale.
Uždavinys 3.4.1-e
Rask $f(x)=x \operatorname{atan}{\left(x \right)}$ Teiloro polinomą, kai $n=2$, $c=\frac{\pi}{6}$, ir įvertink liekaną intervale $I=[0;\pi/3]$.
Metodo priminimas
Teiloro formulė ir Lagranžo liekanos įvertis
$T_2(x)=\frac{\left(x - \frac{\pi}{6}\right)^{2} \left(- \frac{\pi^{2}}{36 \left(\frac{\pi^{2}}{36} + 1\right)} + 1\right)}{\frac{\pi^{2}}{36} + 1} + \left(x - \frac{\pi}{6}\right) \left(\frac{\pi}{6 \left(\frac{\pi^{2}}{36} + 1\right)} + \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{6} \right)}\right) + \frac{\pi \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{6} \right)}}{6}$. Liekana $|R_n(x)|\le M|x-c|^{n+1}/(n+1)!$, kur M yra didžiausia $|f^{(n+1)}|$ reikšmė nurodytame intervale.
Uždavinys 5.1.4-1a
Rask apskritimo $x^2+y^2+2x=6$ liestinę ir normalę nurodytame taške $M(-1;3)$.
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Taškas M(−1;3) nepriklauso nurodytam apskritimui: 1+9−2=8 ≠ 6. Ties šiuo tašku apskritimo liestinės ir normalės nėra. Sąlygoje yra neatitikimas.
Uždavinys 5.1.4-1b
Rask parametrinės kreivės $x=4t-t^2$, $y=3t^2-t^3$ liestinę ir normalę ties $t=-2$.
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-1c
Rask $(4-x)y^2=x^3$ liestinę ir normalę ties $M(2;2)$.
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-1d
Rask $x=(2t-1)/t^2$, $y=(3t^2-1)/t^3$ liestinę ir normalę ties $M(1;2)$.
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-1e
Rask $xy=e^y$ liestinę ir normalę ties $M(e;1)$.
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-1f
Rask $x^2+2xy-3y^2=0$ liestinę ir normalę ties $M(1;1)$.
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-1g
Rask $xy+\sin x=1$ liestinę ir normalę ties $M(\pi/2;0)$.
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-1h
Rask $x^2-xy+y^2=9$ liestines ir normales sankirtose su Ox.
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-2a
Kuriuose taškuose $y=2x^3-3x^2-12x+7$ liestinė lygiagreti Ox?
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-2b
Kuriuose taškuose $y=(3-x^2)e^x$ liestinė lygiagreti Ox?
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-2c
Kuriuose taškuose $y=\cos2x-5\cos x$ liestinė lygiagreti Ox?
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-2d
Kuriuose taškuose $x^2+2y^2+4x-4y=0$ liestinė lygiagreti Ox?
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-2e
Kuriuose taškuose $x=t^3/(1+t^2)$, $y=(t^3-2t^2)/(1+t^2)$ liestinė lygiagreti Ox?
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-2f
Kuriuose taškuose $y^2=x^3-27x+90$ liestinė lygiagreti Ox?
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-3a
Kuriuose taškuose $y=x^3-3x^2-8x-10$ liestinė su teigiama Ox kryptimi sudaro 45° kampą?
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-3b
Kuriuose taškuose $x=t^2-2\ln t$, $y=t^2-2t$ liestinė su Ox sudaro 45° kampą?
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-3c
Kuriuose taškuose $x^3+y^3=3xy$ liestinė su Ox sudaro 45° kampą?
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-3d
Kuriuose cikloidės $x=t-\sin t$, $y=1-\cos t$ taškuose liestinė su Ox sudaro 45° kampą?
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-4a
Kokiu kampu Ox kerta $y=\sin3x$?
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-4b
Kokiu kampu Ox kerta $y=4-e^x$?
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-4c
Kokiu kampu Ox kerta $x=3t/(t^3+1)$, $y=3t^2/(t^3+1)$?
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.1.4-4d
Kokiu kampu Ox kerta $x^2+y^2+2y=9$?
Metodo priminimas
Pirma patikrink, ar taškas priklauso kreivei. Tada skaičiuok y′ ir taikyk y−y₀=y′(x₀)(x−x₀). Normalės nuolydis −1/y′, kai y′ ≠ 0.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.3.1-1a
Rask kampą tarp kreivių jų sankirtos taškuose: $y=x^2$ ir $y=2x^2-1$.
Metodo priminimas
Rask sankirtas, abiejų liestinių nuolydžius m₁, m₂; θ=arctan |(m₁−m₂)/(1+m₁m₂)|. Vertikalią liestinę nagrinėk atskirai.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.3.1-1b
Rask kampą tarp kreivių jų sankirtos taškuose: $x^2+y^2=5$ ir $y^2=4x$.
Metodo priminimas
Rask sankirtas, abiejų liestinių nuolydžius m₁, m₂; θ=arctan |(m₁−m₂)/(1+m₁m₂)|. Vertikalią liestinę nagrinėk atskirai.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.3.1-1c
Rask kampą tarp kreivių jų sankirtos taškuose: $y=x^2-4x-4$ ir $y=-x^2+6x-4$.
