Mokykis

Aukštesnės išvestinės ir Leibnico formulė

Antroji išvestinė yra pirmosios išvestinė. Ketvirtos eilės išvestinė reiškia diferencijuoti keturis kartus. Žymėk kiekvieną eilę atskirai: tai sumažina ženklų ir koeficientų klaidas.

Iš eilės arba pagal formulę

$f''=(f')'$, $f'''=(f'')'$, $f^{(4)}=(f''')'$. $f^{(4)}$ nėra $[f(x)]^4$. Sandaugai galima taikyti Leibnico formulę: $$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom nk u^{(k)}v^{(n-k)}.$$ Ketvirtai eilei koeficientai 1, 4, 6, 4, 1. Jei vienas daugiklis polinomas, aukštesnės jo išvestinės galiausiai išnyksta.

Patogūs ciklai

Sinuso išvestinės kartojasi kas keturias: $\sin x,\cos x,-\sin x,-\cos x,\sin x$. $(e^{ax})^{(n)}=a^n e^{ax}$. Kai $x>0$ ir $n\ge1$, $\displaystyle (\ln x)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$. Sudėtiniam argumentui būtini papildomi grandinės daugikliai.

Išspręskime kartu

Rask $(x^4\ln(2x))^{(4)}$, $x>0$.

  1. Logaritmo grandinė: $\displaystyle (\ln(2x))^{\prime}=\frac1{2x}\cdot2=\frac1x$, kai $x>0$.
  2. Pirma išvestinė pagal sandaugą: $\displaystyle f^{\prime}=4x^3\ln(2x)+x^4\frac1x=4x^3\ln(2x)+x^3$.
  3. Antra: $\displaystyle f^{\prime\prime}=12x^2\ln(2x)+4x^3\frac1x+3x^2$. Čia pirmą sandaugą vėl išvedėme kaip sandaugą.
  4. Sutrumpiname ir sudedame: $\displaystyle 4x^3\frac1x+3x^2=4x^2+3x^2=7x^2$. Todėl $f^{\prime\prime}=12x^2\ln(2x)+7x^2$.
  5. Trečia: $\displaystyle f^{\prime\prime\prime}=24x\ln(2x)+12x^2\frac1x+14x=24x\ln(2x)+26x$.
  6. Ketvirta: $\displaystyle f^{(4)}=24\ln(2x)+24x\frac1x+26=24\ln(2x)+24+26$.
  7. Sudedame konstantas ir gauname $f^{(4)}=24\ln(2x)+50$.

Atsakymas. $f^{(4)}=24\ln(2x)+50$.

Keturi kartai su logaritmu

Rask $f(x)=x^3\ln x$ ketvirtos eilės išvestinę, kai $x>0$.

Užuomina

Kiekvieną kartą diferencijuok gautą išraišką. Sandaugos taisyklė kartosis.

Pirmas žingsnis

Pirmoji išvestinė $f'=3x^2\ln x+x^2$.

Sprendimo eiga
  1. Pirmoji išvestinė $f'=3x^2\ln x+x^2$.
  2. Pirmą kartą: $\displaystyle f'=3x^2\ln x+\frac{x^3}{x}=3x^2\ln x+x^2$.
  3. Antros išvestinės tarpinis veiksmas: $\displaystyle (3x^2\ln x)^{\prime}=6x\ln x+3x^2\frac1x=6x\ln x+3x$. Dar $(x^2)^{\prime}=2x$, todėl koeficientai sudedami $3+2=5$.
  4. Antrą kartą: $f''=6x\ln x+3x+2x=6x\ln x+5x$.
  5. Trečią kartą: $f'''=6\ln x+6+5=6\ln x+11$.
  6. Ketvirtą kartą: $\displaystyle f^{(4)}=\frac{6}{x}$.
  7. Patikra taške $x=2$: ketvirtos eilės išvestinė lygi $3$. Ranka sek tarpinius koeficientus, kad neprarastum konstantų.

$\displaystyle f^{(4)}(x)=\frac{6}{x}$, $x>0$.

Kiekviena išvestinė prideda daugiklį

Rask $f(x)=e^{2x}$ ketvirtos eilės išvestinę ir bendrą $n$-tosios išvestinės formulę.

Užuomina

Kaskart prisimink vidinės funkcijos $2x$ išvestinę.

Pirmas žingsnis

$f'(x)=2e^{2x}$.

Sprendimo eiga
  1. $f'(x)=2e^{2x}$.
  2. Pirmoji išvestinė $f'=2e^{2x}$: grandinės taisyklė duoda daugiklį $2$.
  3. Antroji išvestinė $f''=4e^{2x}$; trečioji $f'''=8e^{2x}$.
  4. Ketvirtoji $f^{(4)}=16e^{2x}$. Kiekviename žingsnyje koeficientą dar kartą padauginame iš $2$.
  5. Bendrai $f^{(n)}=2^ne^{2x}$, kai $n$ neneigiamas sveikasis skaičius. Tai galima patikrinti indukcija.
  6. Patikra: $f^{(4)}(0)=16$.

$f^{(4)}(x)=16e^{2x}$; $f^{(n)}(x)=2^ne^{2x}$.

Daugiau užduočių pagal skyrius ↗