Mokykis

Mechanika 1 / mokymosi kelias

Fizika kontroliniui

Nuo brėžinio iki atsakymo

Penkios temos, 27 poskyriai ir penkių uždavinių savikontrolė. Pirmiausia suprask vieną pavyzdį, tada pakeisk bandymo sąlygą ir galiausiai spręsk pats.

Pradėti nuo kinematikos

Kiekvieno sprendimo eiga

  1. Atskirk kūną ir nupiešk veikiančias jėgas.
  2. Pasirink ašis ir pažymėk teigiamas kryptis.
  3. Rašyk ΣF = ma arba ΣM = Iε.
  4. Pridėk siūlo, riedėjimo ar energijos ryšį.
  5. Išreikšk nežinomąjį, įstatyk SI vienetus, patikrink prasmę.

Mokymosi planas šiandienai

Apie 4 val. mokymosi, 20 min. pertraukų, 45 min. savikontrolės ir 15 min. klaidų peržiūros. Jei laiko mažiau, pradėk nuo Atvudo mašinos, darbo–energijos skirtumo, strypo ir spyruoklės.

1. Kinematika: slinkimas ir sukimasisIš sąlygos pasirinkti judėjimo formulę ir atskirti greitį nuo pagreičio.40 min.2. Niutono dėsniai ir skridiniaiNupiešti tikrąsias jėgas ir iš kiekvieno kūno lygties rasti pagreitį bei įtempimą.45 min.3. Darbas, energija ir galiaAtskirti kiekvienos jėgos darbą, pasirinkti energijos lygtį ir nepriskaičiuoti sunkio du kartus.60 min.4. Kietojo kūno sukamasis judėjimasPasirinkti sukimosi ašį, inercijos momentą ir sujungti slinkimą su sukimusi.50 min.5. Harmoniniai svyravimaiIš svyravimo lygties perskaityti amplitudę ir periodą, rasti greitį, pagreitį bei energiją.45 min.5 uždaviniai be pagalbosSukurtas treniruočių variantas pagal šias temas; tikros užduotys gali skirtis.45 min.

Kokią lygtį rinktis?

Pagreitis, įtempimas, atrama
Brėžinys ir kiekvienam kūnui ΣF = ma.
Sukimo momentas, kampinis pagreitis
Pasirink ašį; ΣM = Iε; jei siūlas neslysta, a = εR.
Greitis po kelio, laiko nereikia
Visų jėgų darbas A_viso = ΔEₖ.
Aukštis, spyruoklė ir trintis
E₂ − E₁ = A_pap; sunkio ir spyruoklės neįskaičiuok du kartus.
Pasikartojantis judėjimas
Pradėk nuo grąžinamosios jėgos, tada ω, T ir energija.

Kaip skaityti bandymus

Rodyklės turi jėgų ar greičio pavadinimus; jų ilgiai scheminiai, o tikslūs dydžiai rodomi skaičiais. Grafikai turi ašis ir vienetus. „Paleisti“ lėtai perveda per pasirinktą intervalą; fizinis laikas rodomas atskirai. Bandymas pats neprasideda.

Skaitiniuose pavyzdžiuose g = 10 m/s², jei nenurodyta kitaip. Kontrolinyje imk sąlygoje duotą g; jei reikalaujama tikslesnio, naudok 9,81 m/s².

Vaizdo pavyzdys energijai

Conservation of Energy — Question Solutions. Nuo 3:15 pateiktas leidimosi pavyzdys, nuo 7:35 – dviejų kūnų sistema, nuo 9:00 – spyruoklės. Stebėk pradžios ir pabaigos būsenas ir prieš kiekvieną sprendimą pats surašyk energijas.

Kinematika: slinkimas ir sukimasis

Iš sąlygos pasirinkti judėjimo formulę ir atskirti greitį nuo pagreičio.

Kinematika: slinkimas ir sukimasis

Prieš skaičiuojant: vienetai ir kryptis

Automobilis juda į dešinę. Pasirenkame, kad į dešinę yra pliusas. Neigiamas greitis reikš judėjimą į kairę; neigiamas pagreitis – greičio kitimą į kairę. Tai nebūtinai reiškia lėtėjimą.

Kelias ir poslinkis6 m į dešinę2 m į kairęΔx = +4 mpradžia x = 0pabaiga x = 4 m
Tai trajektorijos schema, o ne jėgų brėžinys. Viršutinės rodyklės rodo nueitas atkarpas, apatinė – bendrą poslinkį. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

s=6+2=8 ms=6+2=8\,\text m
Δx=6−2=4 m\Delta x=6-2=4\,\text m
Formulės su paaiškinimais
vm/s=vkm/h3,6v_{\text{m/s}}=\frac{v_{\text{km/h}}}{3{,}6}

Ką daro. Paverčia greitį į SI vienetus.

Raidės ir vienetai. v – greitis; m/s – metrai per sekundę.

Kada taikyti. Prieš įstatant greitį į mechanikos formules.

Δx=x2−x1\Delta x=x_2-x_1

Ką daro. Randa poslinkį: kur baigei minus kur pradėjai.

Raidės ir vienetai. x₁, x₂ – pradžios ir pabaigos koordinatės (m); Δ – pokytis.

Kada taikyti. Kelias ir poslinkis sutampa tik judant viena kryptimi.

Pirmyn ir atgal

Duota
Nueita 6 m į dešinę, paskui 2 m į kairę; visas laikas 4 s.
Rasti
Kelias, poslinkis ir du vidutiniai greičiai.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Pasirenkame pradžią x₁ = 0 m, teigiamą kryptį į dešinę.
  2. Galutinė koordinatė x₂ = 6 − 2 = 4 m.
  3. Kelias sudeda abiejų atkarpų ilgius: s = 6 + 2 = 8 m.
  4. Poslinkis Δx = 4 − 0 = 4 m.
  5. Vidutinis kelinis greitis s/t = 8/4 = 2 m/s.
  6. Vidutinio greičio projekcija Δx/t = 4/4 = 1 m/s į dešinę.