Metodo priminimas
Rask sankirtas, abiejų liestinių nuolydžius m₁, m₂; θ=arctan |(m₁−m₂)/(1+m₁m₂)|. Vertikalią liestinę nagrinėk atskirai.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.3.1-1d
Rask kampą tarp kreivių jų sankirtos taškuose: $y^2-4x=0$ ir $xy=2$.
Metodo priminimas
Rask sankirtas, abiejų liestinių nuolydžius m₁, m₂; θ=arctan |(m₁−m₂)/(1+m₁m₂)|. Vertikalią liestinę nagrinėk atskirai.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.3.1-1e
Rask kampą tarp kreivių jų sankirtos taškuose: $y=x^2$ ir $x=y^2$.
Metodo priminimas
Rask sankirtas, abiejų liestinių nuolydžius m₁, m₂; θ=arctan |(m₁−m₂)/(1+m₁m₂)|. Vertikalią liestinę nagrinėk atskirai.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.3.1-1f
Rask kampą tarp kreivių jų sankirtos taškuose: $y^2=32x$ ir $2y^2=x^3$.
Metodo priminimas
Rask sankirtas, abiejų liestinių nuolydžius m₁, m₂; θ=arctan |(m₁−m₂)/(1+m₁m₂)|. Vertikalią liestinę nagrinėk atskirai.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.3.1-1g
Rask kampą tarp kreivių jų sankirtos taškuose: $y=\sin x$ ir $y=\cos x$.
Metodo priminimas
Rask sankirtas, abiejų liestinių nuolydžius m₁, m₂; θ=arctan |(m₁−m₂)/(1+m₁m₂)|. Vertikalią liestinę nagrinėk atskirai.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.3.1-1h
Rask kampą tarp kreivių jų sankirtos taškuose: $y=e^{x/2}$ ir $x=2$.
Metodo priminimas
Rask sankirtas, abiejų liestinių nuolydžius m₁, m₂; θ=arctan |(m₁−m₂)/(1+m₁m₂)|. Vertikalią liestinę nagrinėk atskirai.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.3.1-1i
Rask kampą tarp kreivių jų sankirtos taškuose: $y=x+1$ ir $x^3+y^3-xy=7$.
Metodo priminimas
Rask sankirtas, abiejų liestinių nuolydžius m₁, m₂; θ=arctan |(m₁−m₂)/(1+m₁m₂)|. Vertikalią liestinę nagrinėk atskirai.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.3.1-2a
Įrodyk, kad sankirtose kreivės statmenos: $x^2-y^2=a$ ir $xy=b$.
Metodo priminimas
Kai abi liestinės turi baigtinius nuolydžius, tikrink m₁m₂=−1; horizontalią ir vertikalią liestines nagrinėk atskirai.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.3.1-2b
Įrodyk, kad sankirtose kreivės statmenos: $y^2=4a(a-x)$ ir $y^2=4b(b+x)$.
Metodo priminimas
Kai abi liestinės turi baigtinius nuolydžius, tikrink m₁m₂=−1; horizontalią ir vertikalią liestines nagrinėk atskirai.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 5.3.1-2c
Įrodyk, kad sankirtose kreivės statmenos: $ax^2+by^2=1$ ir $cx^2+dy^2=1$, kai $a,b,c,d\ge0$ ir $1/a+1/d=1/b+1/c$.
Metodo priminimas
Kai abi liestinės turi baigtinius nuolydžius, tikrink m₁m₂=−1; horizontalią ir vertikalią liestines nagrinėk atskirai.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.1.2-a
Ištirk kritinius taškus, monotoniškumo intervalus ir ekstremumus: $f(x)=x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.1.2-b
Ištirk kritinius taškus, monotoniškumo intervalus ir ekstremumus: $f(x)=\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x - 1}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.1.2-c
Ištirk kritinius taškus, monotoniškumo intervalus ir ekstremumus: $f(x)=8 x - e^{5 x}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.1.2-d
Ištirk kritinius taškus, monotoniškumo intervalus ir ekstremumus: $f(x)=\frac{\sin{\left(x \right)}}{2 - \cos{\left(x \right)}}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.1.2-e
Ištirk kritinius taškus, monotoniškumo intervalus ir ekstremumus: $f(x)=\sqrt{x} \log{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.1.2-f
Ištirk kritinius taškus, monotoniškumo intervalus ir ekstremumus: $f(x)=x^{3} \left(1 - x\right)^{2}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.1.2-g
Ištirk kritinius taškus, monotoniškumo intervalus ir ekstremumus: $f(x)=e^{x} \sin{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.1.2-h
Ištirk kritinius taškus, monotoniškumo intervalus ir ekstremumus: $f(x)=3 x - \tan{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.1.2-i
Ištirk kritinius taškus, monotoniškumo intervalus ir ekstremumus: $f(x)=\left(1 - x\right) e^{- x^{2}}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.1.2-j
Ištirk kritinius taškus, monotoniškumo intervalus ir ekstremumus: $f(x)=\log{\left(x \right)} - 3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.2.2-a
Nustatyk pastovaus iškilumo intervalus ir vingio taškus: $f(x)=x^{3} - 3 x^{2}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.2.2-b
Nustatyk pastovaus iškilumo intervalus ir vingio taškus: $f(x)=x^{3} e^{- x}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.2.2-c
