Logaritminis diferencijavimas

Vien laipsnio taisyklė čia netinka: laipsnio rodiklis irgi yra kintamasis.

Kadangi $y>0$, logaritmuok: $\ln y=x\ln(x^2+1)$.

1. Kadangi $y>0$, logaritmuok: $\ln y=x\ln(x^2+1)$.
2. Pagrindas $x^2+1$ visada teigiamas, todėl funkcija ir logaritmavimas leidžiami visiems realiesiems $x$.
3. Logaritmuojame abi puses: $\ln y=x\ln(x^2+1)$.
4. Sandaugą išvedame atskirai: $\displaystyle (x\ln(x^2+1))^{\prime}=1\cdot\ln(x^2+1)+x\cdot\frac{2x}{x^2+1}$. Daugiklis $2x$ atsiranda iš logaritmo vidaus išvestinės.
5. Diferencijuojame: $\displaystyle \frac{y'}{y}=\ln(x^2+1)+x\cdot\frac{2x}{x^2+1}$. Dešinėje panaudota sandaugos taisyklė.
6. Padauginame iš $y$ ir grąžiname jo išraišką: $\displaystyle y'=(x^2+1)^x[\ln(x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1}]$.
7. Patikra: ties $x=1$ gauname $y'=2(\ln2+1)\approx3{,}3863$.

Logaritmas iškelia $\sqrt{x}$ iš laipsnio.

Rašyk $\ln y=\sqrt{x}\ln x$.

1. Rašyk $\ln y=\sqrt{x}\ln x$.
2. Kadangi $x>0$, galime logaritmuoti: $\ln y=\sqrt{x}\ln x$.
3. Diferencijuojame sandaugą: $\displaystyle \frac{y'}{y}=\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{x}$.
4. Bendras vardiklis: $\displaystyle \frac{\sqrt x}x=\frac1{\sqrt x}=\frac2{2\sqrt x}$. Todėl $\displaystyle \frac{\ln x}{2\sqrt x}+\frac2{2\sqrt x}=\frac{\ln x+2}{2\sqrt x}$.
5. Kadangi $\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}$, dešinė pusė lygi $\displaystyle \frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}$.
6. Padauginę iš $y$ gauname $\displaystyle y'=\frac{x^{\sqrt{x}}(\ln x+2)}{2\sqrt{x}}$.
7. Patikra: ties $x=1$ gauname $y'=1$.

Logaritmas iškelia kintamą laipsnio rodiklį. Argumentui $\sin x$ turi likti teigiamas.

$\ln y=\cos x\,\ln(\sin x)$.

1. $\ln y=\cos x\,\ln(\sin x)$.
2. Kai $\sin x>0$, funkcijos pagrindas ir pati $y$ teigiami, todėl logaritmuoti galima.
3. Prieš diferencijavimą: $\ln y=\cos x\ln(\sin x)$. Dešinėje sandauga; pirmo daugiklio išvestinė $-\sin x$, antro $\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}$.
4. Diferencijuojame abi puses: $\displaystyle \frac{y'}{y}=-\sin x\ln(\sin x)+\cos x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}$.
5. Dešinėje pirmasis dėmuo atsirado iš $\cos x$ išvestinės, antrasis – iš logaritmo grandinės taisyklės.
6. Padauginame iš pradinės funkcijos: $\displaystyle y'=(\sin x)^{\cos x}[-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^2x}{\sin x}]$.
7. Patikra: ties $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ turime $\sin x=1$, $\cos x=0$, todėl $y'=0$.

Reikia logaritmuoti visą funkciją; atsiras $\ln(\ln x)$.

$\ln y=x\ln(\ln x)$.

1. $\ln y=x\ln(\ln x)$.
2. Apribojimas $x>1$ užtikrina $\ln x>0$, todėl realusis kintamas laipsnis ir dvigubas logaritmas apibrėžti.
3. Logaritmavimas duoda $\ln y=x\ln(\ln x)$. Dvigubo logaritmo grandinė: $\displaystyle (\ln(\ln x))^{\prime}=\frac1{\ln x}\cdot\frac1x=\frac1{x\ln x}$.
4. Diferencijuojame sandaugą: $\displaystyle \frac{y'}{y}=\ln(\ln x)+x\cdot[\frac{1}{x\ln x}]$.
5. Sutvarkome: $\displaystyle \frac{y'}{y}=\ln(\ln x)+\frac{1}{\ln x}$.
6. Padauginame iš $y=(\ln x)^x$.
7. Patikra: ties $x=e$ turime $\ln x=1$, todėl $y'=1\cdot(0+1)=1$.