Atsakymas. s = 8 m; Δx = +4 m.

Prasmė ir patikra. 72 km/h = 20 m/s; 20 cm = 0,20 m; 5 min = 300 s.

Du trumpi pasitikrinimai

Ar grįžus į pradinį tašką kelias lygus nuliui?

Ne. Nulinis poslinkis, o kelias yra visas nueitas atstumas.

v < 0 ir a < 0: greitėja ar lėtėja?

Greičio modulis didėja: abu dydžiai nukreipti ta pačia kryptimi.

Kinematika: slinkimas ir sukimasis

Tolygus ir tolygiai kintamas judėjimas

Vežimėlis pradeda važiuoti 2 m/s greičiu. Kiekvieną sekundę jo greitis padidėja dar 3 m/s. Vadinasi, pagreitis yra 3 m/s². Formules pasirenkame pagal tai, ar greitis kinta ir ar duotas laikas.

Vienodais laiko tarpais greitis didėjat = 0t = 4 sv₀ = 2 m/sv = 14 m/sΔx = 32 ma = +3 m/s²; +x į dešinę
Tai padėčių ir greičių schema. Judėjimą sukeliančių jėgų sąlyga nenurodo, todėl jų dydžių nepriskiriame. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

v=2+3tv=2+3t
Δx=2t+3t22\Delta x=2t+\frac{3t^2}{2}

Vežimėlis ir greičio grafiko plotas

vx = 3,5 mKelias nuo x = 0 iki 32 m004,218,4212,6316,84v (m/s)t (s)

Žiūrėk į užspalvintą plotą: stačiakampis v₀t ir trikampis at²/2 sudaro poslinkį. Tiesės statumas rodo pagreitį.

Interaktyviam bandymui reikia JavaScript; čia parodyta viena apskaičiuota būsena.

Formulės su paaiškinimais
s=vts=vt

Ką daro. Randa kelią, kai greičio dydis nekinta.

Raidės ir vienetai. s – kelias (m); v – greitis (m/s); t – laikas (s).

Kada taikyti. Tiesiam judėjimui viena kryptimi pastoviu greičiu.

v=v0+at,Δx=v0t+at22v=v_0+at,\qquad \Delta x=v_0t+\frac{at^2}{2}

Ką daro. Randa galutinį greitį ir poslinkį.

Raidės ir vienetai. v₀ – pradinis greitis (m/s); a – pastovus pagreitis (m/s²).

Kada taikyti. Kai pagreitis pastovus. Ženklus imk pagal pasirinktą ašį.

v2=v02+2aΔxv^2=v_0^2+2a\Delta x

Ką daro. Susieja greitį ir poslinkį be laiko.

Raidės ir vienetai. Visi greičiai ir pagreitis yra tos pačios ašies projekcijos.

Kada taikyti. Kai nėra laiko; iš šaknies dar reikia pasirinkti judėjimo kryptį.

Vežimėlis po 4 sekundžių

Duota
v₀ = 2 m/s, a = 3 m/s², t = 4 s.
Rasti
v ir Δx.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Pagreitis pastovus, todėl tinka v = v₀ + at.
  2. Greitis padidėja at = 3 · 4 = 12 m/s.
  3. Pridedame pradinį: v = 2 + 12 = 14 m/s.
  4. Poslinkį sudaro dvi dalys: v₀t = 2 · 4 = 8 m ir at²/2 = 3 · 16/2 = 24 m.
  5. Sudedame: Δx = 8 + 24 = 32 m.
  6. Patikra kitu būdu: vidutinis greitis (2 + 14)/2 = 8 m/s; 8 · 4 = 32 m.

Atsakymas. v = 14 m/s; Δx = 32 m.

Prasmė ir patikra. v(t) grafiko plotas yra 8 m stačiakampis ir 24 m trikampis.

Pabandyk pats

Iš rimties kūnas greitėja a = 2 m/s². Rask greitį ir kelią po 3 s.

Sprendimas ir atsakymas

v = 0 + 2 · 3 = 6 m/s; s = 2 · 3²/2 = 9 m.

Du trumpi pasitikrinimai

Kada galima s = vt su galutiniu v?

Kai tas greitis pastovus visą laiką.

Ką rodo v(t) tiesės statumas?

Pagreitį: kiek m/s greitis pasikeičia per vieną sekundę.

Kinematika: slinkimas ir sukimasis

Stabdymas, kritimas ir metimas

Stabdant greitis ir pagreitis priešingi. Krentant pagreitis nukreiptas žemyn. Abiem atvejais galioja tos pačios kinematikos formulės; reikia teisingų ženklų.

Greitis ir pagreitis priešingomis kryptimiskūnasv > 0a = −5 m/s²+x
Tai kinematikos schema: v ir a rodyklės nėra jėgos. Stabdymo jėgų detalės sąlygoje nenurodytos. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

v=20−5tv=20-5t
0=20−5tstop0=20-5t_{\text{stop}}
0=202+2(−5)sstop0=20^2+2(-5)s_{\text{stop}}
Formulės su paaiškinimais
tstop=v0∣a∣,sstop=v022∣a∣t_{\text{stop}}=\frac{v_0}{|a|},\qquad s_{\text{stop}}=\frac{v_0^2}{2|a|}

Ką daro. Randa sustojimo laiką ir kelią.

Raidės ir vienetai. |a| – lėtėjimo pagreičio modulis (m/s²).

