Neišreikštinė išvestinė

$y$ priklauso nuo $x$, todėl $(y^2)'=2yy'$.

Diferencijuok abi lygties puses: $2x+2yy'=0$.

1. Diferencijuok abi lygties puses: $2x+2yy'=0$.
2. Patikriname tašką: $(\sqrt5)^2+2^2=5+4=9$, taigi jis priklauso kreivei.
3. Abi puses diferencijuojame pagal $x$: $2x+2yy'=0$. Prie $y^2$ būtinas grandinės daugiklis $y'$.
4. Kai $y\ne0$, išsprendžiame lygtį išvestinės atžvilgiu: $\displaystyle y'=-\frac{x}{y}$.
5. Taške $(\sqrt5;2)$ liestinės nuolydis yra $\displaystyle -\frac{\sqrt{5}}{2}\approx-1{,}1180$.
6. Ties $y=0$ ši formulė netaikoma; apskritimas ten turi vertikalią liestinę.

Dėmeniui $xy$ reikia sandaugos taisyklės, nes $y=y(x)$.

Gauk $y+xy'+2yy'=0$.

1. Gauk $y+xy'+2yy'=0$.
2. Taškas tinka: $1\cdot2+2^2=6$.
3. Sandaugos išvestinė $(xy)'=y+xy'$, o $(y^2)'=2yy'$. Dešinės pusės konstantos išvestinė nulis.
4. Iki iškėlimo lygtis $y+xy^{\prime}+2yy^{\prime}=0$. Atimame $y$: $xy^{\prime}+2yy^{\prime}=-y$. Abiejuose kairės dėmenyse yra bendras $y^{\prime}$.
5. Surinkę išvestines gauname $(x+2y)y'=-y$.
6. Kai $x+2y\ne0$, $\displaystyle y'=-\frac{y}{x+2y}$.
7. Taške $(1;2)$ vardiklis yra $5$, todėl $\displaystyle y'=-\frac{2}{5}=-0{,}4$.

Diferencijuodamas $\cos(xy)$ prisimink ir grandinę, ir sandaugą.

$3\cos y\,y'-2\sin x=-\sin(xy)(y+xy')$.

1. $3\cos y\,y'-2\sin x=-\sin(xy)(y+xy')$.
2. Kairėje $(3\sin y)'=3\cos y\,y'$, o $(2\cos x)'=-2\sin x$.
3. Dešinėje išorinė kosinuso išvestinė duoda $-\sin(xy)$, vidinės sandaugos išvestinė yra $y+xy'$.
4. Iki surinkimo: $3\cos y\,y^{\prime}-2\sin x=-y\sin(xy)-x\sin(xy)y^{\prime}$. Pridedame $x\sin(xy)y^{\prime}$ ir $2\sin x$ abiejose pusėse, paskui iškeliame bendrą išvestinę.
5. Išskleidžiame ir surenkame: $(3\cos y+x\sin(xy))y'=2\sin x-y\sin(xy)$.
6. Kai koeficientas $3\cos y+x\sin(xy)\ne0$, padalijame ir gauname išvestinę. Formulė skirta lygtį tenkinančios diferencijuojamos šakos taškams.
7. Patikra ties $x=0$: lygtis reikalauja $3\sin y=-1$. Ten $\cos y\ne0$, o išvestinės formulė duoda $y'=0$.

Arktangento išvestinė duoda vardiklį $1+(xy)^2$, o vidus – $y+xy'$.

$\displaystyle y'=\frac{y+xy'}{1+x^2y^2}$.

1. $\displaystyle y'=\frac{y+xy'}{1+x^2y^2}$.
2. Naudojame grandinės taisyklę: $\displaystyle [\arctan(xy)]'=\frac{(xy)'}{1+(xy)^2}$.
3. Diferencijuota pradinė lygtis $\displaystyle y^{\prime}=\frac{y+xy^{\prime}}{1+x^2y^2}$, nes $(xy)^{\prime}=y+xy^{\prime}$. Tik tada visą lygtį dauginame iš vardiklio.
4. Padauginame iš visada teigiamo $1+x^2y^2$: $(1+x^2y^2)y'=y+xy'$.
5. Surenkame išvestines: $(1+x^2y^2-x)y'=y$.
6. Kai $1+x^2y^2-x\ne0$, gauname $\displaystyle y'=\frac{y}{1+x^2y^2-x}$.
7. Patikra: šaka $y=0$ tenkina pradinę lygtį visiems $x$. Formulė joje duoda $0$ visur, išskyrus $x=1$, kur gauname $\displaystyle \frac{0}{0}$; ši konkreti šaka ten vis tiek turi išvestinę $0$.

