Mokykis

Funkcijos tyrimas: didėjimas, ekstremumai ir išlinkis

Pirmoji išvestinė parodo, kur grafikas kyla arba leidžiasi. Antroji parodo, kaip keičiasi nuolydis. Abi kartu leidžia nupiešti prasmingą grafiko eskizą. Tai papildoma medžiaga iš konspekto.

Pirmosios išvestinės ženklai

Intervale $f'>0$ reiškia didėjimą, $f'<0$ – mažėjimą. Kandidatai ekstremumams yra srities taškai, kur $f'=0$ arba išvestinė neegzistuoja. Ženklas iš + į − reiškia lokalų maksimumą, iš − į + – minimumą. Vien $f'=0$ ekstremumo negarantuoja: $x^3$ ties 0 jo neturi. Uždarame intervale absoliučioms didžiausiai ir mažiausiai reikšmėms tikrink ir kraštus.

Antroji išvestinė

Kai $f''>0$, nuolydis didėja: grafikas išlinkęs kaip dubuo, „laiko vandenį“. Kai $f''<0$, nuolydis mažėja: grafikas kaip kepurė. Vadovėliuose žodžiai „iškila arba įgaubta“ kartais vartojami skirtingai, todėl remkis ženklu ir forma. Perlinkio taške turi pasikeisti išlinkio kryptis; vien $f''=0$ neužtenka.

Pilna tyrimo eiga

Sritis → simetrija ir susikirtimai su ašimis → trūkiai ir ribos → asimptotės → $f'$ ženklų lentelė → $f''$ ženklų lentelė → grafiko eskizas. Kiekvieną ženklų lentelę skaidyk ir pagal funkcijos srities spragas, ne tik pagal išvestinės nulius.

Išspręskime kartu

Ištirk $f(x)=x^3-3x$ ekstremumus ir perlinkį.

  1. Sritis visa $\mathbb R$. Išvedame $f^{\prime}=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.
  2. Iš $f^{\prime}=0$ gauname kritinius taškus $x=-1$ ir $x=1$.
  3. Kai $x<-1$, abu daugikliai neigiami, sandauga teigiama. Kai $-1<x<1$, ženklai skirtingi. Kai $x>1$, abu teigiami.
  4. Todėl didėja $(-\infty;-1)$ ir $(1;+\infty)$, mažėja $(-1;1)$. Ties $-1$ ženklas keičiasi iš pliuso į minusą, ties $1$ iš minuso į pliusą.
  5. Maksimumo aukštis $f(-1)=-1+3=2$, minimumo $f(1)=1-3=-2$.
  6. Antroji išvestinė $f^{\prime\prime}=6x$. Ji neigiama kairėje nuo $0$ ir teigiama dešinėje, todėl išlinkis pasikeičia.
  7. Kadangi $f(0)=0$, perlinkio taškas $(0;0)$. Vien antros išvestinės nulio, be ženklo patikros, nepakaktų.

Atsakymas. Didėja $(−\infty;−1)$ ir $(1;+\infty)$, mažėja $(−1;1)$; ekstremumai $(−1;2)$, $(1;−2)$.

Ekstremumai ir perlinkis

Ištirk $f(x)=x^3-3x^2$ didėjimą, mažėjimą, lokalius ekstremumus ir perlinkio tašką.

Užuomina

Ekstremumams sudaryk $f'$ ženklų lentelę; perlinkiui – $f''$.

Pirmas žingsnis

$f'(x)=3x(x-2)$, $f''(x)=6x-6$.

Sprendimo eiga
  1. $f'(x)=3x(x-2)$, $f''(x)=6x-6$.
  2. Išvestinės nuo pradžių: $f^{\prime}=3x^2-6x=3x(x-2)$, $f^{\prime\prime}=6x-6=6(x-1)$. Pirmos išvestinės nuliai $0$ ir $2$, antros $1$.
  3. Pirmosios išvestinės nuliai yra $0$ ir $2$. Jos ženklas teigiamas intervaluose $(-\infty;0)$ ir $(2;+\infty)$, neigiamas intervale $(0;2)$.
  4. Todėl funkcija didėja pirmuose dviejuose intervaluose, o tarp $0$ ir $2$ mažėja.
  5. Ties $0$ ženklas keičiasi iš pliuso į minusą: lokalus maksimumas $(0;0)$. Ties $2$ iš minuso į pliusą: lokalus minimumas $(2;-4)$.
  6. Antroji išvestinė neigiama, kai $x<1$, teigiama, kai $x>1$. Išlinkis tikrai pasikeičia, todėl perlinkio taškas yra $(1;f(1))=(1;-2)$.
  7. Patikra: $f'(-1)=9>0$, $f'(1)=-3<0$, $f'(3)=9>0$ patvirtina ženklų lentelę.

Didėja $(-\infty;0)$ ir $(2;+\infty)$, mažėja $(0;2)$; lokalus maksimumas $(0;0)$, minimumas $(2;-4)$, perlinkis $(1;-2)$.

Srities spraga dalija ženklų lentelę

Ištirk $\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}$ didėjimą ir mažėjimą, rask lokalius ekstremumus ir asimptotes.

Užuomina

Lentelę skaidyk ties $-1$, $0$, $1$. Nulis nepriklauso funkcijos sričiai.

Pirmas žingsnis

$D=\mathbb R\setminus\{0\}$, $\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$.

Sprendimo eiga
  1. $D=\mathbb R\setminus\{0\}$, $\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$.
  2. Sritis $x\ne0$. Išvedame $\displaystyle f^{\prime}=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}=\frac{(x-1)(x+1)}{x^2}$. Taškas $0$ atskiria intervalus, bet nepriklauso sričiai.
  3. Vardiklis $x^2$ teigiamas srityje. Išvestinės ženklą lemia $x^2-1$: teigiamas, kai $|x|>1$, neigiamas, kai $0<|x|<1$.
  4. Didėjimas: $(-\infty;-1)$ ir $(1;+\infty)$. Mažėjimas: $(-1;0)$ ir $(0;1)$. Per srities spragą vieno intervalo sudaryti negalima.
  5. Ties $-1$ ženklas keičiasi iš pliuso į minusą: lokalus maksimumas $f(-1)=-2$. Ties $1$ iš minuso į pliusą: lokalus minimumas $f(1)=2$.
  6. Kai $x\to0+$, funkcija artėja prie $+\infty$, kai $x\to0-$ – prie $-\infty$. Vertikalioji asimptotė $x=0$.
  7. Kadangi $\displaystyle f(x)-x=\frac{1}{x}\to0$ ties abiem begalybėmis, pasviroji asimptotė $y=x$. Visos srities absoliutaus maksimumo ir minimumo nėra.

Didėja $(-\infty;-1)$ ir $(1;+\infty)$, mažėja $(-1;0)$ ir $(0;1)$; lokalūs ekstremumai $(-1;-2)$ ir $(1;2)$; asimptotės $x=0$, $y=x$.

Daugiau užduočių pagal skyrius ↗