Nustatyk pastovaus iškilumo intervalus ir vingio taškus: $f(x)=x^{2} + \cos{\left(2 x \right)}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.2.2-d
Nustatyk pastovaus iškilumo intervalus ir vingio taškus: $f(x)=\log{\left(x^{2} + 4 \right)}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.2.2-e
Nustatyk pastovaus iškilumo intervalus ir vingio taškus: $f(x)=\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{3}}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.2.2-f
Nustatyk pastovaus iškilumo intervalus ir vingio taškus: $f(x)=x^{x}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.3.2-a
Ištirk pagal konspekto 8 dalių planą ir nubrėžk grafiką: $f(x)=x^{3} + 3 x$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.3.2-b
Ištirk pagal konspekto 8 dalių planą ir nubrėžk grafiką: $f(x)=\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)^{2}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.3.2-c
Ištirk pagal konspekto 8 dalių planą ir nubrėžk grafiką: $f(x)=\frac{x^{4}}{\left(x + 1\right)^{3}}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.3.2-d
Ištirk pagal konspekto 8 dalių planą ir nubrėžk grafiką: $f(x)=\frac{\left(x - 1\right)^{3}}{\left(x - 2\right)^{2}}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.3.2-e
Ištirk pagal konspekto 8 dalių planą ir nubrėžk grafiką: $f(x)=\frac{x^{2} \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.3.2-f
Ištirk pagal konspekto 8 dalių planą ir nubrėžk grafiką: $f(x)=\sqrt{x} \left(x - 3\right)$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.3.2-g
Ištirk pagal konspekto 8 dalių planą ir nubrėžk grafiką: $f(x)=x + \sqrt{x^{2} - 2 x}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.3.2-h
Ištirk pagal konspekto 8 dalių planą ir nubrėžk grafiką: $f(x)=\sqrt{x^{3} - 3 x}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.3.2-i
Ištirk pagal konspekto 8 dalių planą ir nubrėžk grafiką: $f(x)=\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.3.2-j
Ištirk pagal konspekto 8 dalių planą ir nubrėžk grafiką: $f(x)=\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.3.2-k
Ištirk pagal konspekto 8 dalių planą ir nubrėžk grafiką: $f(x)=3 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.3.2-l
Ištirk pagal konspekto 8 dalių planą ir nubrėžk grafiką: $f(x)=\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.3.2-m
Ištirk pagal konspekto 8 dalių planą ir nubrėžk grafiką: $f(x)=2 x - \tan{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.3.2-n
Ištirk pagal konspekto 8 dalių planą ir nubrėžk grafiką: $f(x)=x + e^{- x}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.3.2-o
Ištirk pagal konspekto 8 dalių planą ir nubrėžk grafiką: $f(x)=x e^{- x^{2}}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.3.2-p
Ištirk pagal konspekto 8 dalių planą ir nubrėžk grafiką: $f(x)=\frac{x}{1 - e^{- x}}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.3.2-q
Ištirk pagal konspekto 8 dalių planą ir nubrėžk grafiką: $f(x)=\log{\left(- x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 6.3.2-r
Ištirk pagal konspekto 8 dalių planą ir nubrėžk grafiką: $f(x)=x \operatorname{atan}{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Sritis → ašys → ribos ir asimptotės → f′ ženklas → ekstremumai → f″ ženklas → vingiai → grafikas.
Konspekte šiam uždaviniui galutinis atsakymas nepateiktas. Patikrink visas sąlygoje prašomas dalis pagal nurodytą metodą.
Uždavinys 2.7-a
Rask vertikaliąsias ir pasvirąsias (horizontaliąsias) asimptotes: $f(x)=\frac{2 x^{2} - 5 x - 12}{5 x^{2} - 23 x + 12}$.
Metodo priminimas
Atskirk +∞ ir −∞; k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx).
Vertikali x=3/5; horizontali y=2/5. Ties x=4 trūkis pašalinamas.
Uždavinys 2.7-b
Rask vertikaliąsias ir pasvirąsias (horizontaliąsias) asimptotes: $f(x)=\frac{\left(3 x - 4\right)^{2}}{2 x + 5}$.
Metodo priminimas
Atskirk +∞ ir −∞; k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx).
$x=-5/2$, $y=9x/2-93/4$.
Uždavinys 2.7-c
Rask vertikaliąsias ir pasvirąsias (horizontaliąsias) asimptotes: $f(x)=\frac{5 x^{3} - 2 x + 1}{x^{2} + 3 x}$.
Metodo priminimas
Atskirk +∞ ir −∞; k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx).
$x=0$, $x=-3$, $y=5x-15$.
Uždavinys 2.7-d
Rask vertikaliąsias ir pasvirąsias (horizontaliąsias) asimptotes: $f(x)=\sqrt{4 x^{2} + x}$.
Metodo priminimas
Atskirk +∞ ir −∞; k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx).
Kai $x\to+\infty$: $y=2x+1/4$; kai $x\to-\infty$: $y=-2x-1/4$. Vertikalių nėra.
Uždavinys 2.7-e
Rask vertikaliąsias ir pasvirąsias (horizontaliąsias) asimptotes: $f(x)=\sqrt{3 x^{2} + 7 x + 2}$.