Kada taikyti. Pastovus stabdymas iki pirmo sustojimo; po jo modelio netęsk kaip stabdymo.

h=gt22,v=2ghh=\frac{gt^2}{2},\qquad v=\sqrt{2gh}

Ką daro. Randa laisvojo kritimo kelią ir greitį.

Raidės ir vienetai. g – laisvojo kritimo pagreitis; šiame kelyje pavyzdžiams g = 10 m/s².

Kada taikyti. Paleista iš rimties; oro pasipriešinimo nėra.

x=v0cos⁡αt,y=v0sin⁡αt−gt22x=v_0\cos\alpha t,\qquad y=v_0\sin\alpha t-\frac{gt^2}{2}

Ką daro. Aprašo įstrižą metimą dviem kryptimis.

Raidės ir vienetai. α – metimo kampas nuo horizontalės; x, y – poslinkiai (m).

Kada taikyti. Pradžia y = 0, y ašis aukštyn, nėra oro pasipriešinimo.

Automobilio stabdymas

Duota
v₀ = 72 km/h = 20 m/s; a = −5 m/s².
Rasti
Laikas ir kelias iki sustojimo.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Sustojimas reiškia v = 0. Rašome 0 = 20 − 5t.
  2. Atimame 20: −20 = −5t. Padalijame iš −5: t = 4 s.
  3. Be laiko: 0² = 20² + 2 · (−5) · s.
  4. Gauname 0 = 400 − 10s; pridedame 10s: 10s = 400.
  5. Padalijame iš 10: s = 40 m.
  6. Tai kelias po stabdymo pradžios; reakcijos kelias būtų papildomas v₀tᵣ.

Atsakymas. t = 4 s; s = 40 m.

Prasmė ir patikra. Dvigubas pradinis greitis esant tam pačiam |a| duoda keturgubą stabdymo kelią.

Du trumpi pasitikrinimai

Ar į viršų mesto kūno viršuje pagreitis nulinis?

Ne, a = −g; viršuje nulinis tik vertikalus greitis.

Kūnas krinta iš 5 m. Koks greitis apačioje?

v = √(2 · 10 · 5) = 10 m/s.

Kinematika: slinkimas ir sukimasis

Apsisukimai, kampinis greitis ir pagreitis

Ant rato krašto pažymėtas taškas per vieną apsisukimą nueina visą apskritimą. Visi rato taškai apsisuka tuo pačiu kampu, tačiau toliau nuo ašies esantis taškas nueina ilgesnį kelią.

Tolygus sukimasis: ε = 0, aτ = 0Rvaₙv ⟂ Raₙ į centrą
Tai greičio ir pagreičio schema, ne atskirų jėgų sąrašas. Kuri sąveika suteikia įcentrinį pagreitį, konkrečios rato sąlygos nepasako. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

v=ωRv=\omega R
an=ω2R,aτ=0a_n=\omega^2R,\qquad a_\tau=0

Greitis liestine, pagreitis į centrą

vaₙViena apskritimo trajektorija; R = 0,5 mv – liestine; aₙ – centro link; aτ = εR001,90,253,80,55,70,757,51v (m/s)t (s)

Net jei ε = 0, nenulinio greičio rodyklė sukasi, todėl aₙ lieka. Rodyklių ilgiai scheminiai: lygink kryptis ir skaitines reikšmes.

Interaktyviam bandymui reikia JavaScript; čia parodyta viena apskaičiuota būsena.

Formulės su paaiškinimais
ω=2πf,f=n60,T=1f\omega=2\pi f,\qquad f=\frac{n}{60},\qquad T=\frac1f

Ką daro. Paverčia apsisukimus į kampinį greitį ir periodą.

Raidės ir vienetai. ω – rad/s; f – aps./s = Hz; n – aps./min skaitinė vertė; T – vieno apsisukimo laikas (s).

Kada taikyti. Vienas apsisukimas = 2π rad. n/60 taikoma, kai duota aps./min.

v=ωR,an=v2R=ω2R,aτ=εRv=\omega R,\qquad a_n=\frac{v^2}{R}=\omega^2R,\qquad a_\tau=\varepsilon R

Ką daro. Susieja sukimąsi su krašto taško greičiu ir pagreičiais.

Raidės ir vienetai. R – spindulys (m); aₙ – į centrą; aτ – liestine; ε – kampinis pagreitis (rad/s²).

Kada taikyti. aₙ keičia kryptį, aτ keičia greičio dydį.

ω=ω0+εt,φ=ω0t+εt22\omega=\omega_0+\varepsilon t,\qquad \varphi=\omega_0t+\frac{\varepsilon t^2}{2}

Ką daro. Tai tiesaus judėjimo formulių sukimosi atitikmenys.

Raidės ir vienetai. φ – posūkis (rad); apsisukimų skaičius N = φ/(2π).

Kada taikyti. Pastovus kampinis pagreitis. Kai reikia bendro pagreičio: a = √(aₙ² + aτ²).

Ratas sukasi 120 aps./min

Duota
n = 120 aps./min, R = 0,50 m; sukasi tolygiai.
Rasti
f, T, ω, v ir aₙ.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Per sekundę: f = 120/60 = 2 Hz.
  2. Vienam apsisukimui T = 1/2 = 0,50 s.
  3. Kampinis greitis ω = 2π · 2 = 4π ≈ 12,57 rad/s.
  4. Krašto greitis v = ωR = 4π · 0,50 = 2π ≈ 6,28 m/s.
  5. Įcentrinis pagreitis aₙ = ω²R = (4π)² · 0,50 ≈ 78,96 m/s².
  6. Tolygiai sukantis ε = 0 ir aτ = 0, bet aₙ nenulinis, nes nuolat kinta greičio kryptis.

