Metimai, trajektorija ir santykinis greitis

Be oro pasipriešinimo horizontaliam judėjimui nėra pagreičio, o vertikaliai aᵧ=−g. Abu judėjimai vyksta vienu metu, todėl juos jungia tas pats t. Kampu mestam kūnui v₀ₓ=v₀ cosα, v₀ᵧ=v₀ sinα; x=x₀+v₀ₓt, y=y₀+v₀ᵧt−gt²/2. Aukščiausiame taške vᵧ=0, tačiau vₓ išlieka. Stebėtojui judant greičiu V, matomas kūno greitis v′=v−V.

Sprendimo eiga

Nubrėžk ašis → išskaidyk v₀ → užrašyk x(t), y(t) → rask įvykio laiką → tą patį laiką įrašyk į greitį.

Trajektoriją gauni pašalinęs laiką: y=y₀+(x−x₀)tanα−g(x−x₀)²/(2v₀²cos²α). Skrydžio trukmė 2v₀sinα/g ir nuotolis v₀²sin2α/g tinka, kai pradinis ir galutinis aukštis vienodi. Bendru atveju spręsk y(t)=y_gal ir pasirink teigiamą fiziškai tinkamą šaknį. Vienas taikinio taškas paprastai nenustato ir v₀, ir α: reikia dar vienos sąlygos. Santykinio judėjimo uždaviniuose aiškiai pasakyk, kieno atžvilgiu duotas greitis.

Formulės ir žymėjimai

v₀ — pradinis greičio modulis; α — metimo kampas; g=9,81 m/s²; T — skrydžio trukmė, L — nuotolis, H — didžiausias pakilimas.

x = x_{0} + v_{0} \cos α t

Horizontali pagreičio dedamoji nulinė.

y = y_{0} + v_{0} \sin α t - \frac{g t^{2}}{2}

Teigiama y kryptis aukštyn, oro pasipriešinimo nėra.

v_{x} = v_{0} \cos α, v_{y} = v_{0} \sin α - g t

Abiem kryptims naudojamas tas pats laikas.

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}, y - y_{0} = X \tan α - \frac{g X^{2}}{2 v_{0}^{2} \cos^{2} α}

X=x−x₀; cosα≠0.

T = \frac{2 v_{0} \sin α}{g}, H = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} α}{2 g}, L = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 α}{g}

T ir L: grįžtama į tą patį aukštį. H — pakilimas nuo pradžios.

v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} - 2 g (y - y_{0}), {\vec{v}}^{'} = \vec{v} - \vec{V}

Pastovus g; santykinis greitis stebėtojui, judančiam V.

Atverti interaktyvų modelį ↗

Pirmiausia – paprastas pavyzdys

Stabdant greitis ir pagreitis priešingi. Krentant pagreitis nukreiptas žemyn. Abiem atvejais galioja tos pačios kinematikos formulės; reikia teisingų ženklų.

Tai kinematikos schema: v ir a rodyklės nėra jėgos. Stabdymo jėgų detalės sąlygoje nenurodytos. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

v=20-5t

0=20-5t_{\text{stop}}

0=20^2+2(-5)s_{\text{stop}}

Automobilio stabdymas. v₀ = 72 km/h = 20 m/s; a = −5 m/s².

Sustojimas reiškia v = 0. Rašome 0 = 20 − 5t.
Atimame 20: −20 = −5t. Padalijame iš −5: t = 4 s.
Be laiko: 0² = 20² + 2 · (−5) · s.
Gauname 0 = 400 − 10s; pridedame 10s: 10s = 400.
Padalijame iš 10: s = 40 m.
Tai kelias po stabdymo pradžios; reakcijos kelias būtų papildomas v₀tᵣ.

t = 4 s; s = 40 m.

Formulės su paaiškinimais ir visas mokymosi žingsnis →

Uždaviniai

Vertikalus metimas

Kūnas grįžta į metimo aukštį po 4 s. Rask v₀, H ir aukštį, kuriame greičio modulis sumažėja tris kartus.

Duota: Kūnas grįžta į metimo aukštį po 4 s.
Rasti: Rask v₀, H ir aukštį, kuriame greičio modulis sumažėja tris kartus.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Skrydžio trukmė 4 s. v₀: pradinis greitis. H: didžiausias aukštis. v₀ – pradinis greitis. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis. +y – pasirinkta teigiama vertikalioji kryptis

Užuomina

Visas skrydis simetriškas; paskutinei daliai tinka v²−v₀²=−2gy.