Metodo priminimas
Atskirk +∞ ir −∞; k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx).
Kai $x\to+\infty$: $y=\sqrt3x+7/(2\sqrt3)$; kai $x\to-\infty$: $y=-\sqrt3x-7/(2\sqrt3)$. Vertikalių nėra.
Uždavinys 2.7-f
Rask vertikaliąsias ir pasvirąsias (horizontaliąsias) asimptotes: $f(x)=\log{\left(5 e^{6 x} + 4 \right)}$.
Metodo priminimas
Atskirk +∞ ir −∞; k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx).
Kai $x\to+\infty$: $y=6x+\ln5$; kai $x\to-\infty$: $y=\ln4$.
Uždavinys 2.7-g
Rask vertikaliąsias ir pasvirąsias (horizontaliąsias) asimptotes: $f(x)=- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}$.
Metodo priminimas
Atskirk +∞ ir −∞; k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx).
Kai $x\to+\infty$: $y=5/2$; kai $x\to-\infty$: $y=-5/2$.
Uždavinys 2.7-h
Rask vertikaliąsias ir pasvirąsias (horizontaliąsias) asimptotes: $f(x)=\operatorname{atan}{\left(x \right)}$.
Metodo priminimas
Atskirk +∞ ir −∞; k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx).
$y=\pi/2$ ties $+\infty$, $y=-\pi/2$ ties $-\infty$.
Uždavinys 2.7-i
Rask vertikaliąsias ir pasvirąsias (horizontaliąsias) asimptotes: $f(x)=\sqrt[3]{27 x^{3} - 4 x^{2}}$.
Metodo priminimas
Atskirk +∞ ir −∞; k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx).
$y=3x-4/27$ ties abiem begalybėmis; vertikalių nėra.
Uždavinys 2.7-j
Rask vertikaliąsias ir pasvirąsias (horizontaliąsias) asimptotes: $f(x)=\frac{x e^{x}}{e^{x} - 1}$.
Metodo priminimas
Atskirk +∞ ir −∞; k=lim f(x)/x, b=lim(f(x)−kx).
$y=x$ ties $+\infty$, $y=0$ ties $-\infty$. Ties x=0 pašalinamas trūkis, ne asimptotė.
Uždavinys 3.1
Rask vienpuses ribas trūkio taškuose, asimptotes ir nubrėžk scheminį brėžinį: $f(x)=9^{\frac{1}{x + 3}}$.
Metodo priminimas
Pirma apibrėžimo sritis; skaičiuok tik iš sričiai priklausančių pusių.
$x=-3$: kairėje $\infty$, dešinėje $\infty$. Ties $\infty$ asimptotė $y=1$. Ties $-\infty$ asimptotė $y=1$.
Uždavinys 3.2
Rask vienpuses ribas trūkio taškuose, asimptotes ir nubrėžk scheminį brėžinį: $f(x)=\frac{x^{2} + 1}{x + 1}$.
Metodo priminimas
Pirma apibrėžimo sritis; skaičiuok tik iš sričiai priklausančių pusių.
$x=-1$: kairėje $-\infty$, dešinėje $\infty$. Ties $\infty$ asimptotė $y=x - 1$. Ties $-\infty$ asimptotė $y=x - 1$.
Uždavinys 3.3
Rask vienpuses ribas trūkio taškuose, asimptotes ir nubrėžk scheminį brėžinį: $f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x - 3}}$.
Metodo priminimas
Pirma apibrėžimo sritis; skaičiuok tik iš sričiai priklausančių pusių.
$x=3$: kairėje $0$, dešinėje $0$. Ties $\infty$ asimptotė $y=1$. Ties $-\infty$ asimptotė $y=1$.
Uždavinys 3.4
Rask vienpuses ribas trūkio taškuose, asimptotes ir nubrėžk scheminį brėžinį: $f(x)=x + \frac{1}{x}$.
Metodo priminimas
Pirma apibrėžimo sritis; skaičiuok tik iš sričiai priklausančių pusių.
$x=0$: kairėje $-\infty$, dešinėje $\infty$. Ties $\infty$ asimptotė $y=x$. Ties $-\infty$ asimptotė $y=x$.
Uždavinys 3.5
Rask vienpuses ribas trūkio taškuose, asimptotes ir nubrėžk scheminį brėžinį: $f(x)=3^{\frac{1}{4 - x}} + 2$.
Metodo priminimas
Pirma apibrėžimo sritis; skaičiuok tik iš sričiai priklausančių pusių.
$x=4$: kairėje $\infty$, dešinėje $2$. Ties $\infty$ asimptotė $y=3$. Ties $-\infty$ asimptotė $y=3$.
Uždavinys 3.6
Rask vienpuses ribas trūkio taškuose, asimptotes ir nubrėžk scheminį brėžinį: $f(x)=\frac{x^{3} - 4 x}{x^{2} - 1}$.
Metodo priminimas
Pirma apibrėžimo sritis; skaičiuok tik iš sričiai priklausančių pusių.
$x=-1$: kairėje $\infty$, dešinėje $-\infty$. $x=1$: kairėje $\infty$, dešinėje $-\infty$. Ties $\infty$ asimptotė $y=x$. Ties $-\infty$ asimptotė $y=x$.