Atsakymas. ω ≈ 12,57 rad/s; v ≈ 6,28 m/s; aₙ ≈ 78,96 m/s².

Prasmė ir patikra. Jei R perpus mažesnis, ω tas pats, bet v ir aₙ perpus mažesni.

Pabandyk pats

Diskas iš rimties sukasi ε = 2 rad/s². Rask ω ir φ po 3 s.

Sprendimas ir atsakymas

ω = 2 · 3 = 6 rad/s; φ = 2 · 3²/2 = 9 rad; N = 9/(2π) ≈ 1,43 apsisukimo.

Du trumpi pasitikrinimai

Kur nukreiptas greitis apskritime?

Liestine, statmenai spinduliui.

Kur nukreiptas aₙ?

Į apskritimo centrą; tai nėra greičio rodyklės kryptis.

Kita tema: Niutono dėsniai ir skridiniai →

Niutono dėsniai ir skridiniai

Nupiešti tikrąsias jėgas ir iš kiekvieno kūno lygties rasti pagreitį bei įtempimą.

Niutono dėsniai ir skridiniai

Trys dėsniai ir laisvojo kūno brėžinys

Dėžę stumi į dešinę, o trintis veikia į kairę. Judėjimą keičia jų skirtumas. Jėgų brėžinyje piešiame tik tai, kas veikia pasirinktą kūną; jo paties jėgų į aplinką ten nededame.

Atskirtas kūnas3 kgNmg18 N6 N+x+y
Dėžė slenka į dešinę. Visos keturios rodyklės yra jėgos, veikiančios tą pačią dėžę; jų nesumaišyk su dėžės poveikiu aplinkai. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

18−6=3ax18-6=3a_x
N−30=0N-30=0
Formulės su paaiškinimais
∑Fx=max,∑Fy=may\sum F_x=ma_x,\qquad \sum F_y=ma_y

Ką daro. Sujungia visas kūną veikiančias jėgas kiekviena kryptimi.

Raidės ir vienetai. Σ – sudėti su ženklais; F – N; m – kg; a – m/s².

Kada taikyti. Inercinėje atskaitos sistemoje. a = 0 leidžia judėti pastoviu greičiu.

F⃗A→B=−F⃗B→A\vec F_{A\to B}=-\vec F_{B\to A}

Ką daro. Aprašo vienodo dydžio priešingas sąveikos jėgas.

Raidės ir vienetai. Rodyklė indekse nurodo, kas ką veikia.

Kada taikyti. Šios jėgos veikia skirtingus kūnus, todėl vieno kūno brėžinyje nesusinaikina.

Dėžę veikia 18 N ir 6 N

Duota
m = 3 kg; trauka 18 N į dešinę; trintis 6 N į kairę; vertikalaus judėjimo nėra.
Rasti
Pagreitis.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Atskiriame dėžę. Brėžiame: mg žemyn, N aukštyn, F į dešinę, Ftr į kairę.
  2. Pasirenkame +x į dešinę ir +y aukštyn.
  3. Vertikaliai: N − mg = 0, todėl N = 3 · 10 = 30 N.
  4. Horizontaliai: 18 − 6 = 3a.
  5. Atimame: 12 = 3a. Padalijame iš 3 kg: a = 4 m/s².
  6. Pagreičio ženklas nurodo greičio kitimo kryptį; greičio kryptį reikia žinoti atskirai.

Atsakymas. a = 4 m/s² į dešinę.

Prasmė ir patikra. I dėsnis: kai ΣF = 0, greitis nekinta. II: ΣF = ma. III: jėgų pora veikia du kūnus.

Du trumpi pasitikrinimai

Ar judėjimui visada reikia nenulinės atstojamosios?

Ne. Pastoviam tiesiam greičiui ΣF = 0.

Ar N ir mg yra III dėsnio pora?

Ne. Abi veikia dėžę; jų sąveikos poros veikia atramą ir Žemę.

Niutono dėsniai ir skridiniai

Kaip atpažinti sunkį, atramą, trintį ir įtempimą

Jėgą atpažink pagal sąveiką: Žemė traukia, paviršius remia, siūlas tempia, spyruoklė grąžina. Atrama statmena paviršiui, o trintis lygiagreti jam.

Kūnas ant šlaito2 kgmgNFtr+x+y+x žemyn šlaitu
Dėžė jau slysta žemyn 30° šlaitu. Teigiama x kryptis žemyn šlaitu, y – statmenai nuo šlaito. Trintis prieš slydimą. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

mgsin⁡α−Ftr=mamg\sin\alpha-F_{\text{tr}}=ma
N−mgcos⁡α=0N-mg\cos\alpha=0
Ftr=μNF_{\text{tr}}=\mu N

Dėžė slysta žemyn šlaitu

mgNFtr+xKūnas jau slysta žemyn; pradinis v = 4 m/s001,80,133,70,255,50,387,30,5v palei šlaitą (m/s)t (s)

Sunkio dedamoji žemyn didesnė už trintį aukštyn, todėl slydimas greitėja.

Interaktyviam bandymui reikia JavaScript; čia parodyta viena apskaičiuota būsena.

Formulės su paaiškinimais
Fg=mg,Ftr=μN,Ftam,x=−kxF_g=mg,\qquad F_{\text{tr}}=\mu N,\qquad F_{\text{tam},x}=-kx

Ką daro. Apskaičiuoja sunkį, slydimo trintį ir spyruoklės grąžinamąją jėgą.

Raidės ir vienetai. μ – slydimo koeficientas (be vieneto); k – standumas (N/m); x – deformacija (m).

Kada taikyti. Ftr = μN tik slydimui. Rimties trintis prisitaiko: |Ftr| ≤ μₛN.

