Impulsas ir tamprūs bei netamprūs smūgiai

Impulsas p=mv yra vektorius; jėgos impulsas J=∫Fdt=Δp. Sistemos impulso pokytį sukelia išorinių jėgų impulsas. Trumpu smūgiu jo kai kuriomis kryptimis galima nepaisyti. Visiškai netampriai susidūrę kūnai juda kartu; kinetinė energija sumažėja. Absoliučiai tampriam smūgiui tveriami ir impulsas, ir kinetinė energija. Atskirk trumpą smūgį nuo judėjimo iki jo ir po jo.

Sprendimo eiga

Sistema ir išorinis impulsas → pasirink kryptis → impulso lygtis → smūgio tipas → po smūgio atskira energijos lygtis.

Vienmačiam smūgiui: m₁u₁+m₂u₂=m₁v₁+m₂v₂ ir v₂−v₁=e(u₁−u₂). e=1 — tamprus, e=0 — bendras galutinis greitis. Lygiems lygiems rutuliams be trinties smūgio impulsas eina išilgai sąlyčio normalės: tangentines dedamąsias palik, normalinėms taikyk vienmatį sprendimą. Smūgiui į sieną normalinis impulsas Jₙ=m(1+e)|uₙ|. Kampą nurodyk nuo normalės ar nuo sienos. „Visiškai netamprus“ apibūdina galutinius greičius, o ne deformacijos nebuvimą.

Formulės ir žymėjimai

u — greitis prieš smūgį, v — po; greičiai su ženklais. Kujo uždaviniui po sukibimo: F_vid s=E_po+(M+m)gs.

\vec{p} = m \vec{v}, {\vec{J}}_{F} = \int \vec{F} d t = Δ \vec{p}

Jėgos impulsas — vektorius; trumpo smūgio vidutinei jėgai J=F_vid Δt.

m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}

Kai išorinių jėgų impulsas nagrinėjama kryptimi nereikšmingas.

v_{2} - v_{1} = e (u_{1} - u_{2}), v_{s u k} = \frac{m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}}{m_{1} + m_{2}}

e=1 tamprus, e=0 sukibimas.

v_{1} = \frac{(m_{1} - m_{2}) u_{1} + 2 m_{2} u_{2}}{m_{1} + m_{2}}

Tik vienmatis absoliučiai tamprus smūgis.

v_{2} = \frac{2 m_{1} u_{1} + (m_{2} - m_{1}) u_{2}}{m_{1} + m_{2}}, Q = E_{p r} - E_{p o}

E čia — kinetinė energija.

h = \frac{v^{2}}{2 g}, θ = \arccos (1 - \frac{h}{l})

Balistinės švytuoklės kilimas po smūgio.

J_{n} = m (1 + e) | u_{n} |, v_{t} = u_{t} - μ \frac{J_{n}}{m}

Siena; trinties formulė tik kol slydimas nenutrūkęs.

v_{3} = \frac{4 m x u}{(m + x) (x + 3 m)}, x_{o p t} = \sqrt{3} m

Trys rutuliai, nuoseklūs centriniai tamprūs smūgiai.

{\vec{v}}_{2} = (\vec{u} \cdot \vec{n}) \vec{n}, {\vec{v}}_{1} = \vec{u} - {\vec{v}}_{2}

Vienodos masės, antras stovi, lygus tamprus smūgis; n — normalės vienetinis vektorius.

Atverti interaktyvų modelį ↗

Sukibimas per impulso lygtį

2 kg kūnas juda +3 m/s ir susiduria su nejudančiu 1 kg kūnu. Jie sukimba. Prieš smūgį impulsas 2 · 3 = 6 kg · m/s. Po smūgio bendra masė 3 kg: 6 = 3v, todėl v = +2 m/s. Kinetinė energija sumažėja nuo 9 J iki 6 J; jos tvermės šiam smūgiui taikyti negalima.

m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v

Pasitikrink: išvardyk prielaidas, kryptis ir galutinio dydžio vienetą, tik tada pereik prie bendresnių lygčių.

Pakartoti šiam sprendimui reikalingą pagrindą →

Uždaviniai

Sukimba judėdami priešpriešiais

2 kg kūnas juda +6 m/s, 1 kg kūnas −3 m/s. Jie sukibę. Rask bendrą greitį ir energijos nuostolį.

