Matematika 1

Ribos, sekos ir asimptotės
Pagrindinės temos

Ribos įrodymas

$\lim_{x\to a}f(x)=L$ reiškia: $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\quad0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.$ Pirma ε, po to δ(ε). Šablonas: „Tegu ε>0. Imame δ=…>0. Jei 0<|x−a|<δ, tai …<ε.“ δ negali priklausyti nuo laisvo x. Funkcija nebūtinai apibrėžta pačiame a.

Kaip parinkti δ

Tiesinei $f(x)=mx+c$ , $m\ne0$ : $|f(x)-f(a)|=|m||x-a|$ , tinka $\displaystyle \delta=\frac{\varepsilon}{|m|}$ . Kvadratui ties a: ribok $|x-a|<1$ , tada $|x+a|<2|a|+1$ . Tinka $\displaystyle \delta=\min(1,\frac{\varepsilon}{2|a|+1})$ . Modulis: $|x-a|<\delta\iff a-\delta<x<a+\delta$ .

Kontrolinio šaknies įrodymas

$a=6$ , $L=5$ , $f(x)=\sqrt{4x+1}$ . Imk $\eta=\min(\varepsilon,1)$ . Iš $|f(x)-5|<\eta$ gauname: $\displaystyle 6-\frac{10\eta-\eta^2}{4}<x<6+\frac{10\eta+\eta^2}{4}.$ Tinka $\displaystyle \delta=\frac{10\eta-\eta^2}{4}>0$ . Trumpesnis kelias: $\displaystyle |f(x)-5|\le\frac{4|x-6|}{5}$ ; tinka $\displaystyle \delta=\min(1,\frac{5\varepsilon}{4})$ .

Sekos ir begalinės ribos

$a_n\to L$ : $\forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb N$ , $n>N\Rightarrow|a_n-L|<\varepsilon$ . $a_n\to+\infty$ : $\forall M>0\ \exists N$ , $n>N\Rightarrow a_n>M$ . $f(x)\to+\infty$ ties a: $\forall M>0\ \exists\delta>0$ , $0<|x-a|<\delta\Rightarrow f(x)>M$ . −∞ atveju reikalaujame $f<-M$ .

Pagrindinės ribos be Lopitalio

Kai $t\to0$ (kampai radianais): $\displaystyle \frac{\sin t}{t}\to1,\quad\frac{\tan t}{t}\to1,\quad\frac{e^t-1}{t}\to1,$ $\displaystyle \frac{\ln(1+t)}t\to1,\quad\frac{(1+t)^\alpha-1}{t}\to\alpha.$ $\displaystyle (1+t)^{\frac{1}{t}}\to e$ . Jei $u\to0$ , $uv\to c$ , $1+u>0$ , tada $(1+u)^v\to e^c$ . $|q|<1\Rightarrow q^n\to0$ .

Ribų skaičiavimo kelrodis

Įstatyk → nustatyk formą → pertvarkyk → pritaikyk ribą. $\displaystyle \frac{0}{0}$ su polinomais: skaidyk daugikliais. Šaknų skirtumas: jungtinis reiškinys, $(\sqrt A-\sqrt B)(\sqrt A+\sqrt B)=A-B$ . $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$ : dalyk iš dominuojančio dydžio. $1^\infty$ : e riba arba logaritmas. Dalmeniui baigtinių ribų taisyklė galioja, jei vardiklio riba nelygi 0. $\sqrt{x^2}=|x|$ .

Dalinės ir rekursinės sekų ribos

Periodui p skaidyk $n=pk+r$ . Kiekvienos klasės riba – dalinė riba. Aprėžtai sekai lim sup – didžiausia, lim inf – mažiausia dalinė riba. Jei jos skiriasi, bendros ribos nėra. Rekursijai: ① kandidatas $L=g(L)$ ; ② indukcija aprėžtumas; ③ monotoniškumas; ④ konvergavimo teorema; ⑤ perėjimas prie ribos, jei g tolydi. Vien ① nepakanka.

Tolydumas ir asimptotės

Tolydumas vidiniame taške: $\lim_{x\to a-}f=\lim_{x\to a+}f=f(a)$ . Vertikali $x=a$ : bent viena vienpusė riba $\pm\infty$ . Tiesei $y=kx+b$ kiekviena kryptimi atskirai: $\displaystyle k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x,\qquad b=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-kx).$ Abu turi būti baigtiniai. k=0 – horizontali. Vardiklio nulis gali būti tik skylė, todėl tikrink ribą.