N=mgcos⁡α,Fg,∥=mgsin⁡αN=mg\cos\alpha,\qquad F_{g,\parallel}=mg\sin\alpha

Ką daro. Suskaido sunkį šlaite.

Raidės ir vienetai. α – šlaito kampas nuo horizontalės.

Kada taikyti. Kūnas išlieka ant tiesaus šlaito; nėra kitų statmenų jėgų ar pagreičio nuo paviršiaus.

Dėžė slysta 30° šlaitu

Duota
m = 2 kg, μ = 0,20, α = 30°, g = 10 m/s²; dėžė jau slysta žemyn.
Rasti
N, Ftr ir a.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Sunkis mg = 20 N. Jo dedamoji palei šlaitą 20 sin30° = 10 N.
  2. Statmena dedamoji 20 cos30° ≈ 17,32 N, todėl N ≈ 17,32 N.
  3. Slydimo trintis veikia aukštyn šlaitu: Ftr = 0,20 · 17,32 ≈ 3,46 N.
  4. Teigiama kryptis žemyn šlaitu. Rašome mg sinα − Ftr = ma.
  5. 10 − 3,46 = 2a; a ≈ 3,27 m/s² žemyn šlaitu.
  6. N nėra 20 N, nes atrama atsveria tik statmeną sunkio dalį.

Atsakymas. N ≈ 17,32 N; Ftr ≈ 3,46 N; a ≈ 3,27 m/s².

Prasmė ir patikra. Jei dėžė dar nejuda, pirmiausia palygink mg sinα su μₛmg cosα.

Du trumpi pasitikrinimai

Kada N = mg?

Kai horizontali atrama ir vertikaliai nėra pagreičio bei kitų vertikalių jėgų.

Ar siūlas gali stumti kūną?

Ne. Įtempimas veikia išilgai siūlo nuo kūno link siūlo.

Niutono dėsniai ir skridiniai

Atvudo mašina: nesvarus nejudamas skridinys

Sunkesnis krovinys leidžiasi, lengvesnis kyla. Abu turi vienodo modulio pagreitį, nes netąsaus siūlo ilgis nekinta. Idealus nesvarus skridinys leidžia naudoti vienodą įtempimą abiejose pusėse.

2 kg krovinys2 kgT₁20 N3 kg krovinys3 kgT₂30 NaaNesvarus idealus skridinys: T₁ = T₂ = T
Abu kroviniai nupiešti atskirai. Lengvam teigiama kryptis aukštyn, sunkiam žemyn. Pagreičio moduliai vienodi; T žymi siūlo, o ne sunkio jėgą. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

T−20=2a,30−T=3aT-20=2a,\qquad30-T=3a
a1=a2=a,T1=T2=Ta_1=a_2=a,\qquad T_1=T_2=T

Du kroviniai ir vienas siūlas

T₁m₁gT₂m₂gm₁ = 2 kgm₂ = 3 kgM = 0: vienodas T abiejose pusėse000,30,130,60,250,90,381,20,5v₂ žemyn (m/s)t (s)

Sunkesnis dešinysis leidžiasi. Nesvariam skridiniui T₁ = T₂.

Interaktyviam bandymui reikia JavaScript; čia parodyta viena apskaičiuota būsena.

Formulės su paaiškinimais
m2g−T=m2a,T−m1g=m1am_2g-T=m_2a,\qquad T-m_1g=m_1a

Ką daro. Užrašo atskirą lygtį kiekvienam kroviniui.

Raidės ir vienetai. m₂ > m₁; lengvam teigiama kryptis aukštyn, sunkiam žemyn; T – įtempimas (N).

Kada taikyti. Siūlas nesvarus, netąsus, įtemptas; skridinys nesvarus, ašies trinties nėra.

a=(m2−m1)gm1+m2,T=m1(g+a)=m2(g−a)a=\frac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2},\qquad T=m_1(g+a)=m_2(g-a)

Ką daro. Randa pagreitį ir patikrina įtempimą dviem būdais.

Raidės ir vienetai. m₁ + m₂ – visa greitinama masė; (m₂ − m₁)g – varančių sunkių skirtumas.

Kada taikyti. Vienas nejudamas idealus skridinys su dviem kabančiais kroviniais.

2 kg ir 3 kg kroviniai

Duota
m₁ = 2 kg, m₂ = 3 kg, g = 10 m/s².
Rasti
a ir T.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Lengvam kroviniui: T − 20 = 2a, nes jis kyla.
  2. Sunkiam: 30 − T = 3a, nes jis leidžiasi.
  3. Sudedame abi lygtis: T − 20 + 30 − T = 2a + 3a.
  4. Įtempimai susiprastina: 10 = 5a, taigi a = 2 m/s².
  5. Įstatome į lengvo kūno lygtį: T = 20 + 2 · 2 = 24 N.
  6. Patikriname sunkiu: T = 30 − 3 · 2 = 24 N.

Atsakymas. a = 2 m/s²; T = 24 N.

Prasmė ir patikra. 20 N < 24 N < 30 N. Lengvą krovinį tempia daugiau už jo sunkį, sunkų – mažiau.

Pabandyk pats

m₁ = 1 kg, m₂ = 4 kg, g = 10. Rask a ir T.

Sprendimas ir atsakymas

a = (4 − 1) · 10/(4 + 1) = 6 m/s²; T = 1 · (10 + 6) = 16 N.

Du trumpi pasitikrinimai

Kodėl T nelygu kiekvieno krovinio mg?

Nes kroviniai greitėja. T = mg tik pusiausvyros arba pastovaus vertikalaus greičio atveju.

Jei m₁ = m₂?

a = 0; T = mg. Pradinis greitis gali būti ir nenulinis.