Jei sandauga gali būti neigiama, naudok $\ln|y|$. Gale panaikink dalybas iš išnykstančių daugiklių.

Kai $x\ne0$ ir $\sin(2x)\ne0$, $\ln|y|=3\ln|x|+x^2+\ln|\sin(2x)|$.

1. Kai $x\ne0$ ir $\sin(2x)\ne0$, $\ln|y|=3\ln|x|+x^2+\ln|\sin(2x)|$.
2. Logaritminis užrašas galioja tik intervaluose, kur $x\ne0$ ir $\sin(2x)\ne0$. Pradinė funkcija vis dėlto apibrėžta visiems realiesiems $x$.
3. Ten, kur $y\ne0$, rašome $\ln|y|=3\ln|x|+x^2+\ln|\sin(2x)|$. Dėmenų išvestinės $\displaystyle \frac{3}{x}$, $2x$ ir $\displaystyle \frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)}$.
4. Diferencijuodami gauname $\displaystyle \frac{y'}{y}=\frac{3}{x}+2x+\frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)}$.
5. Padauginame iš $y$ ir išskleidžiame: $y'=e^{x^2}[(3x^2+2x^4)\sin(2x)+2x^3\cos(2x)]$.
6. Ši išraiška jau nebeturi dalybos iš $x$ ar $\sin(2x)$. Tiesioginė sandaugos ir grandinės taisyklė duoda tą pačią formulę visiems realiesiems $x$, įskaitant praleistus nulius.
7. Patikra: ties $x=0$ išvestinė lygi $0$. Taške $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ sinuso dėmuo nulinis, bet kosinuso dėmuo lieka: $\displaystyle y'=-2(\frac{\pi}{2})^3e^{\frac{\pi^2}{4}}$.

Logaritmuojant gaunamas logaritmo kvadratas.

$\ln y=(\ln x)^2$.

1. $\ln y=(\ln x)^2$.
2. Kai $x>0$, galime rašyti $\ln(x^{\ln x})=(\ln x)\ln x$.
3. Diferencijuojame: $\displaystyle \frac{y'}{y}=2\ln x\cdot\frac{1}{x}$.
4. Padauginame iš $y=x^{\ln x}$ ir gauname $\displaystyle y'=x^{\ln x}\cdot\frac{2\ln x}{x}$.
5. Patikra kitu užrašu: $y=e^{(\ln x)^2}$; grandinės taisyklė iš karto duoda tą patį rezultatą.
6. Ties $x=1$ gauname $y'=0$, o ties $x=e$ – $y'=2$.

Nei $x^n$, nei $a^x$ taisyklė viena pati netinka.

$\ln y=\sin x\ln x$.

1. $\ln y=\sin x\ln x$.
2. Teigiamas pagrindas $x>0$ leidžia logaritmuoti ir rašyti $\ln y=\sin x\ln x$.
3. Diferencijuojame sandaugą: $\displaystyle \frac{y'}{y}=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}$.
4. Galutinis dauginimas: $\displaystyle y^{\prime}=y(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})=x^{\sin x}(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})$.
5. Padauginame iš pradinio $y$ ir gauname išvestinę.
6. Patikra: ties $x=1$ narys su $\ln1$ išnyksta, todėl $y'(1)=\sin1\approx0{,}84147$.

Teigiamas santykis gali būti ir tada, kai abu jo nariai neigiami.

$\displaystyle \frac{x}{1+x}>0$ reiškia $x>0$ arba $x<-1$.

1. $\displaystyle \frac{x}{1+x}>0$ reiškia $x>0$ arba $x<-1$.
2. Pasirinkta realiojo kintamo laipsnio sritis yra $(-\infty;-1)\cup(0;+\infty)$.
3. Logaritmuojame: $\displaystyle \ln y=x\ln[\frac{x}{1+x}]$. Abiejuose intervaluose $\displaystyle \ln[\frac{x}{1+x}]=\ln|x|-\ln|1+x|$.
4. Diferencijuojame: $\displaystyle \frac{y'}{y}=\ln[\frac{x}{1+x}]+x(\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x})$.
5. Suvienodiname vardiklius: $\displaystyle \frac1x-\frac1{1+x}=\frac{1+x-x}{x(1+x)}=\frac1{x(1+x)}$. Padauginus iš $x\ne0$, lieka $\displaystyle \frac{1}{1+x}$.
6. Kadangi $\displaystyle x(\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x})=\frac{1}{1+x}$, gauname sutvarkytą formulę ir padauginame iš $y$.
7. Patikra: ties $x=1$ išvestinė lygi $\displaystyle (\frac{1}{2})[\ln(\frac{1}{2})+\frac{1}{2}]\approx-0{,}0965736$.