Ryšiai, skridiniai ir judanti atskaitos sistema

Siūlas ne tik perduoda jėgą, bet ir nustato judėjimo ryšį. Nekintamas jo ilgis duoda lygtį tarp koordinačių; diferencijuodamas gauni greičių ir pagreičių ryšius. Idealus nesvarus siūlas per nesvarų, be trinties skridinį turi vienodą įtempimą. Judamą skridinį gali laikyti dvi T jėgos, tačiau jo poslinkis nėra lygus laisvojo galo poslinkiui. Greitėjančioje sistemoje pridėk inercijos jėgą −ma₀.

Sprendimo eiga

Užrašyk siūlo ilgio lygtį → kiekvienam kūnui atskirą II dėsnį → įrašyk ryšį → išspręsk sistemą ir patikrink įtempimus.

Atvudo mašinai m₁>m₂: m₁g−T=m₁a ir T−m₂g=m₂a. Sudėjus T dingsta. Judamam skridiniui su vertikaliai žemyn teigiamomis koordinatėmis 2y₁+y₂=const → 2a₁+a₂=0. Greitėjančios plokštumos uždavinyje a₀ kryptis būtina: ji pakeičia ir efektyvų sunkį, ir atramą. Statinę būseną tikrink prieš rašydamas slydimo trintį.

Formulės ir žymėjimai

T — įtempimas; a₀ — atramos pagreitis; l — šlaito ilgis. Idealus siūlas abipus idealaus skridinio turi vienodą T.

m_{1} g - T = m_{1} a, T - m_{2} g = m_{2} a

Idealus Atvudas, m₁ leidžiasi, m₂ kyla.

a = \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{m_{1} + m_{2}}, T = \frac{2 m_{1} m_{2} g}{m_{1} + m_{2}}

Nesvari virvė ir skridinys, trinties nėra.

a = \frac{(M - μ_{k} m) g}{M + m}, T = m (a + μ_{k} g)

M kabo, m slysta horizontaliu stalu.

2 y_{1} + y_{2} = C, 2 a_{1} + a_{2} = 0

Vienas judamas skridinys; abi koordinates rinkis žemyn.

{\vec{F}}_{i n} = - m {\vec{a}}_{0}

Greitėjančioje atramos sistemoje.

\frac{N}{m} = g \cos α - a_{0} \sin α

Šlaitas kyla į dešinę ir greitėja į dešinę.

a_{r e l} = g \sin α + a_{0} \cos α - μ_{k} \frac{N}{m}, t = \sqrt{\frac{2 l}{a_{r e l}}}

Slystama žemyn iš rimties; a_rel>0. Prieš tai patikrinti ramybės trintį.

Atverti interaktyvų modelį ↗

Pirmiausia – paprastas pavyzdys

Sunkesnis krovinys leidžiasi, lengvesnis kyla. Abu turi vienodo modulio pagreitį, nes netąsaus siūlo ilgis nekinta. Idealus nesvarus skridinys leidžia naudoti vienodą įtempimą abiejose pusėse.

Abu kroviniai nupiešti atskirai. Lengvam teigiama kryptis aukštyn, sunkiam žemyn. Pagreičio moduliai vienodi; T žymi siūlo, o ne sunkio jėgą. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

T-20=2a,\qquad30-T=3a

a_1=a_2=a,\qquad T_1=T_2=T

2 kg ir 3 kg kroviniai. m₁ = 2 kg, m₂ = 3 kg, g = 10 m/s².

Lengvam kroviniui: T − 20 = 2a, nes jis kyla.
Sunkiam: 30 − T = 3a, nes jis leidžiasi.
Sudedame abi lygtis: T − 20 + 30 − T = 2a + 3a.
Įtempimai susiprastina: 10 = 5a, taigi a = 2 m/s².
Įstatome į lengvo kūno lygtį: T = 20 + 2 · 2 = 24 N.
Patikriname sunkiu: T = 30 − 3 · 2 = 24 N.

a = 2 m/s²; T = 24 N.

Formulės su paaiškinimais ir visas mokymosi žingsnis →

Uždaviniai

Atvudo mašina

3 kg ir 2 kg svarsčiai sujungti idealiu siūlu per idealų skridinį. Rask a ir T; kiek jie atsiskirs per 1 s iš vienodo aukščio?