Niutono dėsniai ir skridiniai

Kūnas ant stalo, judamas skridinys ir liftas

Nesimokyk vienos skridinio formulės visiems brėžiniams. Pirmiausia suskaičiuok kūną laikančias siūlo šakas ir nuspręsk, kaip vieno kūno poslinkis susijęs su kito.

3 kg ant lygaus stalo2 kg kabantis3 kgN30 NT2 kgT20 N+x →; trinties nėra+y žemyn
Kiekvieną kūną nagrinėjame atskirai. Dėžės vertikalias jėgas atsveria atrama; kabantį kūną žemyn greitina sunkio ir įtempimo skirtumas. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

T=3aT=3a
20−T=2a20-T=2a
N−30=0,∣a1∣=∣a2∣N-30=0,\qquad |a_1|=|a_2|
Formulės su paaiškinimais
a=m2g−μm1gm1+m2a=\frac{m_2g-\mu m_1g}{m_1+m_2}

Ką daro. Randa stalo ir kabančio krovinio pagreitį, kai kabantis leidžiasi.

Raidės ir vienetai. m₁ – ant stalo; m₂ – kabantis; μ – slydimo trintis.

Kada taikyti. Idealus nejudamas skridinys, horizontali stalo dalis, pasirinkta judėjimo kryptis iš tikrųjų vyksta.

2T−mg=ma,∣agalo∣=2∣akrovinio∣2T-mg=ma,\qquad |a_{\text{galo}}|=2|a_{\text{krovinio}}|

Ką daro. Aprašo krovinį ant bemasio judamo skridinio.

Raidės ir vienetai. 2T – dvi keliančios siūlo šakos; pirmoje lygtyje + kryptis aukštyn.

Kada taikyti. Vienas galas pritvirtintas, dvi lygiagrečios vertikalios šakos; bendras siūlo ilgis nekinta.

N=m(g+a),N=m(g−a)N=m(g+a),\qquad N=m(g-a)

Ką daro. Randa svarstyklių rodmenį lifte.

Raidės ir vienetai. Pirmas atvejis – pagreitis aukštyn, antras – žemyn; a čia teigiamas modulis.

Kada taikyti. Svarbu pagreičio, o ne vien greičio kryptis; kontaktas su svarstyklėmis išlieka.

Dėžė ant stalo traukiama krovinio

Duota
m₁ = 3 kg, m₂ = 2 kg; stalas lygus; g = 10 m/s².
Rasti
a ir T.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Dėžę horizontaliai veikia tik siūlas: T = 3a.
  2. Kabančiam kūnui + kryptis žemyn: 20 − T = 2a.
  3. Įstatome T = 3a: 20 − 3a = 2a.
  4. Pridedame 3a prie abiejų pusių: 20 = 5a.
  5. a = 4 m/s², o T = 3 · 4 = 12 N.
  6. Ant stalo N = 30 N. Tai nėra siūlo įtempimas: jėgos skirtingomis kryptimis.

Atsakymas. a = 4 m/s²; T = 12 N.

Prasmė ir patikra. Judamam skridiniui šių poslinkių ryšio naudoti negalima: laisvas galas juda dvigubai daugiau.

Du trumpi pasitikrinimai

Lynas laiko bemasį judamą skridinį su 4 kg kroviniu ramybėje. Koks T?

2T = 40 N, todėl T = 20 N.

60 kg žmogus lifte, a = 2 m/s² aukštyn. Koks N?

N = 60 · (10 + 2) = 720 N.

Kita tema: Darbas, energija ir galia →

Darbas, energija ir galia

Atskirti kiekvienos jėgos darbą, pasirinkti energijos lygtį ir nepriskaičiuoti sunkio du kartus.

Darbas, energija ir galia

Kuri jėga atlieka darbą?

Traukiama dėžė slenka horizontaliai. Trauka duoda energijos, trintis ją atima. Sunkis ir atrama statmeni poslinkiui, todėl šiame judėjime jų darbas nulinis. Jėgos buvimas dar nereiškia, kad ji atlieka darbą.

Atskirtas kūnas2 kgNmgF = 20 NFtr+x+y60°
Trauka palinkusi 60° nuo horizontalės. Jos vertikali dedamoji sumažina N, todėl trintį skaičiuojame nuo N = mg − F sin60°, o ne nuo mg. Poslinkis horizontalus į dešinę. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

Fcos⁡60∘−Ftr=maxF\cos60^\circ-F_{\text{tr}}=ma_x
N+Fsin⁡60∘−mg=0N+F\sin60^\circ-mg=0
Ftr=μNF_{\text{tr}}=\mu N

Kiekvienos jėgos darbas

FFtrmgNDarbą sekame pagal poslinkį s; laiko neskaičiuojame0090,75181,5272,25363Traukos darbas (J)s (m)

Horizontalus poslinkis: A_N = A_g = 0. Traukos vertikalioji dalis sumažina N, todėl sumažėja ir μN. Skaičiuojame darbą pagal poslinkį, o ne judėjimo laiką.

Interaktyviam bandymui reikia JavaScript; čia parodyta viena apskaičiuota būsena.

Formulės su paaiškinimais
AF=Fscos⁡αA_F=Fs\cos\alpha

Ką daro. Randa vienos pastovios jėgos darbą.

Raidės ir vienetai. A – darbas (J); F – jėga (N); s – tiesaus poslinkio ilgis (m); α – kampas tarp jėgos ir poslinkio.

Kada taikyti. Jėga pastovi; kampas nekinta. 1 J = 1 N · m.

Aviso=∑AFA_{\text{viso}}=\sum A_F

Ką daro. Sudedami visų jėgų darbai su ženklais.