Matematika 1

Išvestinės ir diferencialas
Pagrindinės temos

Išvestinė pagal apibrėžimą

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h.$ Įstatyk x+h → atimk visą f(x) → pertvarkyk → riba. ln(x+5): $\displaystyle \ln(x+5+h)-\ln(x+5)=\ln(1+\frac{h}{x+5})$ ; pakeisk $\displaystyle t=\frac{h}{x+5}$ ir taikyk $\displaystyle \frac{\ln(1+t)}{t}\to1$ . Rezultatas $\displaystyle \frac{1}{x+5}$ , x>−5. Diferencijuojamumas ⇒ tolydumas; atvirkščiai nebūtinai.

Elementariųjų funkcijų lentelė

$C'=0$ ; $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$ leistinoje srityje. $(e^x)'=e^x$ ; $(a^x)'=a^x\ln a$ , a>0. $\displaystyle (\ln|x|)'=\frac{1}{x}$ , x≠0. $\displaystyle (\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$ , x>0, a>0, a≠1. $(\sin x)'=\cos x$ ; $(\cos x)'=-\sin x$ ; $\displaystyle (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x}$ ; $\displaystyle (\cot x)'=-\frac{1}{\sin^2x}$ . Trigonometriniai kampai radianais.

Atvirkštinės trigonometrinės

$\displaystyle (\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}},\quad(\arccos x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ kai |x|<1. $\displaystyle (\arctan x)'=\frac1{1+x^2},\quad x\in\mathbb R.$ Sudėtiniam argumentui dar daugink iš vidaus išvestinės.

Suma, sandauga, dalmuo

$(cu)'=cu',\quad(u\pm v)'=u'\pm v',$ $\displaystyle (uv)'=u'v+uv',\qquad\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2},\quad v\ne0.$ Sandaugos išvestinė nėra u′v′. Prieš diferencijuodamas gali supaprastinti, bet išsaugok pradinę apibrėžimo sritį.

Grandinės taisyklė

$[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x).$ $(u^\alpha)'=\alpha u^{\alpha-1}u'$ ; $\displaystyle (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ , u>0. $\displaystyle (\ln|u|)'=\frac{u'}{u}$ , u≠0. $(e^u)'=e^u u'$ . $(\sin u)'=\cos u\,u'$ . Eik iš išorės į vidų; daugink kiekvieną sluoksnį. Pvz., $(\sin((3x+1)^2))'=6(3x+1)\cos((3x+1)^2)$ .

Logaritminė ir neišreikštinė

$y=u^v$ , u>0: $\ln y=v\ln u$ , todėl $\displaystyle y'=u^v\left(v'\ln u+v\frac{u'}u\right).$ $(x^x)'=x^x(\ln x+1)$ , x>0. Neišreikštinei: $(y^2)'=2yy'$ , $(xy)'=y+xy'$ . Iš $F(x,y)=0$ : $\displaystyle y'=-\frac{F_x}{F_y}$ , kai $F_y\ne0$ ir galioja vietinio diferencijuojamo sprendinio sąlygos. Pvz., $\displaystyle x^2+y^2=25\Rightarrow y'=-\frac{x}{y}$ , y≠0.

Aukštesnės išvestinės

$f''=(f')'$ , $f^{(4)}=(f''')'$ . Leibnico formulė: $(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom nk u^{(k)}v^{(n-k)}.$ 4 eilės koeficientai: 1, 4, 6, 4, 1. $(e^{ax})^{(n)}=a^ne^{ax}$ . $\displaystyle (\ln x)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$ , x>0, n≥1. Kontrolinio $x^4\ln(2x)$ ketvirtoji išvestinė: $24\ln(2x)+50$ , x>0.

Diferencialas ir aproksimacija

$dx=\Delta x,\quad dy=f'(a)dx,\quad\Delta y=f(a+\Delta x)-f(a).$ $\Delta y\approx dy,\quad f(a+\Delta x)\approx f(a)+f'(a)\Delta x.$ Rinkis artimą patogų a. $\displaystyle \sqrt{4{,}1}\approx2+(\frac{1}{4})\cdot0{,}1=2{,}025$ . Santykinis mažos paklaidos įvertis: $\displaystyle \frac{|dy|}{|f(a)|}$ (kai f(a)≠0); procentinis – kart 100 %. Diferencialas yra tikslus tiesinio modelio pokytis, ne tikras Δy.

