Sudėtinė funkcija: iš išorės į vidų
Įsivaizduok gamybos liniją: x pirma paverčiamas į u, o u – į y. Bendras kitimo greitis yra abiejų etapų kitimo greičių sandauga. Todėl negalima pamiršti vidinės funkcijos išvestinės.
Pirmiausia atpažink, kokia tvarka atliekami veiksmai
Funkcijoje $y=(3x+1)^2$ iš pradžių iš $x$ apskaičiuojame $u=3x+1$, tada gautą $u$ keliame kvadratu: $y=u^2$. Vidus keičiasi $3$ vienetais vienam $x$ vienetui. Išorės kitimo greitis pagal $u$ yra $2u$. Bendras greitis gaunamas sudauginus: $2u\cdot3=6(3x+1)$. Išorinėje išvestinėje paliekame visą vidinę išraišką; jos nepaverčiame vien $x$.
Vienas patikrinimas, kuris pagauna pamirštą daugiklį
Ties $x=1$ funkcijos $(3x+1)^2$ išvestinė yra $24$. Galime patikrinti išskleidę: $(3x+1)^2=9x^2+6x+1$, todėl išvestinė $18x+6$, ties $1$ taip pat $24$. Jei parašytume vien $2(3x+1)$, gautume $8$ ir prarastume faktą, kad vidus keičiasi tris kartus greičiau. Sudėtinei funkcijai pirmas klausimas: „Kas yra paskutinis veiksmas?“ Sandaugai, pvz., $x^2\sin x$, paskutinis veiksmas yra daugyba, todėl pradedame kita taisykle.
Grandinės taisyklė
$$[f(g(x))]'=f'(g(x))\,g'(x).$$ Išorę diferencijuoji laikydamas vidų vienu objektu, tada daugini iš vidaus išvestinės. $(u^\alpha)'=\alpha u^{\alpha-1}u'$, $(\sin u)'=\cos u\,u'$, $(e^u)'=e^u u'$, $\displaystyle (\ln|u|)'=\frac{u'}{u}$, kai $u\ne0$.
Sudėtinių funkcijų išvestinių lentelė
Visoje lentelėje $u=u(x)$ yra diferencijuojama vidinė funkcija, o $u'=u'(x)$ – jos išvestinė. Pirma diferencijuok išorinę funkciją, palikdamas jos vidų, tada padaugink iš $u'$. Sąlygos nurodo, kur taikoma pateikta formulė.
| Funkcija | Išvestinė pagal x | Sąlygos | Pavyzdys |
|---|---|---|---|
| $u^n$ | $n u^{n-1}u'$ | $n\in\mathbb N$, $n\ge1$ | $((3x+1)^2)'=6(3x+1)$ |
| $u^\alpha$ | $\alpha u^{\alpha-1}u'$ | $u>0$, $\alpha\in\mathbb R$ – pastovus | $((x+1)^{3/2})'=\frac32\sqrt{x+1}$ |
| $\sqrt u$ | $\dfrac{u'}{2\sqrt u}$ | $u>0$ | $(\sqrt{2x+1})'=\dfrac1{\sqrt{2x+1}}$ |
| $\dfrac1u$ | $-\dfrac{u'}{u^2}$ | $u\ne0$ | $\left(\dfrac1{x^2+1}\right)'=-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$ |
| $e^u$ | $e^u u'$ | Visur, kur u diferencijuojama | $(e^{3x})'=3e^{3x}$ |
| $a^u$ | $a^u\ln(a)\,u'$ | $a>0$ – pastovus | $(2^{x^2})'=2x\,2^{x^2}\ln2$ |
| $\ln u$ | $\dfrac{u'}u$ | $u>0$ | $(\ln(5x))'=\dfrac5{5x}=\dfrac1x$ |
| $\ln|u|$ | $\dfrac{u'}u$ | $u\ne0$ | $(\ln|x^2-1|)'=\dfrac{2x}{x^2-1}$ |
| $\log_a u$ | $\dfrac{u'}{u\ln a}$ | $u>0$, $a>0$, $a\ne1$ | $(\log_2(3x+1))'=\dfrac3{(3x+1)\ln2}$ |
| $\sin u$ | $\cos u\,u'$ | Kampai radianais | $(\sin(x^2))'=2x\cos(x^2)$ |
| $\cos u$ | $-\sin u\,u'$ | Kampai radianais | $(\cos(4x))'=-4\sin(4x)$ |
| $\tan u$ | $\dfrac{u'}{\cos^2u}$ | $\cos u\ne0$, kampai radianais | $(\tan(2x))'=\dfrac2{\cos^2(2x)}$ |
| $\cot u$ | $-\dfrac{u'}{\sin^2u}$ | $\sin u\ne0$, kampai radianais | $(\cot(3x))'=-\dfrac3{\sin^2(3x)}$ |
| $\arcsin u$ | $\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$ | $|u|<1$ | $(\arcsin(2x))'=\dfrac2{\sqrt{1-4x^2}}$ |
| $\arccos u$ | $-\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$ | $|u|<1$ | $(\arccos(x^2))'=-\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$ |
| $\arctan u$ | $\dfrac{u'}{1+u^2}$ | Visur, kur u diferencijuojama | $(\arctan(3x))'=\dfrac3{1+9x^2}$ |
Trys sluoksniai
$y=\sin((3x+1)^2)$. Sluoksniai: $x\to3x+1\to(3x+1)^2\to\sin((3x+1)^2)$. Einant atgal: sinusas duoda kosinusą; kvadratas duoda $2(3x+1)$; tiesinė funkcija duoda 3. Todėl $y'=6(3x+1)\cos((3x+1)^2)$.