Uždavinys 3.7
Rask vienpuses ribas trūkio taškuose, asimptotes ir nubrėžk scheminį brėžinį: $f(x)=3^{\frac{x}{4 - x^{2}}}$.
Metodo priminimas
Pirma apibrėžimo sritis; skaičiuok tik iš sričiai priklausančių pusių.
$x=-2$: kairėje $0$, dešinėje $0$. $x=2$: kairėje $0$, dešinėje $0$. Ties $\infty$ asimptotė $y=1$. Ties $-\infty$ asimptotė $y=1$.
Uždavinys 3.8
Rask vienpuses ribas trūkio taškuose, asimptotes ir nubrėžk scheminį brėžinį: $f(x)=\log{\left(\frac{x + 2}{x - 3} \right)}$.
Metodo priminimas
Pirma apibrėžimo sritis; skaičiuok tik iš sričiai priklausančių pusių.
$x=-2$: kairėje $-\infty$, dešinėje $-\infty$. $x=3$: kairėje $\infty$, dešinėje $\infty$. Ties $\infty$ asimptotė $y=0$. Ties $-\infty$ asimptotė $y=0$.
Uždavinys 3.9
Rask vienpuses ribas trūkio taškuose, asimptotes ir nubrėžk scheminį brėžinį: $f(x)=- 7^{\frac{1}{x + 4}}$.
Metodo priminimas
Pirma apibrėžimo sritis; skaičiuok tik iš sričiai priklausančių pusių.
$x=-4$: kairėje $0$, dešinėje $-\infty$. Ties $\infty$ asimptotė $y=-1$. Ties $-\infty$ asimptotė $y=-1$.
Uždavinys 3.10
Rask vienpuses ribas trūkio taškuose, asimptotes ir nubrėžk scheminį brėžinį: $f(x)=\frac{x}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}}$.
Metodo priminimas
Pirma apibrėžimo sritis; skaičiuok tik iš sričiai priklausančių pusių.
$x=-1$: kairėje $-\infty$, dešinėje $\infty$. $x=0$: kairėje $0$, dešinėje $0$. $x=1$: kairėje $-\infty$, dešinėje $\infty$.
Uždavinys 3.11
Rask vienpuses ribas trūkio taškuose, asimptotes ir nubrėžk scheminį brėžinį: $f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2 - x}}$.
Metodo priminimas
Pirma apibrėžimo sritis; skaičiuok tik iš sričiai priklausančių pusių.
$x=2$: kairėje $\infty$, dešinėje $\infty$. Ties $\infty$ asimptotė $y=1$. Ties $-\infty$ asimptotė $y=1$.
Uždavinys 3.12
Rask vienpuses ribas trūkio taškuose, asimptotes ir nubrėžk scheminį brėžinį: $f(x)=\log{\left(2 + \frac{1}{x} \right)}$.
Metodo priminimas
Pirma apibrėžimo sritis; skaičiuok tik iš sričiai priklausančių pusių.
$x=- \frac{1}{2}$: kairėje $-\infty$, dešinėje $-\infty$. $x=0$: kairėje $\infty$, dešinėje $\infty$. Ties $\infty$ asimptotė $y=\log{\left(2 \right)}$. Ties $-\infty$ asimptotė $y=\log{\left(2 \right)}$.
Uždavinys 3.13
Rask vienpuses ribas trūkio taškuose, asimptotes ir nubrėžk scheminį brėžinį: $f(x)=1 - 3^{\frac{x}{x - 1}}$.
Metodo priminimas
Pirma apibrėžimo sritis; skaičiuok tik iš sričiai priklausančių pusių.
$x=1$: kairėje $1$, dešinėje $-\infty$. Ties $\infty$ asimptotė $y=-2$. Ties $-\infty$ asimptotė $y=-2$.
Uždavinys 3.14
Rask vienpuses ribas trūkio taškuose, asimptotes ir nubrėžk scheminį brėžinį: $f(x)=\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 4}$.
Metodo priminimas
Pirma apibrėžimo sritis; skaičiuok tik iš sričiai priklausančių pusių.
$x=-2$: kairėje $-\infty$, dešinėje $\infty$. $x=2$: kairėje $-\infty$, dešinėje $\infty$. Ties $\infty$ asimptotė $y=x$. Ties $-\infty$ asimptotė $y=x$.
Uždavinys 3.15
Rask vienpuses ribas trūkio taškuose, asimptotes ir nubrėžk scheminį brėžinį: $f(x)=\frac{x^{4}}{4 - x^{2}}$.
Metodo priminimas
Pirma apibrėžimo sritis; skaičiuok tik iš sričiai priklausančių pusių.
$x=-2$: kairėje $-\infty$, dešinėje $\infty$. $x=2$: kairėje $\infty$, dešinėje $-\infty$.
Vienodi didžiausi laipsniai
Apskaičiuok $\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3/2}+2n+1}{7n\sqrt n+4}$ be Lopitalio taisyklės.
Metodo priminimas
Iškelk didžiausią laipsnį.
Sprendimo eiga · visi žingsniai
- $n$ yra teigiamas sveikasis skaičius. Abi trupmenos dalys artėja prie $+\infty$, todėl forma $\infty/\infty$.