Duota: 2 kg kūnas juda +6 m/s, 1 kg kūnas −3 m/s.
Rasti: Rask bendrą greitį ir energijos nuostolį.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. m₁ = 2 kg; v₁ = +6 m/s. m₂ = 1 kg; v₂ = −3 m/s. Po smūgio: sukibę. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis

Užuomina

Priešpriešinis greitis neigiamas.

Pirmas žingsnis

Teigiama kryptis pasirinkta pirmojo kūno judėjimo kryptimi. Sukibus galutinė masė 2+1=3 kg, o impulsas tveriasi: 2·6+1·(−3)=3v.

Visas sprendimas

Teigiama kryptis pasirinkta pirmojo kūno judėjimo kryptimi. Sukibus galutinė masė 2+1=3 kg, o impulsas tveriasi: 2·6+1·(−3)=3v.
p=2·6+1(−3)=9 kg·m/s. v=9/3=3 m/s.
Greičio ženklą išlaikome impulso lygtyje, bet energijoje greičiai keliami kvadratu. Nuostolis Q=E_pr−E_po, todėl galutinis atsakymas turi būti neneigiamas.
E_pr=2·6²/2+1·3²/2=40,5 J.
E_po=3·3²/2=13,5 J; Q=27 J.

v=+3 m/s; Q=27 J.

Tamprus centrinis smūgis

2 kg kūnas juda 6 m/s, 1 kg kūnas stovi. Smūgis tamprus. Rask abu greičius ir perduotos energijos dalį.

Duota: 2 kg kūnas juda 6 m/s, 1 kg kūnas stovi.
Rasti: Rask abu greičius ir perduotos energijos dalį.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. m₁ = 2 kg; v₁ = 6 m/s. m₂ = 1 kg; v₂ = 0. Tamprus centrinis smūgis.

Užuomina

Spręsk impulso ir santykinio greičio sistemą.

Pirmas žingsnis

Naudojame impulso tvermę 12=2v₁+v₂ ir tamprumo sąlygą: išsiskyrimo greitis v₂−v₁ lygus artėjimo greičiui 6.

Visas sprendimas

Naudojame impulso tvermę 12=2v₁+v₂ ir tamprumo sąlygą: išsiskyrimo greitis v₂−v₁ lygus artėjimo greičiui 6.
2·6=2v₁+v₂ ir v₂−v₁=6.
Iš antros v₂=v₁+6. Įstatome į pirmą: 12=2v₁+v₁+6, todėl 3v₁=6, v₁=2; tuomet v₂=8.
v₁=2 m/s, v₂=8 m/s.
E₂=1·8²/2=32 J; pradžioje 36 J → perduota 8/9=88,89 %. Patikra: 4+32=36 J.

2 m/s ir 8 m/s; 88,89 %.

Balistinė švytuoklė

20 g kulka 400 m/s greičiu įstringa 5 kg rutulyje ant 4 m siūlo. Rask pakilimo kampą ir energijos nuostolio dalį smūgio metu.

Duota: 20 g kulka 400 m/s greičiu įstringa 5 kg rutulyje ant 4 m siūlo.
Rasti: Rask pakilimo kampą ir energijos nuostolio dalį smūgio metu.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Kulka 20 g: u = 400 m/s. Rutulys 5 kg; siūlas 4 m. Kulka lieka rutulyje. θ – brėžinyje pažymėtas kampas

Užuomina

Smūgis: impulsas; kilimas: energija.

Pirmas žingsnis

Atskiriame du etapus: per netamprų smūgį tveriasi horizontalus impulsas, po jo kylant tveriasi mechaninė energija. Masė SI vienetais m=0,020 kg.

Visas sprendimas

Atskiriame du etapus: per netamprų smūgį tveriasi horizontalus impulsas, po jo kylant tveriasi mechaninė energija. Masė SI vienetais m=0,020 kg.
v=mu/(M+m)=8/5,02=1,59363 m/s.
Iš mu=(M+m)v randame v. Kylant (M+m)v²/2=(M+m)gh, todėl h=v²/(2g). Geometrija h=l(1−cosθ), iš čia θ=arccos(1−h/l).
h=v²/(2g)=0,12944 m; cosθ=1−h/l → θ≈14,62°.
E_po/E_pr=m/(M+m)=0,003984 → nuostolis 99,6016 %. Tai nuostolis smūgyje, ne kylant.

θ≈14,62°; nuostolis ≈99,602 %.