Pirmas žingsnis

Grįžimo į tą patį aukštį trukmė be oro pasipriešinimo simetriška: kilimas užima 4/2=2 s. Viršuje vertikalus greitis nulis, todėl 0=v₀−g·2.

Visas sprendimas

Grįžimo į tą patį aukštį trukmė be oro pasipriešinimo simetriška: kilimas užima 4/2=2 s. Viršuje vertikalus greitis nulis, todėl 0=v₀−g·2.
Iki viršaus t=2 s → v₀=gt=19,62 m/s.
Aukščio ir greičio ryšys v²=v₀²−2gy. Kai |v|=v₀/3, kvadratas v₀²/9. Perkeliame: 2gy=v₀²−v₀²/9=(8/9)v₀².
H=v₀²/(2g)=19,62 m.
Kai |v|=v₀/3, y=(v₀²−v₀²/9)/(2g)=8H/9=17,44 m.

19,62 m/s; 19,62 m; 17,44 m.

Horizontaliai nuo bokšto

Iš 20 m aukščio horizontaliai metama 12 m/s greičiu. Rask skrydžio laiką, nuotolį ir smūgio greitį.

Duota: Iš 20 m aukščio horizontaliai metama 12 m/s greičiu.
Rasti: Rask skrydžio laiką, nuotolį ir smūgio greitį.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. h = 20 m; v₀ = 12 m/s. v₀ horizontali. g: sunkio pagreitis. v₀ – pradinis greitis. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis. +y – pasirinkta teigiama vertikalioji kryptis

Užuomina

Vertikalus pradinis greitis nulis.

Pirmas žingsnis

Vertikaliai pradinio greičio nėra: y=20−gt²/2. Žemę pasiekia, kai y=0; horizontaliai x=12t.

Visas sprendimas

Vertikaliai pradinio greičio nėra: y=20−gt²/2. Žemę pasiekia, kai y=0; horizontaliai x=12t.
0=20−gt²/2 → t=√(40/9,81)=2,019 s.
Iš 0=20−gt²/2 gauname gt²=40, t²=40/g. Laikas teigiamas, todėl imame teigiamą šaknį. Smūgio vertikali dedamoji vᵧ=−gt, horizontalioji nekinta.
L=12t=24,23 m.
vₓ=12, vᵧ=−gt=−19,81 m/s; |v|=√(144+392,4)=23,16 m/s; kampas žemyn atan(19,81/12)=58,80°.

2,019 s; 24,23 m; 23,16 m/s.

Siena pakeliui

v₀=(8;6) m/s, siena ties x=4 m. Kildamas ar leisdamasis kūnas ją pasiekia? Koks aukštis ir greitis?

Duota: v₀=(8;6) m/s, siena ties x=4 m.
Rasti: Koks aukštis ir greitis?

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. v₀ = (8;6) m/s. Siena: x = 4 m. y: aukštis. v₀ – pradinis greitis. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis. +y – pasirinkta teigiama vertikalioji kryptis

Užuomina

Tikrinti reikia vᵧ ties siena, ne vien y.

Pirmas žingsnis

Be oro pasipriešinimo horizontali dedamoji nekinta: x=8t. Sienos sąlyga x=4 duoda 8t=4.

Visas sprendimas

Be oro pasipriešinimo horizontali dedamoji nekinta: x=8t. Sienos sąlyga x=4 duoda 8t=4.
t=4/8=0,5 s.
Į aukštį ir vertikalų greitį statome tą patį t=0,5: y=6t−gt²/2, vᵧ=6−gt. Teigiamas vᵧ reiškia kilimą.
y=6·0,5−9,81·0,5²/2=1,774 m virš pradžios.
vᵧ=6−9,81·0,5=1,095>0 → kyla; |v|=√(8²+1,095²)=8,075 m/s.

Kyla; 1,774 m; 8,075 m/s.

Lietus ir skėtis

Lašai krinta vertikaliai 8 m/s. Skėtis yra 2 m virš kojų ir priekyje išsikiša 0,30 m. Koks didžiausias ėjimo greitis, kad priekinė lašų riba nepasiektų kojų?