- $n\sqrt n=n^{3/2}$. Iškeliame šį daugiklį skaitiklyje: $n^{3/2}+2n+1=n^{3/2}(1+2/n^{1/2}+1/n^{3/2})$.
- Vardiklis $7n\sqrt n+4=n^{3/2}(7+4/n^{3/2})$.
- Kadangi $n^{3/2}>0$, trumpiname: $\frac{1+2/\sqrt n+1/n^{3/2}}{7+4/n^{3/2}}$.
- $2/\sqrt n\to0$, $1/n^{3/2}\to0$, $4/n^{3/2}\to0$.
- Vardiklio riba $7\ne0$, todėl gauname $(1+0+0)/(7+0)=1/7$.
$1/7$
Paslinkti eksponenčių rodikliai
Apskaičiuok $\lim_{n\to\infty}\frac{6^{n+1}-4^{n+2}}{3^n+6^{n-1}}$ be Lopitalio taisyklės.
Metodo priminimas
Iškelk didžiausią eksponentę ir išsaugok pastovius daugiklius.
Sprendimo eiga · visi žingsniai
- $6^{n+1}$ auga greičiau nei $4^{n+2}$, todėl skaitiklis ir vardiklis artėja prie $+\infty$: forma $\infty/\infty$.
- Išrašome $6^{n+1}=6\cdot6^n$, $4^{n+2}=16\cdot4^n$, $6^{n-1}=6^n/6$.
- Skaitiklis $6^n[6-16(4/6)^n]$, vardiklis $6^n[(3/6)^n+1/6]$.
- Trumpiname teigiamą $6^n$: lieka $\frac{6-16(2/3)^n}{(1/2)^n+1/6}$.
- Kadangi $0<2/3<1$ ir $0<1/2<1$, abu laipsniai artėja prie $0$.
- Riba $\frac{6-16\cdot0}{0+1/6}=6\cdot6=36$.
$36$
Šaknų skirtumas ir jungtinis reiškinys
Apskaičiuok $\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2+1})$ be Lopitalio taisyklės.
Metodo priminimas
Daugink iš jungtinio reiškinio.
Sprendimo eiga · visi žingsniai
- Abi šaknys artėja prie $+\infty$. Forma $\infty-\infty$; šaknų per sumą neskaidome.
- Dauginame iš $\frac{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2+1}}=1$.
- Skaitiklis pagal kvadratų skirtumo formulę lygus $(n^2+n+1)-(n^2+1)=n$.
- Gauname $\frac{n}{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2+1}}$.
- Kai $n>0$, $\sqrt{n^2+n+1}=n\sqrt{1+1/n+1/n^2}$, $\sqrt{n^2+1}=n\sqrt{1+1/n^2}$.
- Trumpiname $n$: $\frac1{\sqrt{1+1/n+1/n^2}+\sqrt{1+1/n^2}}$.
- $1/n,1/n^2\to0$. Vardiklis artėja prie $1+1=2$, taigi riba $1/2$.
$1/2$
Begalybių skirtumo ženklas
Apskaičiuok $\lim_{n\to\infty}(2n^3-n^4)$ be Lopitalio taisyklės.
Metodo priminimas
Iškelk didžiausią laipsnį ir nustatyk ženklą.
Sprendimo eiga · visi žingsniai
- Abu atimami dydžiai artėja prie $+\infty$, todėl forma $\infty-\infty$.
- Iškeliame didesnį laipsnį: $2n^3-n^4=n^4(2/n-1)$.
- $2/n\to0$, todėl skliaustas artėja prie $-1$, o $n^4\to+\infty$.
- Kai $n>4$, $2/n<1/2$, todėl $2/n-1<-1/2$.
- Vadinasi, $2n^3-n^4<-n^4/2\to-\infty$. Atsakymo ženklas neigiamas.
$-\infty$
1^∞: pagrindas mažesnis už vienetą
Apskaičiuok $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-3}{n}\right)^{n/2}$ be Lopitalio taisyklės.
Metodo priminimas
(Pagrindas − 1) × pradinis rodiklis → rodiklis virš e.
Sprendimo eiga · visi žingsniai
- Žiūrime į $\left(\frac{n-3}{n}\right)^{n/2}$. Pagrindas yra visa trupmena $\frac{n-3}{n}$, o laipsnio rodiklis yra $\frac n2$. Tai dvi atskiros dalys.
- Pagrindą padalijame po narį: $\frac{n-3}{n}=\frac nn-\frac3n=1-\frac3n$. Kai $n$ didėja, $3/n\to0$, todėl pagrindas artėja prie $1$.
- Rodiklis $n/2\to+\infty$. Taigi atpažinome $1^\infty$ formą. Kai $n>3$, pagrindas teigiamas: metodą taikyti galima.
- Iš pagrindo atimame $1$: $\left(1-\frac3n\right)-1=-\frac3n$. Vienetai panaikino vienas kitą. Minusas prie trejeto liko.
- Šį skirtumą dauginame iš PRADINIO rodiklio $n/2$: $\left(-\frac3n\right)\cdot\frac n2=\frac{-3n}{2n}=-\frac32$. $n$ sutrumpėjo, nes $n>0$.