Raidės ir vienetai. Teigiamas darbas didina kinetinę energiją; neigiamas ją mažina.

Kada taikyti. α = 0°: +Fs; 90°: 0; 180°: −Fs.

Horizontaliai traukiama dėžė

Duota
F = 20 N kampu 60° aukštyn; m = 2 kg; μ = 0,20; s = 3 m; g = 10. Kūnas slysta horizontaliai.
Rasti
Kiekvienos jėgos ir bendras darbas.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Traukos horizontalioji dalis F cos60° = 10 N. Jos darbas A_F = 20 · 3 · 0,5 = 30 J.
  2. Vertikalioji traukos dalis F sin60° ≈ 17,32 N palengvina atramą.
  3. Vertikaliai a = 0: N + 17,32 − 20 = 0, todėl N ≈ 2,68 N > 0.
  4. Trintis Ftr = μN ≈ 0,536 N; ji prieš poslinkį, todėl A_tr ≈ −0,536 · 3 = −1,61 J.
  5. Sunkis ir atrama vertikalūs, o poslinkis horizontalus: A_g = A_N = 0.
  6. Visas darbas 30 − 1,61 + 0 + 0 ≈ 28,39 J.

Atsakymas. A_F = 30 J; A_tr ≈ −1,61 J; A_viso ≈ 28,39 J.

Prasmė ir patikra. Traukiant į viršų N nebūtinai lygu mg. Jei skaičiavimas duotų N < 0, horizontalaus slydimo modelis nebetiktų.

Du trumpi pasitikrinimai

Ar įcentrinė jėga atlieka darbą tolygiame apskritime?

Ne: ji statmena momentiniam poslinkiui.

Ar atramos darbas visada nulinis?

Ne. Judanti atrama gali perduoti energiją; nulį tikriname pagal jos veikimo taško poslinkį.

Darbas, energija ir galia

Visų jėgų darbas: A = Eₖ₂ − Eₖ₁

Jei klausia greičio po tam tikro kelio, dažnai galima apsieiti be laiko. Suskaičiuok visų jėgų darbą ir pridėk jį prie pradinės kinetinės energijos.

Atskirtas kūnas2 kgNmg10 N2 N+x+y
Kūnas slenka į dešinę. Traukos darbas teigiamas, trinties neigiamas; sunkis ir atrama statmeni poslinkiui. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

10−2=2ax10-2=2a_x
N−20=0N-20=0
(10−2)s=mv222−mv122(10-2)s=\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}
Formulės su paaiškinimais
Ek=mv22,Aviso=Ek2−Ek1E_k=\frac{mv^2}{2},\qquad A_{\text{viso}}=E_{k2}-E_{k1}

Ką daro. Susieja darbą su judėjimo energijos pokyčiu.

Raidės ir vienetai. Indeksas 1 – pradžia, 2 – pabaiga; v – greičio modulis (m/s).

Kada taikyti. Materialiojo taško modeliui. Sukantis kietam kūnui reikia ir sukimosi energijos.

v2=v12+2Avisomv_2=\sqrt{v_1^2+\frac{2A_{\text{viso}}}{m}}

Ką daro. Iš darbo tiesiogiai randa galutinį greičio modulį.

Raidės ir vienetai. Po šaknimi turi būti neneigiamas skaičius.

Kada taikyti. Jei gaunasi neigiamas, kūnas pasirinkto taško tokiu judėjimu nepasiekia.

Trauka ir trintis pagreitina dėžę

Duota
m = 2 kg, v₁ = 1 m/s; horizontali trauka 10 N; trintis 2 N; s = 3 m.
Rasti
Galutinis greitis.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Traukos darbas +10 · 3 = +30 J.
  2. Trinties darbas −2 · 3 = −6 J. Atramos ir sunkio darbai 0.
  3. A_viso = 30 − 6 = 24 J.
  4. Pradinė kinetinė energija Eₖ₁ = 2 · 1²/2 = 1 J.
  5. Iš A_viso = Eₖ₂ − Eₖ₁ gauname Eₖ₂ = Eₖ₁ + A_viso = 1 + 24 = 25 J.
  6. 25 = 2v₂²/2, todėl v₂² = 25 ir greičio modulis v₂ = 5 m/s.

Atsakymas. v₂ = 5 m/s.

Prasmė ir patikra. Vien traukos 30 J negalima įrašyti vietoj visų jėgų darbo 24 J.

Pabandyk pats

3 kg kūnas juda 4 m/s. Visos jėgos atlieka −18 J darbą. Koks galutinis greitis?

Sprendimas ir atsakymas

Eₖ₁ = 24 J; Eₖ₂ = 24 − 18 = 6 J; v₂ = √(2 · 6/3) = 2 m/s.

Du trumpi pasitikrinimai

Ką reiškia neigiamas A_viso?

Kinetinė energija sumažėja, bet pati kinetinė energija negali būti neigiama.

Ar dvigubas greitis reiškia dvigubą Eₖ?

Ne. Eₖ didėja keturis kartus.

Darbas, energija ir galia

Mechaninės energijos tvermė

Krentantis kamuolys praranda aukščio energiją ir įgauna judėjimo energijos. Jei pasipriešinimo nėra, jų suma nekinta. Aukščio nulį galima pasirinkti patogiai, tačiau abiem būsenoms jis turi būti tas pats.

