Mokykis

Vertikaliosios, horizontaliosios ir pasvirosios asimptotės

Asimptotė yra tiesė, prie kurios grafikas artėja. Vertikalią tikriname prie baigtinio x. Horizontalią ir pasvirąją tikriname, kai x eina į plius arba minus begalybę. Šias dvi kryptis skaičiuok atskirai.

Vertikali x = a

Tiesė $x=a$ yra vertikali asimptotė, jei bent viena vienpusė riba ties $a$ lygi $+\infty$ arba $-\infty$. Kandidatai – srities kraštai, vardiklio nuliai ir logaritmo argumento nuliai. Vardiklio nulis yra tik kandidatas: $\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}$ ties 1 turi skylę, nes riba lygi 2.

Tiesė y = kx + b

Kiekviena kryptimi apskaičiuok $$\displaystyle k=\lim\frac{f(x)}x,\qquad b=\lim\bigl(f(x)-kx\bigr).$$ Jei abu baigtiniai, $f(x)-(kx+b)\to0$. Kai $k=0$, gauni horizontalią $y=b$; kai $k\ne0$ – pasvirąją. Vien baigtinio $k$ neužtenka: būtinas ir baigtinis $b$. Grafikas gali kirsti asimptotę.

Šaknis ties minus begalybe

$\displaystyle \sqrt{4x^2-2x+1}=|x|\sqrt{4-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}$. Prie $+\infty$ turime $|x|=x$, prie $-\infty$ – $|x|=-x$. Todėl kontrolinio nuolydžiai yra 2 ir −2. Skirtumo ribą racionalizuojame. Gauname $\displaystyle y=2x-\frac{1}{2}$ dešinėje ir $\displaystyle y=-2x+\frac{1}{2}$ kairėje. Pošaknis $\displaystyle 4(x-\frac{1}{4})^2+\frac{3}{4}>0$, funkcija tolydi visoje $\mathbb R$, taigi vertikaliųjų nėra.

Konspekto pastaba: k = 0 reiškia horizontalią tiesę

Kiekvienai krypčiai $x\to+\infty$ ir $x\to-\infty$ atskirai skaičiuok $k=\lim f(x)/x$, tada $b=\lim(f(x)-kx)$. Jei abu skaičiai baigtiniai, tiesė $y=kx+b$ yra asimptotė ta kryptimi. Kai $k=0$, gauname horizontaliąją $y=b$. Vien $f(x)/x\to0$ jos dar neįrodo: $f(x)=\sqrt x$ turi šį santykį, bet $f(x)\to+\infty$, todėl baigtinio $b$ nėra.

Atverti interaktyvų grafiką ↗

Išspręskime kartu

Rask $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$ asimptotes.

  1. Sritis $x\ne1$. Kai $x\to1$, skaitiklis $x^2+1\to2>0$.
  2. Iš kairės vardiklis neigiamas ir artėja prie nulio, todėl riba $-\infty$. Iš dešinės teigiamas, todėl riba $+\infty$. Vertikalioji asimptotė $x=1$.
  3. Dalyboje $x^2$ dalijame iš $x$: gauname $x$. Atimame $x(x-1)=x^2-x$ iš $x^2+1$: lieka $x+1$.
  4. Toliau $x$ dalijame iš $x$: gauname $1$. Atimame $1(x-1)=x-1$ iš $x+1$: liekana $2$.
  5. Todėl $\displaystyle f(x)=x+1+\frac{2}{x-1}$. Patikriname: $(x+1)(x-1)+2=x^2-1+2=x^2+1$.
  6. Ties abiem begalybėmis $\displaystyle \frac{2}{x-1}\to0$, taigi $f(x)-(x+1)\to0$. Pasviroji asimptotė $y=x+1$.

Atsakymas. Vertikali $x=1$; abiem begalybės kryptimis pasviroji $y=x+1$.

Vertikalioji ir pasviroji viename uždavinyje

Rask $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2+3}{x-1}$ vertikaliąją ir pasvirąją asimptotes.

Užuomina

Padalink daugianarius, o tada išnagrinėk $x=1$.

Pirmas žingsnis

Užrašyk $\displaystyle f(x)=2x+2+\frac5{x-1}$.

Sprendimo eiga
  1. Užrašyk $\displaystyle f(x)=2x+2+\frac5{x-1}$.
  2. Polinomų dalyba: atimame $2x(x-1)$ iš $2x^2+3$ ir lieka $2x+3$. Atimame $2(x-1)$ ir lieka $5$. Todėl $\displaystyle f(x)=2x+2+\frac{5}{x-1}$.
  3. Dalyba patikrinama sudauginus: $(x-1)(2x+2)+5=2x^2+3$.
  4. Kai $x\to\pm\infty$, liekana $\displaystyle \frac{5}{x-1}\to0$. Todėl $f(x)-(2x+2)\to0$.
  5. Pasviroji asimptotė abiem kryptimis yra $y=2x+2$.
  6. Kai $x\to1-$, trupmena $\displaystyle \frac{5}{x-1}\to-\infty$; kai $x\to1+$, ji artėja prie $+\infty$. Vertikalioji asimptotė $x=1$.
  7. Patikra: ties $x=101$ skirtumas tarp funkcijos ir pasvirosios tiesės yra $\displaystyle \frac{5}{100}=0{,}05$.

Vertikalioji $x=1$; pasviroji $y=2x+2$. Horizontaliųjų nėra.

Kodėl ties minus begalybe keičiasi ženklas?

Rask $f(x)=\sqrt{9x^2+6x+4}$ pasvirąsias asimptotes ties $+\infty$ ir $-\infty$.

Užuomina

$\sqrt{x^2}=|x|$. Prie dviejų begalybių skaičiuok atskirai.

Pirmas žingsnis

Kai $x\to+\infty$, tikrink nuolydį $3$; kai $x\to-\infty$, nuolydį $-3$.

Sprendimo eiga
  1. Kai $x\to+\infty$, tikrink nuolydį $3$; kai $x\to-\infty$, nuolydį $-3$.
  2. Kadangi $9x^2+6x+4=(3x+1)^2+3>0$, funkcija apibrėžta visur ir vertikaliųjų asimptočių neturi.
  3. Ties $+\infty$, $\displaystyle \frac{f(x)}{x}\to3$. Laisvajam nariui: $\displaystyle f(x)-3x=\frac{6x+4}{f(x)+3x}\to1$.
  4. Dešinės ribos tarpinė dalyba: $\displaystyle \frac{6x+4}{\sqrt{9x^2+6x+4}+3x}=\frac{6+\frac{4}{x}}{\sqrt{9+\frac{6}{x}+\frac{4}{x^2}}+3}\to\frac{6}{3+3}=1$. Čia $x>0$, todėl $\sqrt{x^2}=x$.
  5. Todėl dešinėje asimptotė yra $y=3x+1$.
  6. Ties $-\infty$, $\displaystyle \frac{f(x)}{x}\to-3$. Dabar $\displaystyle f(x)+3x=\frac{6x+4}{f(x)-3x}\to-1$.
  7. Kairėje asimptotė yra $y=-3x-1$. Skirtingus ženklus sukelia $|x|$, o ne nauja taisyklė.

Ties $+\infty$: $y=3x+1$; ties $-\infty$: $y=-3x-1$.

Daugiau užduočių pagal skyrius ↗