- Sandauga jau yra pastovus skaičius $-3/2$. Vadinasi, jos riba taip pat $-3/2$. Šis skaičius bus rodiklis virš $e$.
- Atsakymas $e^{-3/2}=\frac1{e^{3/2}}\approx0{,}22313$. Ne $-3/2$: tai tik būsimas $e$ rodiklis.
- Ženklo patikra: kai $n>3$, pagrindas yra tarp $0$ ir $1$, o rodiklis teigiamas. Todėl rezultatas turi būti tarp $0$ ir $1$. $0{,}22313$ šią patikrą tenkina.
$e^{-3/2}$
1^∞: kai pagrindas yra trupmena
Apskaičiuok $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^{2-3n}$ be Lopitalio taisyklės.
Metodo priminimas
Atimk 1 iš visos trupmenos; gautą skirtumą daugink iš pradinio rodiklio.
Sprendimo eiga · visi žingsniai
- Turime $\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^{2-3n}$. Pagrindas yra $\frac{n+1}{n-1}$, pradinis rodiklis yra $2-3n$.
- Pagrindą perrašome: $n+1=(n-1)+2$, todėl $\frac{n+1}{n-1}=\frac{(n-1)+2}{n-1}=1+\frac2{n-1}$.
- Kai $n\to\infty$, $2/(n-1)\to0$, taigi pagrindas artėja prie $1$. Rodiklis $2-3n\to-\infty$. Tai tas pats metodas, tik rodiklis didėja neigiamoje pusėje. Kai $n>1$, pagrindas teigiamas.
- Atimame $1$: $\frac{n+1}{n-1}-1=\frac{n+1}{n-1}-\frac{n-1}{n-1}$. Vienetą pakeitėme tokia pačia trupmena, nes $n-1\ne0$.
- Sujungiame skaitiklius: $\frac{(n+1)-(n-1)}{n-1}=\frac{n+1-n+1}{n-1}=\frac2{n-1}$. Atkreipk dėmesį: minusas prieš skliaustus pakeitė $-1$ į $+1$.
- Dauginame iš pradinio rodiklio: $\frac2{n-1}(2-3n)=\frac{2(2-3n)}{n-1}=\frac{4-6n}{n-1}$.
- Ši trupmena dar priklauso nuo $n$, todėl randame jos ribą. Dalijame KIEKVIENĄ skaitiklio ir vardiklio narį iš $n$: $\frac{4-6n}{n-1}=\frac{4/n-6}{1-1/n}$.
- Kai $n\to\infty$, $4/n\to0$ ir $1/n\to0$. Lieka $\frac{0-6}{1-0}=-6$.
- Gautą $-6$ rašome virš $e$. Atsakymas $e^{-6}=\frac1{e^6}\approx0{,}002479$.
- Ženklo patikra: pagrindas didesnis už $1$, o rodiklis neigiamas, taigi skaičiuojame atvirkštinį teigiamo laipsnio dydį. Rezultatas turi būti tarp $0$ ir $1$.
$e^{-6}$
Trumpiname tik bendrą daugiklį
Apskaičiuok $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x^2+2x-8}$ be Lopitalio taisyklės.
Metodo priminimas
Skaidyk skaitiklį ir vardiklį daugikliais.
Sprendimo eiga · visi žingsniai
- Įstatę $x=2$ gauname $(4-4)/(4+4-8)=0/0$.
- $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
- $x^2+2x-8=(x-2)(x+4)$, nes išskleidus gauname $x^2+4x-2x-8$.
- Kai $x\ne2$ ir $x\ne-4$, pradinė trupmena lygi $\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+4)}=\frac{x+2}{x+4}$.
- Artėjant prie $2$ imame artimą aplinką, kur $x\ne-4$. Ribai nereikia reikšmės pačiame $x=2$.
- Dabar vardiklis artėja prie $6\ne0$: riba $(2+2)/(2+4)=4/6=2/3$.
$2/3$
Kodėl kosinuso riboje atsiranda pusė?
Apskaičiuok $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(3x)}{x^2}$ be Lopitalio taisyklės.
Metodo priminimas
Taikyk pusinio kampo tapatybę ir sinuso pagrindinę ribą.
Sprendimo eiga · visi žingsniai
- Skaitiklis ir vardiklis artėja prie $0$: forma $0/0$. Kampai radianais.
- Naudojame tapatybę $1-\cos(3x)=2\sin^2(3x/2)$.
- $\frac{2\sin^2(3x/2)}{x^2}=2\left(\frac{\sin(3x/2)}{3x/2}\right)^2\frac{(3x/2)^2}{x^2}$.
- Kai $x\ne0$, paskutinė trupmena lygi $9/4$. Taigi gauname $\frac92\left(\frac{\sin(3x/2)}{3x/2}\right)^2$.
- $t=3x/2\to0$, todėl $\sin t/t\to1$.
- Riba $\frac92\cdot1^2=9/2$.
$9/2$
Nykstantis logaritmas ir augantis daugiklis
Apskaičiuok $\lim_{x\to+\infty}x\ln(1+1/x)$ be Lopitalio taisyklės.
Metodo priminimas
Sandaugą paversk 0/0 ir įvesk t = 1/x.
Sprendimo eiga · visi žingsniai
- Kai $x>0$, logaritmo argumentas teigiamas. $x\to+\infty$, $\ln(1+1/x)\to0$: forma $\infty\cdot0$.