Duota: 3 kg ir 2 kg svarsčiai sujungti idealiu siūlu per idealų skridinį.
Rasti: Rask a ir T; kiek jie atsiskirs per 1 s iš vienodo aukščio?

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. m₁ = 3 kg; m₂ = 2 kg. T: virvės įtempimas. a: vienodo modulio.

Užuomina

Kiekvienas pasislenka atstumu at²/2.

Pirmas žingsnis

Sunkesniam kūnui ašį renkamės žemyn: 3g−T=3a. Lengvesniam aukštyn: T−2g=2a. Idealus siūlas suteikia vienodą pagreičio modulį.

Visas sprendimas

Sunkesniam kūnui ašį renkamės žemyn: 3g−T=3a. Lengvesniam aukštyn: T−2g=2a. Idealus siūlas suteikia vienodą pagreičio modulį.
a=(3−2)g/(3+2)=1,962 m/s².
Sudedame lygtis: 3g−2g=(3+2)a, nes −T ir +T susiprastina. Poslinkis kiekvienam iš rimties s=at²/2; atstumų skirtumui reikia sudėti abiejų poslinkių modulius.
T=3(g−a)=23,544 N; patikra 2(g+a)=23,544 N.
Vienas nusileidžia 0,981 m, kitas pakyla tiek pat → aukščių skirtumas 1,962 m.

a=1,962 m/s²; T=23,544 N; skirtumas 1,962 m.

Stalas ir kabantis svoris

Ant stalo m=2 kg, kabantis M=3 kg, μₖ=0,20. Idealus skridinys. Rask a, T ir kelią per 0,5 s iš rimties.

Duota: Ant stalo m=2 kg, kabantis M=3 kg, μₖ=0,20.
Rasti: Rask a, T ir kelią per 0,5 s iš rimties.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. μₖ = 0,20. Idealus skridinys. t = 0,5 s. μ – trinties koeficientas

Užuomina

Sistemą varo Mg−μmg.

Pirmas žingsnis

Kabančiam kūnui žemyn: Mg−T=Ma. Ant stalo traukimo kryptimi: T−μmg=ma. Siūlo įtempimas abiejose pusėse vienodas.

Visas sprendimas

Kabančiam kūnui žemyn: Mg−T=Ma. Ant stalo traukimo kryptimi: T−μmg=ma. Siūlo įtempimas abiejose pusėse vienodas.
M g−T=M a; T−μmg=m a.
Sudedame ir pašaliname T: (M−μm)g=(M+m)a. Dalijame iš M+m. T randame iš antros lygties: T=ma+μmg=m(a+μg).
a=(M−μm)g/(M+m)=5,1012 m/s². T=m(a+μg)=14,1264 N.
s=at²/2=0,63765 m; turi pakakti vietos iki grindų ar stalo krašto.

a=5,101 m/s²; T=14,126 N; s=0,638 m.

Judamas skridinys

4 kg krovinys prikabintas prie nesvaraus judamo skridinio. Vienas siūlo galas pritvirtintas prie lubų, kitas per nejudamą skridinį laiko 3 kg svorį. Rask abiejų pagreičius.

Duota: 4 kg krovinys prikabintas prie nesvaraus judamo skridinio.
Rasti: Rask abiejų pagreičius.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. M = 4 kg; m₂ = 3 kg. 2T laiko judamą skridinį. |a₂| = 2|a₁|.

Užuomina

Žemyn teigiama abiem: 2a₁+a₂=0.

Pirmas žingsnis

Abiem kūnams teigiamą kryptį renkamės žemyn. Judamą skridinį laiko dvi siūlo šakos, todėl jį aukštyn traukia 2T. Siūlo ilgio sąlyga: 2y₁+y₂=const, taigi a₂=−2a₁.

