Vienpusės ribos ir tolydumas
Artėjant prie taško iš kairės ir iš dešinės galima gauti skirtingus atsakymus. Todėl dalimis apibrėžtas funkcijas visada tikrink iš abiejų pusių. Tolydumas reiškia, kad artėjimo atsakymas sutampa su pačios funkcijos reikšme.
Trys sutampantys skaičiai
Funkcija tolydi taške $a$, kai egzistuoja $f(a)$, egzistuoja baigtinė $\lim_{x\to a}f(x)$ ir ji lygi $f(a)$. Vidiniame taške reikia $\lim_{x\to a-}f=\lim_{x\to a+}f=f(a)$. Srities krašte tikrinama iš tos pusės, iš kurios yra srities taškų.
Trūkių atpažinimas
Jei abi vienpusės ribos baigtinės ir vienodos, bet reikšmė kita arba neapibrėžta – pašalinamas trūkis („skylė“). Jei abi baigtinės, bet skirtingos – šuolis. Jei bent viena begalinė arba neegzistuoja dėl svyravimo – antros rūšies trūkis. Pvz., $\displaystyle \sin(\frac{1}{x})$ ties 0 svyruoja, bet vertikalios asimptotės neturi.
Parametrų parinkimas
Kairiosios formulės ribą, dešiniosios formulės ribą ir taško reikšmę sulygink. Taip gausi lygtį arba lygčių sistemą parametrams. Nereikia diferencijuoti, jei klausiama tik tolydumo.
Konspekto pastaba: vienpusės ribos ir trūkiai
Ties jungtimi skaičiuok kairiąją ir dešiniąją ribas pagal tai pusei galiojančią formulę. Jei jos baigtinės ir skirtingos, turime pirmos rūšies šuolio trūkį; jei vienodos, bet funkcijos reikšmė neegzistuoja ar skiriasi, trūkis pašalinamas. Jei bent viena vienpusė riba begalinė arba neegzistuoja, tai antros rūšies trūkis. Pvz., $f(x)=x$ kai $x\le0$ ir $f(x)=3x+4$ kai $x>0$: ties $0$ kairioji riba $0$, dešinioji $4$, $f(0)=0$, todėl šuolis $4$. O pakeitus dešinę šaką į $1/x$, dešinioji riba $+\infty$ ir trūkis antros rūšies. Tęstinumui būtinos visos trys sąlygos: $f(a)$ apibrėžta, baigtinė dvipusė riba egzistuoja ir ji lygi $f(a)$.
Išspręskime kartu
$f(x)=\begin{cases}ax+1,&x<2,\\5,&x=2,\\x+b,&x>2.\end{cases}$ Rask tolydumą užtikrinančius $a,b$.
- Tolydumui ties $2$ reikia, kad kairioji riba, dešinioji riba ir duota reikšmė $f(2)=5$ sutaptų.
- Kairėje galioja $ax+1$, todėl riba lygi $2a+1$. Rašome $2a+1=5$.
- Atimame $1$: $2a=4$. Dalijame iš $2$: $a=2$.
- Dešinėje galioja $x+b$, todėl riba lygi $2+b$. Iš $2+b=5$, atėmę $2$, gauname $b=3$.
- Patikra: $2\cdot2+1=5$, $2+3=5$, o $f(2)=5$. Visos trys reikšmės sutampa.
Atsakymas. $a=2$, $b=3$.
Užpildyk pašalinamą trūkį
Funkcija apibrėžta $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$, kai $x\ne3$, ir $f(3)=c$. Rask $c$, kad funkcija būtų tolydi ties $3$.
Užuomina
Tolydumui taško reikšmė turi sutapti su riba.
Pirmas žingsnis
Kai $x\ne3$, išskaidyk $x^2-9=(x-3)(x+3)$.
Sprendimo eiga
- Kai $x\ne3$, išskaidyk $x^2-9=(x-3)(x+3)$.
- Kvadratų skirtumas $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Kai $x\ne3$, gauname $\displaystyle \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$. Pačiame taške $3$ netrumpiname.
- Kai $x\ne3$, sutrumpiname bendrą daugiklį ir gauname $f(x)=x+3$.
- Abipusė riba ties $3$ lygi $\lim_{x\to3}(x+3)=6$.
- Tolydumo sąlyga $f(3)=\lim_{x\to3}f(x)$ duoda $c=6$.
- Patikra: pasirinkus $c=6$, funkcija visiems $x$ sutampa su tiesine funkcija $x+3$; skylė užpildyta.
$c=6$.
Šuolio vienu tašku nepataisysi
Duota $\displaystyle f(x)=\frac{|x|}{x}$, kai $x\ne0$. Ar galima parinkti $f(0)=c$, kad funkcija taptų tolydi ties $0$?
Užuomina
Pirmiausia atskirai rask kairiąją ir dešiniąją ribas.
Pirmas žingsnis
Kai $x<0$, $|x|=-x$; kai $x>0$, $|x|=x$.
Sprendimo eiga
- Kai $x<0$, $|x|=-x$; kai $x>0$, $|x|=x$.
- Neigiamiems $x$ gauname $f(x)=-1$, todėl $\lim_{x\to0-}f(x)=-1$.
- Teigiamiems $x$ gauname $f(x)=1$, todėl $\lim_{x\to0+}f(x)=1$.
- Vienpusės ribos skirtingos. Abipusė riba neegzistuoja, nesvarbu, kokia reikšmė priskirta pačiame nulyje.
- Tolydumui reikėtų abipusės ribos ir jos sutapimo su $c$. Tokio $c$ nėra; tai šuolio trūkis.
Ne. Jokiu $c$ šuolio ties $0$ pašalinti negalima.