Sudėtinė ar sandauga?
$\sin(x^2)$ yra sudėtinė funkcija: x kvadratas yra sinuso viduje. $x^2\sin x$ yra sandauga: du atskiri daugikliai. $x^2\sin(x^3)$ reikalauja abiejų taisyklių: pirma sandaugos, o antram daugikliui – grandinės.
Išspręskime kartu
Rask $y=\ln(1+e^{2x})$ išvestinę.
- Pažymime $u=1+e^{2x}$. Išorinė funkcija yra $y=\ln u$, todėl $\displaystyle y^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}$.
- Vidaus išvestinė $u^{\prime}=0+(e^{2x})^{\prime}$. Vieneto išvestinė nulis.
- Eksponentės grandinė: $(e^{2x})^{\prime}=e^{2x}(2x)^{\prime}=e^{2x}\cdot2=2e^{2x}$.
- Įstatome $u$ ir $u^{\prime}$: $\displaystyle y^{\prime}=\frac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}$.
- Argumentas $1+e^{2x}>0$ visiems realiesiems $x$, todėl papildomų srities apribojimų nėra.
Atsakymas. $\displaystyle y'=\frac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}$.
Logaritmo viduje yra dar funkcija
Rask $f(x)=\ln(1+3x^2)$ išvestinę.
Užuomina
$\ln u$ išvestinė yra $\displaystyle \frac{u'}{u}$, o ne vien $\displaystyle \frac{1}{u}$.
Pirmas žingsnis
Pažymėk $u=1+3x^2$, todėl $u'=6x$.
Sprendimo eiga
- Pažymėk $u=1+3x^2$, todėl $u'=6x$.
- Išorinė funkcija yra natūralusis logaritmas; vidinė – $1+3x^2$.
- Taikome grandinės taisyklę: $\displaystyle f'=[\frac{1}{1+3x^2}]\cdot6x$.
- Gauname $\displaystyle f'=\frac{6x}{1+3x^2}$. Kadangi logaritmo argumentas visada teigiamas, formulė galioja visiems realiesiems $x$.
- Patikra: $f'(0)=0$ ir $\displaystyle f'(1)=\frac{6}{4}=1{,}5$.
$\displaystyle f'(x)=\frac{6x}{1+3x^2}$.
Trys įdėti sluoksniai
Rask $f(x)=\sin^2(5x)$ išvestinę.
Užuomina
Tai $[\sin(5x)]^2$: kvadratas, sinusas, tiesinė funkcija.
Pirmas žingsnis
Išorinis kvadratas duoda $2\sin(5x)$, tada dar reikia vidinės dalies išvestinės.
Sprendimo eiga
- Išorinis kvadratas duoda $2\sin(5x)$, tada dar reikia vidinės dalies išvestinės.
- Užrašas $\sin^2(5x)$ reiškia $[\sin(5x)]^2$, o ne $\sin(25x^2)$.
- Kvadrato išvestinė duoda $2\sin(5x)$, sinuso išvestinė – $\cos(5x)$, argumento $5x$ išvestinė – $5$.
- Sudauginame: $f'=10\sin(5x)\cos(5x)$.
- Galima sutrumpinti trigonometrine tapatybe: $f'=5\sin(10x)$.
- Patikra taške $\displaystyle x=\frac{\pi}{20}$: $\displaystyle f'=10(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=5$; antra forma duoda tą patį.
$f'(x)=10\sin(5x)\cos(5x)=5\sin(10x)$.