Matematika 1

Papildomos temos
Papildomos temos

Liestinė, normalė, kampas

Liestinė: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ . Normalė, kai f′(a)≠0: $\displaystyle y-f(a)=-\frac{x-a}{f'(a)}$ . Jei f′(a)=0, normalė x=a. Mažesniam kampui tarp liestinių: $\displaystyle \tan\varphi=|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}|$ . Jei m₁m₂=−1 – statmenos.

Parametrinė ir atvirkštinė

$x=x(t)$ , $y=y(t)$ , x′(t)≠0: $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)},\qquad\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(\frac{dy}{dx})'_t}{x'(t)}.$ Antroji nėra y″(t)/x″(t). Jei g=f⁻¹ ir f′(a)≠0: $\displaystyle g'(f(a))=\frac{1}{f'(a)}$ , kai atvirkštinė apibrėžta atitinkamoje aplinkoje.

Funkcijos tyrimas

Sritis → ribos ir trūkiai → asimptotės → f′ ženklai → f″ ženklai → grafikas. f′>0: didėja, f′<0: mažėja. f′ iš + į −: maksimumas; iš − į +: minimumas. f″>0: nuolydis didėja (dubuo), f″<0: mažėja (kepurė). Perlinkiui būtinas išlinkio pokytis. f′=0 ar f″=0 savaime nepakanka. Absoliutiems ekstremumams uždarame intervale tikrink ir kraštus.

Teiloro polinomas ir diferencialai

$\displaystyle T_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$ Esant reikalingam glodumui: $\displaystyle R_n=\frac{f^{(n+1)}(\xi)(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}$ , ξ tarp a ir x. Kai x nepriklausomas, dx pastovus: $d^ny=f^{(n)}(x)(dx)^n$ . Tai ne (dy)ⁿ. Prie 0: $\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^3)$ ; $\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)$ ; $\displaystyle \cos x=1-\frac{x^2}{2}+O(x^4)$ ; $\displaystyle \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$ .

Lopitalis tik jei leidžiama

Tik 0/0 arba ∞/∞ formai. Funkcijos diferencijuojamos pradurtoje aplinkoje, g′≠0; egzistuoja išvestinių santykio riba: $\displaystyle \lim\frac fg=\lim\frac{f'}{g'}.$ Kaskart kartojant tikrink sąlygas. Tai ne trupmenos išvestinė. Jei prašoma ribų pagal bendras taisykles be Lopitalio, šio metodo nenaudok. Kitus neapibrėžtumus pirma pertvarkyk.

Integralų pradžia

$\int f(x)dx=F(x)+C$ , kai F′=f. $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$ , kai f tolydi. $\displaystyle \int x^pdx=\frac{x^{p+1}}{p+1}+C$ , p≠−1; $\displaystyle \int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$ . $\int e^x dx=e^x+C$ ; $\int\cos x dx=\sin x+C$ ; $\int\sin x dx=-\cos x+C$ . Pakeitimas: $u=g(x)$ , du=g′(x)dx. Dalimis: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ .

Integralo prasmė ir patikra

$\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x.$ Tai plotas su ženklu. Geometriniam plotui integruok |f| arba skaidyk ties nuliais. Fizikoje $\Delta x=\int v\,dt$ , bet kelias $s=\int|v|dt$ . Pirmykštę tikrink diferencijuodamas. Neapibrėžtiniam +C būtina; apibrėžtinio atsakymas – skaičius.

Prieš atiduodant kontrolinį

Ar patikrinau sritį? Ar riba nebuvo tiesiog pavadinta 0/0? Ar ε–δ įrodyme kiekvienas ε ir tinkama δ? Ar rekursijos konvergavimas įrodytas? Ar asimptotėms tikrinau abi begalybes ir |x|? Ar grandinėje nepraleidau vidaus išvestinės? Ar „pagal apibrėžimą“ tikrai panaudojau ribą? Ar diferencialo apytikslę reikšmę pažymėjau ≈?