Funkcijos ir matematikos kalba
Funkcija yra taisyklė: įdedi leistiną skaičių $x$, gauni vieną reikšmę $f(x)$. Prieš skaičiuojant reikia patikrinti, ar tą skaičių apskritai galima įdėti. Tai vadinama apibrėžimo sritimi.
Trys patikros prieš kiekvieną uždavinį
Vardiklis negali būti nulis. Lyginio laipsnio šaknies pošaknis turi būti $\ge0$. Logaritmo argumentas turi būti $>0$. Jei sąlygų kelios, jos turi galioti kartu. Pvz., $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\sqrt{4-x}}$ reikalauja $x>1$ ir $x<4$, nes šaknis yra vardiklyje: $D=(1;4)$.
Ženklai be paslapčių
$\in$ reiškia „priklauso“, $\forall$ – „kiekvienam“, $\exists$ – „egzistuoja“. $|x-a|$ yra atstumas tarp $x$ ir $a$, todėl $|x-a|<\delta$ reiškia $a-\delta<x<a+\delta$. $\varepsilon$ (epsilon) ir $\delta$ (delta) yra mažosios graikiškos raidės. Didžioji $\Delta$ dažniausiai reiškia pokytį: $\Delta x=x_{\rm naujas}-x_{\rm senas}$. Tai skirtingi ženklai, turintys skirtingas užduotis.
Algebra, kuri sutaupo daugiausia laiko
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$; $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. $\displaystyle \ln a-\ln b=\ln(\frac{a}{b})$, kai $a,b>0$. Svarbu: $\sqrt{x^2}=|x|$, o ne visada $x$. Jei $x<0$, tai $|x|=-x$. Trupmenoje trumpinti galima bendrą daugiklį, bet ne pavienius sumos narius.
Išspręskime kartu
Rask $\displaystyle f(x)=\frac{\ln(2x-3)}{\sqrt{5-x}}$ apibrėžimo sritį.
- Surašome abi sąlygas. Logaritmui $2x-3>0$. Vardiklio šaknis turi būti apibrėžta ir nenulinė, todėl $5-x>0$.
- Prie pirmos nelygybės abiejų pusių pridedame $3$: $2x>3$. Dalijame iš teigiamo $2$: $\displaystyle x>\frac{3}{2}$. Ženklas nesikeičia.
- Antroje nelygybėje pridedame $x$ prie abiejų pusių ir gauname $5>x$, arba $x<5$.
- Reikia abiejų sąlygų kartu, todėl imame sankirtą: $\displaystyle \frac{3}{2}<x<5$.
- Kraštai netinka: ties $\displaystyle \frac{3}{2}$ logaritmo argumentas nulis, ties $5$ vardiklis nulis. Sritis $\displaystyle D=(\frac{3}{2};5)$.
Atsakymas. $\displaystyle D=(\frac{3}{2};5)$.
Kur funkcija apskritai egzistuoja?
Rask funkcijos $\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{3x-6}}{x-4}$ apibrėžimo sritį.
Užuomina
Šaknis negali turėti neigiamo pošaknio, o vardiklis negali būti nulis.
Pirmas žingsnis
Užrašyk dvi sąlygas: $3x-6\ge0$ ir $x-4\ne0$.
Sprendimo eiga
- Užrašyk dvi sąlygas: $3x-6\ge0$ ir $x-4\ne0$.
- Iš $3x-6\ge0$ gauname $x\ge2$. Taškas $x=2$ tinka: kvadratinė šaknis iš nulio leidžiama.
- Iš $x-4\ne0$ gauname $x\ne4$. Šį vieną tašką pašaliname.
- Abi sąlygos turi galioti kartu, todėl sritis yra $[2;4)\cup(4;+\infty)$.
- Patikra: $f(2)=0$, o įstačius $x=4$ gautume dalybą iš nulio.
$D(f)=[2;4)\cup(4;+\infty)$.
Modulis reiškia atstumą
Išspręsk nelygybę $|2x-6|<0{,}4$.
Užuomina
$|u|<a$, kai $a>0$, reiškia $-a<u<a$.
Pirmas žingsnis
Iškelk dvejetą: $2|x-3|<0{,}4$.
Sprendimo eiga
- Iškelk dvejetą: $2|x-3|<0{,}4$.
- Padaliję iš teigiamo skaičiaus $2$ gauname $|x-3|<0{,}2$.
- Tai sako: atstumas nuo $x$ iki $3$ mažesnis už $0{,}2$.
- Rašome $-0{,}2<x-3<0{,}2$ ir visose dalyse pridedame $3$.
- Gauname $2{,}8<x<3{,}2$. Kraštai nepriklauso sprendiniui, nes ženklas griežtas.
- Patikra: kai $x=3{,}1$, modulis yra $0{,}2<0{,}4$.
$x\in(2{,}8;3{,}2)$.