Liestinė, normalė ir kampai
Išvestinė pasako, kokiu nuolydžiu brėžti liestinę. Kai žinai tašką ir nuolydį, tiesės lygtis jau paruošta. Normalė yra tiesė, statmena liestinei.
Dvi tiesės viename taške
Liestinė ties $x=a$: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$. Kai $f'(a)\ne0$, normalė: $y-f(a)=-\dfrac1{f'(a)}(x-a)$. Jei liestinė horizontali ($f'(a)=0$), normalė vertikali $x=a$. Esant vertikaliai liestinei normalė horizontali.
Kampas tarp dviejų kreivių
Kreivių susikirtimo taške skaičiuok abiejų liestinių nuolydžius $m_1,m_2$. Mažesniam kampui $\tan\varphi=\left|\dfrac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|$, jei vardiklis nelygus nuliui. Kai $m_1m_2=-1$, liestinės statmenos, kampas 90°. Prieš tai būtina rasti bendrą kreivių tašką.
Išspręskime kartu
Rask $y=x^2$ liestinę ir normalę taške, kur $x=1$.
- Taško aukštis $f(1)=1^2=1$, taigi taškas $(1;1)$.
- Išvestinė $f^{\prime}(x)=2x$. Įstatę $1$ gauname liestinės nuolydį $m=2$.
- Tiesės per tašką formulė $y-y_0=m(x-x_0)$ duoda $y-1=2(x-1)$.
- Išskleidžiame: $y-1=2x-2$. Pridedame $1$: $y=2x-1$.
- Normalė statmena liestinei, todėl $m m_N=-1$. Dalijame iš $m=2$: $\displaystyle m_N=-\frac{1}{2}$.
- Normalės lygtis $\displaystyle y-1=-\frac12(x-1)$. Išskleidus $\displaystyle y=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$. Abi tiesės eina per $(1;1)$.
Atsakymas. Liestinė $y=2x-1$, normalė $\displaystyle y=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$.
Liestinė ir normalė kubinei funkcijai
Rask $y=x^3$ liestinę ir normalę taške, kuriame $x=2$.
Užuomina
Pirmiausia rask taško aukštį, tada išvestinės reikšmę.
Pirmas žingsnis
Taškas yra $(2;8)$, o $y'=3x^2$.
Sprendimo eiga
- Taškas yra $(2;8)$, o $y'=3x^2$.
- Taško aukštis $f(2)=8$. Liestinės nuolydis $m=f'(2)=12$.
- Liestinės taško ir nuolydžio formulė duoda $y-8=12(x-2)$, arba $y=12x-16$.
- Normalė statmena liestinei, todėl jos nuolydis $\displaystyle m_N=-\frac{1}{12}$. Jos lygtis $\displaystyle y-8=-\frac{x-2}{12}$.
- Patikra: abi tiesės eina per $(2;8)$, o nuolydžių sandauga $\displaystyle 12\cdot(-\frac{1}{12})=-1$.
Liestinė $y=12x-16$; normalė $\displaystyle y-8=-\frac{x-2}{12}$.
Kampas tarp dviejų kreivių
Rask mažesnį kampą tarp kreivių $y=x^2$ ir $y=x$ jų susikirtimo taške, kuriame $x=1$.
Užuomina
Kreivių kampas yra jų liestinių kampas tame pačiame taške.
Pirmas žingsnis
Taškas $(1;1)$ priklauso abiem kreivėms; nuolydžiai yra $m_1=2$ ir $m_2=1$.
Sprendimo eiga
- Taškas $(1;1)$ priklauso abiem kreivėms; nuolydžiai yra $m_1=2$ ir $m_2=1$.
- Pirmosios kreivės išvestinė $2x$, todėl taške $x=1$ jos liestinės nuolydis $2$. Antrosios kreivės nuolydis pastovus ir lygus $1$.
- Mažesniam kampui $\displaystyle \tan\varphi=|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}|$, kai vardiklis nelygus nuliui.
- Gauname $\displaystyle \tan\varphi=|\frac{-1}{3}|=\frac{1}{3}$, todėl $\displaystyle \varphi=\arctan(\frac{1}{3})$.
- Skaitinė patikra: $\varphi\approx0{,}32175$ rad, arba $18{,}435^\circ$. Galima tikrinti ir skirtumu $\arctan2-\arctan1$.
$\displaystyle \varphi=\arctan(\frac{1}{3})\approx18{,}435^\circ$.