Duota: Lašai krinta vertikaliai 8 m/s.
Rasti: Koks didžiausias ėjimo greitis, kad priekinė lašų riba nepasiektų kojų?

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. v_l = 8 m/s žemyn. Skėčio aukštis 2 m. Iškyša priekyje 0,30 m. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis. +y – pasirinkta teigiama vertikalioji kryptis

Užuomina

Žmogaus sistemoje lietus turi horizontalią dedamąją −V.

Pirmas žingsnis

Žmogaus atžvilgiu lašai turi horizontalią dedamąją −V ir vertikalią −8 m/s. 2 m vertikalų tarpą jie įveikia per 2/8 s.

Visas sprendimas

Žmogaus atžvilgiu lašai turi horizontalią dedamąją −V ir vertikalią −8 m/s. 2 m vertikalų tarpą jie įveikia per 2/8 s.
Lašo kritimo nuo skėčio iki kojų laikas t=2/8=0,25 s.
Ribiniu atveju horizontalus lašo poslinkis žmogaus atžvilgiu lygus skėčio išsikišimui: V·0,25=0,30. Dalijame iš teigiamo 0,25.
Per t žmogus prie lašo priartėja Vt; leistinas poslinkis 0,30 m.
Vt≤0,30 → V≤1,2 m/s. Modelyje ignoruojamas kūno plotis ir vėjas.

V_max=1,2 m/s=4,32 km/h.

Trajektorijos kryptis ir vektoriai

x=t+1, y=4−t² (SI). Rask trajektoriją, v ir a ties t=2 s; ar greitis lygiagretus pagreičiui?

Duota: x=t+1, y=4−t² (SI).
Rasti: Rask trajektoriją, v ir a ties t=2 s; ar greitis lygiagretus pagreičiui?

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. x = t + 1; y = 4 − t². v: liestinė trajektorijai. a: pagreičio vektorius. v₀ – pradinis greitis. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis. +y – pasirinkta teigiama vertikalioji kryptis

Užuomina

Pašalink t, paskui diferencijuok abi koordinates.

Pirmas žingsnis

Iš x=t+1 atimame 1 ir gauname t=x−1. Šį reiškinį statome į y=4−t². Greitį ir pagreitį gauname diferencijuodami abi koordinates.

Visas sprendimas

Iš x=t+1 atimame 1 ir gauname t=x−1. Šį reiškinį statome į y=4−t². Greitį ir pagreitį gauname diferencijuodami abi koordinates.
t=x−1 → y=4−(x−1)²; fizinė šaka t≥0 duoda x≥1.
Greitėjimo ženklui tiriame v·a=1·0+(−4)(−2)=8. Kadangi d(v²)/dt=2v·a>0, greičio modulis didėja.
v=(1;−2t), a=(0;−2); ties t=2: v=(1;−4), |v|=√17, a=(0;−2).
v ir a nelygiagretūs, nes vₓ≠0. Jų skaliarinė sandauga 8>0, todėl greičio modulis tuo metu didėja.

Parabolė; v=(1;−4) m/s; a=(0;−2) m/s².

Iššūkis: Taikinys virš paleidimo taško

Kūnas metamas 20 m/s greičiu. Taikinys yra už 20 m horizontaliai ir 5 m aukščiau. g=10 m/s². Rask abu galimus kampus ir skrydžio iki taikinio laikus.

Duota: Kūnas metamas 20 m/s greičiu.
Rasti: Rask abu galimus kampus ir skrydžio iki taikinio laikus.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. v₀ = 20 m/s. Taikinys (20;5) m. g = 10 m/s²; du kampai. v₀ – pradinis greitis. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis. +y – pasirinkta teigiama vertikalioji kryptis

Užuomina

Pakeisk tan α = z.

Pirmas žingsnis

y = xz − gx²(1+z²)/(2v₀²).

Visas sprendimas

y = xz − gx²(1+z²)/(2v₀²).
5 = 20z − 5(1+z²), todėl z²−4z+2=0 ir z=2±√2.
α = arctan z; laikas t = x√(1+z²)/v₀. Abu sprendiniai turi teigiamą horizontalų greitį.

α ≈ 30,36° arba 73,68°; t ≈ 1,159 s arba 3,558 s.

Ryšys su kita tema

Metimo trajektorija kreiva: toliau nagrinėsime, kaip jos krypties kitimas susijęs su pagreičiu.