Visas sprendimas

Abiem kūnams teigiamą kryptį renkamės žemyn. Judamą skridinį laiko dvi siūlo šakos, todėl jį aukštyn traukia 2T. Siūlo ilgio sąlyga: 2y₁+y₂=const, taigi a₂=−2a₁.
4g−2T=4a₁; 3g−T=3a₂; a₂=−2a₁.
Į T=3g−3a₂ įstatome a₂=−2a₁: T=3g+6a₁. Pirmoji lygtis tampa 4g−2(3g+6a₁)=4a₁, arba −2g=16a₁. Neigiamas a₁ reiškia kilimą.
Iš antros T=3g+6a₁. Įrašius: −2g=16a₁.
a₁=−g/8=−1,22625 m/s²; a₂=g/4=2,4525 m/s²; T=3g−6g/8=22,0725 N.

4 kg kyla 1,226 m/s²; 3 kg leidžiasi 2,453 m/s².

Greitėjantis šlaitas

30° šlaitas kyla į dešinę ir juda a₀=1 m/s² į dešinę. μₛ=μₖ=0,60, ilgis 1 m. Ar kūnas iš rimties slysta? Jei taip, per kiek laiko pasiekia apačią šlaito atžvilgiu?

Duota: 30° šlaitas kyla į dešinę ir juda a₀=1 m/s² į dešinę.
Rasti: Ar kūnas iš rimties slysta? Jei taip, per kiek laiko pasiekia apačią šlaito atžvilgiu?

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. α = 30°; a₀ → 1 m/s². μₛ = μₖ = 0,60; ℓ = 1 m. Šlaito sistema: −ma₀. mg – sunkio jėga (m – masė, g – sunkio pagreitis). N prie kūno rodyklės – atramos reakcija; prie skaičiaus N – niutonas, jėgos vienetas. μ – trinties koeficientas

Užuomina

Šlaito sistemoje inercijos jėga horizontaliai kairėn.

Pirmas žingsnis

Šlaito atskaitos sistemoje pridedame inercijos jėgą −ma₀ į kairę. Jos projekcija žemyn šlaitu a₀cosα padeda slysti, o statmena projekcija mažina N.

Visas sprendimas

Šlaito atskaitos sistemoje pridedame inercijos jėgą −ma₀ į kairę. Jos projekcija žemyn šlaitu a₀cosα padeda slysti, o statmena projekcija mažina N.
Teigiama žemyn šlaitu. Efektyvi varanti dedamoji vienam kg: gsinα+a₀cosα=5,7710 m/s².
Pirma lyginame varančią dedamąją su μₛN, nes kūnas iš rimties. Tik nustačius slydimą atimame μₖN. Iš s=a_rel t²/2 gauname t=√(2s/a_rel).
N/m=gcosα−a₀sinα=7,9957; maksimali trintis vienam kg 0,60·7,9957=4,7974. Kūnas slysta.
a_rel=5,7710−4,7974=0,9736 m/s²; t=√(2·1/a_rel)=1,433 s. Pakeitus a₀ kryptį gautume kitą išvadą.

Slysta; t≈1,433 s.

Iššūkis: Judamas skridinys ir dvi masės

Bemasis judamas skridinys laiko 3 kg krovinį. Vienas virvės galas pritvirtintas viršuje, kitas per nejudamą skridinį laiko 1 kg krovinį. Trinties nėra, g=10 m/s². Rask abiejų krovinių pagreičius ir T.

Duota: Bemasis judamas skridinys laiko 3 kg krovinį.
Rasti: Rask abiejų krovinių pagreičius ir T.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. M = 3 kg; m₂ = 1 kg. g = 10 m/s². Virvės ryšys: a₂ = −2a₁.

Užuomina

Judamo krovinio poslinkis perpus mažesnis.

Pirmas žingsnis

3g−2T=3a, kur a – 3 kg krovinio pagreitis žemyn.

Visas sprendimas

3g−2T=3a, kur a – 3 kg krovinio pagreitis žemyn.
1 kg krovinys kyla pagreičiu 2a: T−g=2a.
30−2(10+2a)=3a, todėl a=10/7 m/s².

3 kg: 10/7 m/s² žemyn; 1 kg: 20/7 m/s² aukštyn; T=90/7 N.

Ryšys su kita tema

Kai domina galutinis greitis, jėgų poveikį patogiau sumuoti pagal poslinkį – skaičiuoti darbą.