Smūgis į sieną su trintimi

Tašelis artėja 10 m/s, 30° kampu nuo sienos. e=1, μ=0,20; sukimąsi ignoruok. Kokiu kampu nuo sienos atšoks?

Duota: Tašelis artėja 10 m/s, 30° kampu nuo sienos.
Rasti: Kokiu kampu nuo sienos atšoks?

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. v = 10 m/s; 30° nuo sienos. e = 1; μ = 0,20. Normalė statmena sienai. N prie kūno rodyklės – atramos reakcija; prie skaičiaus N – niutonas, jėgos vienetas. μ – trinties koeficientas

Užuomina

uₙ=vsinα, uₜ=vcosα; trinties impulsas ne didesnis už μJₙ.

Pirmas žingsnis

Kampas matuojamas nuo sienos, todėl normalinė dedamoji uₙ=u sin30°, tangentinė uₜ=u cos30°. Po smūgio normalinė dedamoji pakeičia kryptį, o jos modulis e uₙ.

Visas sprendimas

Kampas matuojamas nuo sienos, todėl normalinė dedamoji uₙ=u sin30°, tangentinė uₜ=u cos30°. Po smūgio normalinė dedamoji pakeičia kryptį, o jos modulis e uₙ.
uₙ=5, uₜ=8,660 m/s; Jₙ/m=(1+e)uₙ=10 m/s.
Normalinio greičio pokyčio modulis (1+e)uₙ, todėl Jₙ=m(1+e)uₙ. Trinties impulso modulis μJₙ sumažina tangentinį greitį dydžiu μJₙ/m.
Tangentinis sumažėjimas μJₙ/m=2 m/s; vₜ=6,660 m/s>0, todėl slydimo prielaida tinka. vₙ=5 m/s nuo sienos.
β=atan(vₙ/vₜ)=36,90°. Jei formulė duotų vₜ<0, paprasta slydimo formulė jau netiktų.

β≈36,90° nuo sienos.

Netamprus smūgis ir įsmigimas

400 kg kujas krinta 1,4 m ant 100 kg polio; po visiškai netampraus smūgio jie nusileidžia 0,05 m. Rask vidutinį grunto pasipriešinimą. Grunto impulsą per trumpą smūgį laikyk mažu.

Duota: 400 kg kujas krinta 1,4 m ant 100 kg polio; po visiškai netampraus smūgio jie nusileidžia 0,05 m.
Rasti: Rask vidutinį grunto pasipriešinimą. Grunto impulsą per trumpą smūgį laikyk mažu.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Kujas 400 kg: h = 1,4 m. Polis 100 kg. Bendras įsmigimas 0,05 m.

Užuomina

Trys etapai; po smūgio juda 500 kg.

Pirmas žingsnis

Etapai skirtingi: kritime energija duoda u, smūgyje impulsas duoda v, įsmigime darbo teorema duoda grunto jėgą. Per smūgį energijos tvermės netaikome.

Visas sprendimas

Etapai skirtingi: kritime energija duoda u, smūgyje impulsas duoda v, įsmigime darbo teorema duoda grunto jėgą. Per smūgį energijos tvermės netaikome.
Prieš smūgį u=√(2gh). Po jo v=400u/500=0,8u.
Po smūgio bendra masė 400+100=500 kg. Įsmigime 0−E_po=500gs−F_vid s, todėl F_vid=E_po/s+500g.
E_po=(500)v²/2=4394,88 J.
F_vid s=E_po+500gs → F_vid=4394,88/0,05+4905=92802,6 N.

92,80 kN.

Optimalus tarpinis rutulys

Pirmas m masės rutulys juda u, antras x stovi, trečias 3m stovi. Centriniai tamprūs smūgiai vyksta nuosekliai. Kokia x masė suteikia didžiausią trečio rutulio greitį?

Duota: Pirmas m masės rutulys juda u, antras x stovi, trečias 3m stovi.
Rasti: Kokia x masė suteikia didžiausią trečio rutulio greitį?

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Pirmas m; trečias 3m. Vidurinis: ieškoma masė x. Smūgiai iš eilės, tamprūs.

Užuomina

Du kartus pritaikyk nejudančio antro kūno galutinio greičio formulę.

Pirmas žingsnis

Tampriam centriniam smūgiui į nejudantį kūną jo greitis po smūgio 2m₁u/(m₁+m₂). Šią formulę pritaikome iš eilės abiem smūgiams.