Kairėje reikia sandaugos, dešinėje – grandinės taisyklės.

$y+xy'=-\sin(x+y)(1+y')$.

1. $y+xy'=-\sin(x+y)(1+y')$.
2. Sandaugos išvestinė $(xy)'=y+xy'$, nes $x'=1$.
3. Kosinuso vidinės funkcijos $x+y$ išvestinė yra $1+y'$, todėl dešinėje gauname $-\sin(x+y)(1+y')$.
4. Išskleista lygtis $y+xy^{\prime}=-\sin(x+y)-\sin(x+y)y^{\prime}$. Pridedame $\sin(x+y)y^{\prime}$ ir atimame $y$: $xy^{\prime}+\sin(x+y)y^{\prime}=-y-\sin(x+y)$.
5. Išskleidę ir perkėlę dėmenis gauname $(x+\sin(x+y))y'=-y-\sin(x+y)$.
6. Kai $x+\sin(x+y)\ne0$, dalijame iš šio koeficiento. Prie nulio vardiklyje ši formulė netaikoma ir tašką reikia tirti atskirai.

Vidinės funkcijos $y-x$ išvestinė yra $y'-1$.

$3x^2-3y^2y'=3\cos(y-x)(y'-1)$.

1. $3x^2-3y^2y'=3\cos(y-x)(y'-1)$.
2. Prieš dalybą iš $3$ turime $3x^2-3y^2y^{\prime}=3\cos(y-x)(y^{\prime}-1)$. Vidinės funkcijos išvestinė $(y-x)^{\prime}=y^{\prime}-1$.
3. Diferencijuojame abi puses ir padalijame iš $3$: $x^2-y^2y'=\cos(y-x)(y'-1)$.
4. Dešinėje išskleidžiame skliaustus: $\cos(y-x)y'-\cos(y-x)$.
5. Narius be išvestinės perkeliame į kairę, su išvestine – į dešinę: $x^2+\cos(y-x)=[y^2+\cos(y-x)]y'$.
6. Kai $y^2+\cos(y-x)\ne0$, gauname santykio formulę.
7. Patikra: šaka $y=x$ tenkina pradinę lygtį. Joje formulė duoda $\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2+1}=1$, kaip ir turi būti.

Viduje yra dalmuo: $\displaystyle (\frac{x}{y})'=\frac{y-xy'}{y^2}$.

$\displaystyle y'=1-\sin(\frac{x}{y})\frac{y-xy'}{y^2}$.

1. $\displaystyle y'=1-\sin(\frac{x}{y})\frac{y-xy'}{y^2}$.
2. Kosinusui taikome grandinės taisyklę, o jo vidui – dalybos taisyklę. Pradinė sąlyga $y\ne0$ būtina.
3. Visas diferencijavimo žingsnis $\displaystyle y^{\prime}=1-\sin(\frac{x}{y})\frac{y-xy^{\prime}}{y^2}$. Tik iš čia dauginame visą lygtį iš $y^2$, įskaitant ir kairę pusę.
4. Padauginame visą lygtį iš $y^2$: $\displaystyle y^2y'=y^2-y\sin(\frac{x}{y})+x\sin(\frac{x}{y})y'$.
5. Surinkę išvestines gauname $\displaystyle [y^2-x\sin(\frac{x}{y})]y'=y^2-y\sin(\frac{x}{y})$.
6. Kai papildomai $\displaystyle y^2-x\sin(\frac{x}{y})\ne0$, padalijame ir gauname išvestinę.
7. Patikra: taškas $(0;1)$ priklauso kreivei, nes $1=0+\cos0$. Formulė duoda $y'=1$.