Dalinės ribos, lim sup ir lim inf
Kai seka šokinėja, bendros ribos gali nebūti. Bet atrinkę, pavyzdžiui, tik lyginius narius galime gauti artėjančią posekę. Posekės riba vadinama daline riba.
Posekė yra pasirinktas maršrutas
Posekės indeksai turi griežtai didėti: $n_1<n_2<\cdots$, todėl jie eina į begalybę. Sekai $(-1)^n$ lyginiai nariai artėja į 1, nelyginiai į −1. Jei visa seka turėtų ribą, visos jos posekės turėtų tą pačią ribą. Dvi skirtingos dalinės ribos jau įrodo, kad bendros ribos nėra.
Kaip perskaityti lim sup
Aprėžtos sekos $\limsup a_n$ yra didžiausia jos dalinė riba, o $\liminf a_n$ – mažiausia. Tiksliai: tai sekos uodegų supremumų ir infimumų ribos: $\lim_{N\to\infty}\sup_{n\ge N}a_n$ ir $\lim_{N\to\infty}\inf_{n\ge N}a_n$. Tai nebūtinai didžiausias ir mažiausias visos sekos nariai: baigtinis pradžios šuolis į ribą neįeina.
Periodinį sinusą skaidyk pagal liekanas
Kontrolinyje $\displaystyle \sin(\frac{n\pi}{3})$ kartojasi kas 6 narius. Išrašyk $n=6k+r$, kur $r=0,1,\ldots,5$. Kiekvienai liekanai sinusas pastovus. Padalijus viską iš $n^2$, dalis $\displaystyle \frac{2}{n^2}$ išnyksta, vardiklis $\displaystyle 1+\frac{2}{n}\to1$. Taigi lieka tik trys galimi aukščiai: $\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $0$, $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$. Visi pasiekiami begalinėmis posekėmis, o kitų nėra, nes yra tik šešios liekanų klasės.
Išspręskime kartu
Rask $\displaystyle a_n=(-1)^n+\frac{1}{n}$ dalines ribas.
- Indeksus skaidome į lyginius $n=2k$ ir nelyginius $n=2k+1$. Abiejose šeimose $k$ gali didėti be galo.
- Kadangi $(-1)^{2k}=1$, gauname $\displaystyle a_{2k}=1+\frac{1}{2k}\to1$. Trupmena artėja prie nulio.
- Kadangi $(-1)^{2k+1}=-1$, gauname $\displaystyle a_{2k+1}=-1+\frac{1}{2k+1}\to-1$.
- Bet kuriame begaliniame posekyje yra be galo daug vieno iš šių tipų indeksų. Jei posekis konverguoja, tų narių posekis turi tą pačią ribą. Todėl ji gali būti tik $1$ arba $-1$.
- Abi ribos tikrai pasiekiamos. Dalinės ribos $\{-1,1\}$, $\limsup=1$, $\liminf=-1$. Vienos visos sekos ribos nėra.
Atsakymas. Dalinės ribos $\{-1,1\}$; $\limsup=1$, $\liminf=-1$; bendros ribos nėra.
Dvi skirtingos dalinės ribos
Rask visas sekos $\displaystyle a_n=(-1)^n+\frac2n$ dalines ribas, $\limsup a_n$ ir $\liminf a_n$.
Užuomina
Atskirk lyginius ir nelyginius indeksus.
Pirmas žingsnis
Užrašyk $\displaystyle a_{2k}=1+\frac{1}{k}$ ir $\displaystyle a_{2k-1}=-1+\frac{2}{2k-1}$.
Sprendimo eiga
- Užrašyk $\displaystyle a_{2k}=1+\frac{1}{k}$ ir $\displaystyle a_{2k-1}=-1+\frac{2}{2k-1}$.
- Lyginių indeksų posekis artėja prie $1$.
- Nelyginių indeksų posekis artėja prie $-1$.
- Kitų dalinių ribų nėra: $\displaystyle \frac{2}{n}\to0$, o pirmasis dėmuo įgyja tik dvi reikšmes. Bet kuris konverguojantis posekis negali turėti abiejų ženklų be galo dažnai.
- Todėl dalinių ribų aibė yra $\{-1,1\}$; didžiausia jų yra limsup, mažiausia – liminf.
- Visos sekos riba neegzistuoja, nes šios dvi dalinės ribos skirtingos.
Dalinės ribos $-1$ ir $1$; $\limsup a_n=1$, $\liminf a_n=-1$.
Keturi indeksų likučiai, trys ribos
Rask visas sekos $\displaystyle a_n=\sin(\frac{n\pi}{2})+\frac{1}{n}$ dalines ribas.
Užuomina
Sinuso reikšmės kartojasi kas keturis indeksus.
Pirmas žingsnis
Surašyk $\displaystyle \sin(\frac{n\pi}{2})$ reikšmes: $1,0,-1,0$.
Sprendimo eiga
- Surašyk $\displaystyle \sin(\frac{n\pi}{2})$ reikšmes: $1,0,-1,0$.
- Indeksams $n=4k+1$ sinusas yra $1$, todėl atitinkamas posekis artėja prie $1$.
- Indeksams $n=4k+3$ sinusas yra $-1$, todėl posekis artėja prie $-1$.
- Lyginiams indeksams sinusas yra $0$, todėl abu šie posekiai artėja prie $0$.
- Dėmuo $\displaystyle \frac{1}{n}$ artėja prie nulio, o periodinė dalis turi tik tris skirtingas reikšmes. Kitų dalinių ribų nėra.
- Taigi $\limsup a_n=1$, $\liminf a_n=-1$, o bendra riba neegzistuoja.
Dalinės ribos $\{-1,0,1\}$; $\limsup a_n=1$, $\liminf a_n=-1$.