Visas sprendimas

Tampriam centriniam smūgiui į nejudantį kūną jo greitis po smūgio 2m₁u/(m₁+m₂). Šią formulę pritaikome iš eilės abiem smūgiams.
Po pirmo smūgio antras juda 2mu/(m+x). Po antro trečias juda v₃=4mxu/[(m+x)(x+3m)].
Su z=x/m santykio vardiklis (1+z)(z+3)=z²+4z+3. Išvestinė: (v₃/u)′=4[(z²+4z+3)−z(2z+4)]/(z²+4z+3)²=4(3−z²)/(z²+4z+3)².
Pažymėk z=x/m>0: v₃/u=4z/[(1+z)(z+3)]. Išvestinės ženklą lemia 3−z².
Maksimumas z=√3; x=√3m, v₃/u=4√3/[(1+√3)(3+√3)]≈0,5359.

x=√3m; v₃,max≈0,5359u.

Necentrinis smūgis

Vienodų masių rutuliai: pirmas juda u=(10;0) m/s, antras stovi. Smūgis tamprus, lygus. Sąlyčio normalė su x sudaro 30°. Rask galutinius greičius.

Duota: Vienodų masių rutuliai: pirmas juda u=(10;0) m/s, antras stovi.
Rasti: Rask galutinius greičius.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. Vienodos masės. u = (10;0) m/s. Lygus tamprus smūgis. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis. +y – pasirinkta teigiama vertikalioji kryptis

Užuomina

Pirmojo normalinė dedamoji pereina antrajam; tangentinė lieka pirmajam.

Pirmas žingsnis

Lygių masių tamprus smūgis perduoda antram rutuliui pirmojo greičio normalinę dedamąją. Pirmojo tangentinė dedamoji lieka. Vienetinis normalės vektorius n=(√3/2;1/2).

Visas sprendimas

Lygių masių tamprus smūgis perduoda antram rutuliui pirmojo greičio normalinę dedamąją. Pirmojo tangentinė dedamoji lieka. Vienetinis normalės vektorius n=(√3/2;1/2).
n=(cos30°;sin30°). v₂=(u·n)n=(7,5;4,330) m/s.
Skaliarinė projekcija u·n=10√3/2=5√3. Dauginame n koordinates: v₂=(5√3·√3/2;5√3·1/2)=(7,5;4,330). Tada impulsas duoda v₁=u−v₂.
v₁=u−v₂=(2,5;−4,330) m/s. Modulių vertės 5 ir 8,660 m/s.
v₁·v₂=18,75−18,75=0 → kryptys statmenos. v₁+v₂=u, o 5²+8,660²=10².

v₁=(2,5;−4,330), v₂=(7,5;4,330) m/s.

Iššūkis: Du nuoseklūs skilimai

6 kg kūnas juda +4 m/s. Jis skyla į 2 kg ir 4 kg dalis; 2 kg dalies greitis −2 m/s. Vėliau 4 kg dalis skyla į dvi 2 kg dalis, kurių viena juda +1 m/s. Visi greičiai tos pačios atskaitos sistemos. Rask galutinius greičius ir bendrą kinetinės energijos prieaugį.

Duota: 6 kg kūnas juda +4 m/s.
Rasti: Rask galutinius greičius ir bendrą kinetinės energijos prieaugį.

Brėžinys ir žymėjimai

Schema, ne mastelis. I etapas: 6 → 2 + 4 kg. II etapas: 4 → 2 + 2 kg. +x: pradinio judėjimo kryptis. +x – pasirinkta teigiama horizontalioji kryptis

Užuomina

Taikyk impulso tvermę kiekvienam skilimui atskirai.

Pirmas žingsnis

Pirmas skilimas: 6·4=2·(−2)+4V, todėl V=7 m/s.

Visas sprendimas

Pirmas skilimas: 6·4=2·(−2)+4V, todėl V=7 m/s.
Antras: 4·7=2·1+2w, todėl w=13 m/s.
Epr=6·4²/2=48 J; Epo=2(−2)²/2+2·1²/2+2·13²/2=174 J. Energiją suteikia skilimo vidinė energija.

Galutiniai greičiai −2; +1; +13 m/s; ΔEₖ=126 J.

Ryšys su kita tema

Impulso balansą pritaikysime sistemoms, kurios išmeta ar prisijungia masę.