- Sandaugą užrašome kaip $\frac{\ln(1+1/x)}{1/x}$.
- Keičiame $t=1/x$; tada $t\to0^+$, $x=1/t$.
- Reiškinys tiksliai lygus $\ln(1+t)/t$.
- Taikome pagrindinę ribą $\lim_{t\to0}\ln(1+t)/t=1$.
$1$
Augantis x ir nykstantis sinusas
Apskaičiuok $\lim_{x\to+\infty}x\sin(3/x)$ be Lopitalio taisyklės.
Metodo priminimas
Sukurk sin t / t santykį.
Sprendimo eiga · visi žingsniai
- $x\to+\infty$, $\sin(3/x)\to0$: forma $\infty\cdot0$.
- $x\sin(3/x)=3\frac{\sin(3/x)}{3/x}$, nes $3/(3/x)=x$.
- Imame $t=3/x\to0^+$. Kampas $t$ matuojamas radianais.
- Gauname $3\sin t/t\to3\cdot1=3$.
$3$
Nulinis pagrindas ir nykstantis rodiklis
Apskaičiuok $\lim_{x\to0^+}x^x$ be Lopitalio taisyklės.
Metodo priminimas
Logaritmuok ir pagrįsk ln t / t ribą.
Sprendimo eiga · visi žingsniai
- Imame $x>0$, kad kintamas realusis laipsnis būtų apibrėžtas. Pagrindas $x\to0^+$ ir rodiklis $x\to0$: forma $0^0$.
- Pažymime $y=x^x>0$. Tada $\ln y=x\ln x$.
- Keičiame $t=1/x\to+\infty$, todėl $x\ln x=(1/t)\ln(1/t)=-\ln t/t$.
- Pagrindžiame augimo palyginimą be išvestinių: $s=\ln t\to+\infty$, $t=e^s$, o $e^s\ge s^2/2$. Įvertis gaunamas iš $e^s=1+s+s^2/2!+s^3/3!+\cdots$: kai $s>0$, visi nariai neneigiami, todėl suma ne mažesnė už vieną narį $s^2/2$.
- Todėl $0\le\ln t/t=s/e^s\le2/s\to0$. Pagal suspaudimą $\ln t/t\to0$.
- Vadinasi, $\ln y\to0$, o $y=e^{\ln y}\to e^0=1$.
$1$
0^0 gali duoti ir e
Apskaičiuok $\lim_{x\to0^+}x^{1/\ln x}$ be Lopitalio taisyklės.
Metodo priminimas
Logaritmuok ir sutrumpink neneulinį logaritmą.
Sprendimo eiga · visi žingsniai
- Pasirenkame $0<x<1$. Tada $\ln x<0$ ir $\ln x\ne0$, pagrindas teigiamas.
- $x\to0^+$, $\ln x\to-\infty$, todėl $1/\ln x\to0^-$: forma $0^0$.
- Pažymime $y=x^{1/\ln x}>0$ ir logaritmuojame: $\ln y=\frac1{\ln x}\ln x=1$.
- Iš čia $y=e^1=e$ kiekvienam $x$ šiame intervale.
- Pastovios išraiškos riba lygi $e$. Tai parodo, kodėl $0^0$ negalima automatiškai pakeisti vienetu.
$e$
Augantis pagrindas, rodiklis 1/x
Apskaičiuok $\lim_{x\to+\infty}x^{1/x}$ be Lopitalio taisyklės.
Metodo priminimas
Logaritmuok ir taikyk suspaudimą.
Sprendimo eiga · visi žingsniai
- Kai $x>1$, pagrindas teigiamas. $x\to+\infty$, $1/x\to0^+$: forma $\infty^0$.
- Tegu $y=x^{1/x}$. Logaritmuojame: $\ln y=(1/x)\ln x=\ln x/x$.
- Imame $t=\ln x\to+\infty$, tada $x=e^t$ ir $\ln x/x=t/e^t$.
- Kadangi $e^t\ge t^2/2$, turime $0\le t/e^t\le2/t\to0$. Čia naudojame $e^t=1+t+t^2/2!+t^3/3!+\cdots\ge t^2/2$, nes $t>0$ ir visi nariai neneigiami.
- Pagal suspaudimą $\ln y\to0$, todėl $y\to e^0=1$.
$1$
∞^0 gali duoti ir e
Apskaičiuok $\lim_{x\to+\infty}x^{1/\ln x}$ be Lopitalio taisyklės.
Metodo priminimas
Apskaičiuok rodiklio ir pagrindo logaritmo sandaugą.
Sprendimo eiga · visi žingsniai
- Imame $x>1$. Pagrindas teigiamas ir artėja prie $+\infty$.
- $\ln x\to+\infty$, todėl $1/\ln x\to0^+$: forma $\infty^0$.
- Tegu $y=x^{1/\ln x}>0$. Tada $\ln y=(1/\ln x)\ln x=1$.
- Grįžtame: $y=e$ visiems $x>1$.
- Vadinasi, riba yra $e$, nors rodiklis artėja prie nulio.
$e$
Pagal šiuos filtrus užduočių nėra. Pakeisk skyrių arba paiešką.