Mokykis

Atvirkštinės ir parametrinės funkcijos

Papildoma konspekto tema: kartais x ir y abu išreikšti per parametrą t. Tuomet keičiasi abu dydžiai, o ieškomas dy/dx yra jų kitimo greičių santykis.

Parametrinės kreivės

Jei $x=x(t)$, $y=y(t)$ ir $x'(t)\ne0$, tai $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$. Antroji išvestinė: $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{x'(t)}$. Tai nėra tiesiog $\displaystyle \frac{y''(t)}{x''(t)}$. Jei $x'(t)=0$, formulės dalinti negalima – reikia atskirai tirti liestinę.

Atvirkštinė funkcija

Jei $g=f^{-1}$ ir $f'(a)\ne0$, tai $\displaystyle g'(f(a))=\frac{1}{f'(a)}$. Svarbu vertinti išvestines atitinkamuose taškuose. Pavyzdys: $f(x)=x^3$, $a=2$, $f(a)=8$, todėl kubinės šaknies išvestinė ties 8 lygi $\displaystyle \frac{1}{3\cdot2^2}=\frac{1}{12}$.

Išspręskime kartu

$x=t^2$, $y=t^3$, $t>0$. Rask $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ ir $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}$.

  1. Išvedame pagal parametrą: $\displaystyle \frac{dx}{dt}=2t$, $\displaystyle \frac{dy}{dt}=3t^2$. Kadangi $t>0$, dalyti iš $2t$ galima.
  2. Grandinė duoda $\displaystyle \frac{dy}{dt}=(\frac{dy}{dx})(\frac{dx}{dt})$. Padaliję gauname $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3t^2}{2t}=\frac{3t}{2}$.
  3. Pirmąją išvestinę diferencijuojame pagal $t$: $\displaystyle \frac{d}{dt}(\frac{3t}{2})=\frac{3}{2}$. Tai dar nėra išvestinė pagal $x$.
  4. Kad pereitume prie $x$, dar dalijame iš $\displaystyle \frac{dx}{dt}=2t$: $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{3}{2}}{2t}$.
  5. Dalyba iš $2t$ yra daugyba iš atvirkštinio skaičiaus: $\displaystyle \frac32\cdot\frac1{2t}=\frac3{4t}$.

Atsakymas. $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3t}{2}$, $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{3}{4t}$.

Dvi išvestinės pagal x, ne pagal t

Duota $x=t^3$, $y=t^2$, $t>0$. Rask $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ ir $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}$.

Užuomina

Antrą kartą diferencijuodamas pagal $t$ vėl dalyk iš $\displaystyle \frac{dx}{dt}$.

Pirmas žingsnis

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=3t^2$, $\displaystyle \frac{dy}{dt}=2t$.

Sprendimo eiga
  1. $\displaystyle \frac{dx}{dt}=3t^2$, $\displaystyle \frac{dy}{dt}=2t$.
  2. Kadangi $t>0$, vardiklis $\displaystyle \frac{dx}{dt}=3t^2$ nelygus nuliui.
  3. Pirmoji išvestinė $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2t}{3t^2}=\frac{2}{3t}$.
  4. Šią išraišką diferencijuojame pagal $t$: $\displaystyle \frac{d[\frac{2}{3t}]}{dt}=-\frac{2}{3t^2}$.
  5. Paskutinę dalybą parodome iki galo: $\displaystyle \frac{-\frac{2}{3t^2}}{3t^2}=-\frac{2}{3t^2}\cdot\frac{1}{3t^2}=-\frac{2}{9t^4}$. Vardiklyje $3\cdot3=9$, $t^2t^2=t^4$.
  6. Kad gautume išvestinę pagal $x$, dar kartą dalijame iš $3t^2$: $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{2}{9t^4}$.
  7. Patikra: iš $x=t^3$ gauname $\displaystyle y=x^{\frac{2}{3}}$, kai $x>0$. Tiesioginės išvestinės $\displaystyle \frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}}$ ir $\displaystyle -\frac{2}{9x^{\frac{4}{3}}}$ sutampa.

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2}{3t}$; $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{2}{9t^4}$.

Elipsės liestinė per parametrą

Kreivė duota $x=2\cos t$, $y=3\sin t$. Rask liestinę ties $\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$.

Užuomina

Tašką gausi įstatęs parametrą, o nuolydį – padalijęs $\displaystyle \frac{dy}{dt}$ iš $\displaystyle \frac{dx}{dt}$.

Pirmas žingsnis

Ties $\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$ gauname $\displaystyle (x;y)=(\sqrt{2};\frac{3\sqrt{2}}{2})$.

Sprendimo eiga
  1. Ties $\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$ gauname $\displaystyle (x;y)=(\sqrt{2};\frac{3\sqrt{2}}{2})$.
  2. Liestinei reikia ir taško: $\displaystyle x_0=2\cos(\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}$, $\displaystyle y_0=3\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Abi koordinatės randamos prieš rašant tiesės lygtį.
  3. Parametro išvestinės yra $\displaystyle \frac{dx}{dt}=-2\sin t$, $\displaystyle \frac{dy}{dt}=3\cos t$.
  4. Ties $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ turime $\displaystyle \frac{dx}{dt}=-\sqrt{2}\ne0$, todėl galima naudoti santykio formulę.
  5. Nuolydis $\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{3\cos t}{2\sin t}$; nurodytame taške jis lygus $\displaystyle -\frac{3}{2}$.
  6. Liestinė: $\displaystyle y-\frac{3\sqrt{2}}{2}=-(\frac{3}{2})(x-\sqrt{2})$, arba $\displaystyle y=-\frac{3x}{2}+3\sqrt{2}$.
  7. Patikra: įstatę taško $x=\sqrt2$ gauname $\displaystyle y=\frac{3\sqrt{2}}{2}$, kaip reikia.

$\displaystyle y=-\frac{3x}{2}+3\sqrt{2}$.

Daugiau užduočių pagal skyrius ↗