Galimas šio pavyzdžio judėjimas: laisvas kritimas2 kgmg = 20 N+y žemynNėra atramos, lyno ar oro pasipriešinimo.
Pasirinktas vertikalus kritimas iš 5 m. Vienintelė kūną veikianti jėga – sunkis; šiame laisvojo kūno brėžinyje atramos reakcijos nėra. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

mg=may⇒ay=gmg=ma_y\quad\Rightarrow\quad a_y=g
mgh=mv22mgh=\frac{mv^2}{2}

Aukščio energija virsta judėjimu

mgPradinis aukštis 5 mh = 3,75 mv = 5 m/s0031,2562,593,75125v (m/s)Nusileista (m)

Eₚ + Eₖ nekinta: aukščio juosta trumpėja tiek, kiek pailgėja judėjimo juosta.

Interaktyviam bandymui reikia JavaScript; čia parodyta viena apskaičiuota būsena.

Formulės su paaiškinimais
E=Ek+Ep,Ep=mgh,Ep,sp=kx22E=E_k+E_p,\qquad E_p=mgh,\qquad E_{p,\text{sp}}=\frac{kx^2}{2}

Ką daro. Suskaičiuoja judėjimo, aukščio ir spyruoklės energijas.

Raidės ir vienetai. h – masės centro aukštis (m); x – spyruoklės deformacija nuo natūralaus ilgio (m).

Kada taikyti. mgh – netoli Žemės paviršiaus; kx²/2 – tiesinei spyruoklei.

mv122+mgh1=mv222+mgh2\frac{mv_1^2}{2}+mgh_1=\frac{mv_2^2}{2}+mgh_2

Ką daro. Palygina dvi būsenas, kai mechaninė energija tveriasi.

Raidės ir vienetai. Abiejose pusėse surašomos to paties pasirinkto modelio energijos.

Kada taikyti. Nėra trinties ar kitų papildomų energiją keičiančių darbų; nekintanti ideali atrama darbo neatlieka.

Leidimasis iš 5 m aukščio

Duota
m = 2 kg, h₁ = 5 m, h₂ = 0, v₁ = 0; trinties nėra; g = 10.
Rasti
Greitis apačioje.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Pradžioje Eₖ₁ = 0, Eₚ₁ = 2 · 10 · 5 = 100 J.
  2. Apačioje Eₚ₂ = 0, todėl iš tvermės Eₖ₂ = 100 J.
  3. Rašome 100 = 2v₂²/2.
  4. Sutrumpiname 2: 100 = v₂².
  5. Ištraukiame teigiamą šaknį greičio moduliui: v₂ = 10 m/s.
  6. Masė sutrumpėtų ir bendroje formulėje mgh = mv²/2: v = √(2gh).

Atsakymas. v₂ = 10 m/s.

Prasmė ir patikra. Tas pats greitis iš to paties aukščio gaunamas ir lygiu vingiuotu šlaitu, jei kūnas išlaiko kontaktą ir nesisuka.

Du trumpi pasitikrinimai

Ar į energijos lygtį papildomai pridėti sunkio darbą, jei jau yra mgh?

Ne. Tai būtų tos pačios sąveikos įskaičiavimas du kartus.

Ar Eₚ gali būti neigiama?

Taip, pagal pasirinktą aukščio nulį. Fiziškai svarbūs jos pokyčiai.

Darbas, energija ir galia

Trintis ir mechaninės energijos pokytis

Su trintimi mechaninė energija mažėja: dalis virsta vidine energija ir šiluma. Bendra energija neišnyksta. Kai sunkį ir spyruoklę jau aprašėme potencine energija, likusių jėgų darbą rašome atskirai.

Kūnas ant šlaito2 kgmgNFtr+x+y+x žemyn šlaitu
Parodyta galima nusileidimo realizacija – tiesus šlaitas. Kampas ir kelias sąlygoje neduoti, todėl atskiro trinties dydžio nespėjame; žinome tik jos darbą −20 J. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

mgsin⁡α−Ftr=mamg\sin\alpha-F_{\text{tr}}=ma
N−mgcos⁡α=0N-mg\cos\alpha=0
Atr=−Ftrs=−20 JA_{\text{tr}}=-F_{\text{tr}}s=-20\,\text{J}
Formulės su paaiškinimais
E2−E1=Apap,Ek1+Ep1+Apap=Ek2+Ep2E_2-E_1=A_{\text{pap}},\qquad E_{k1}+E_{p1}+A_{\text{pap}}=E_{k2}+E_{p2}

Ką daro. Randa mechaninės energijos pokytį dėl papildomų darbų.

Raidės ir vienetai. A_pap – darbai, kurių sąveikos neįtrauktos į pasirinktą Eₚ; pvz., trauka, slydimo trintis.

Kada taikyti. Sunkio darbą pakeitus Δ(mgh), jo dar kartą į A_pap nedėk.

Atr=−μNs,Q=μNsA_{\text{tr}}=-\mu Ns,\qquad Q=\mu Ns

Ką daro. Randa slydimo trinties darbą ir išsisklaidžiusią mechaninę energiją.

Raidės ir vienetai. s – slydimo kelias (m); Q – šiluma paprastame šiame modelyje (J).

Kada taikyti. Pastovūs μ, N ir nejudantis paviršius.

Leidimasis su 20 J nuostoliu

Duota
m = 2 kg; h₁ = 5 m, h₂ = 0, v₁ = 0; A_tr = −20 J; g = 10.
Rasti
Galutinis greitis.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Pradinė mechaninė energija E₁ = mgh₁ = 100 J.
  2. Papildomas darbas yra trinties: A_pap = −20 J.
  3. Rašome E₂ = E₁ + A_pap = 100 − 20 = 80 J.
  4. Apačioje visa likusi mechaninė energija kinetinė: mv₂²/2 = 80.
  5. Dauginame iš 2 ir dalijame iš m: v₂² = 2 · 80/2 = 80.
  6. v₂ = √80 ≈ 8,94 m/s. Tai mažiau už 10 m/s be trinties.

Atsakymas. v₂ ≈ 8,94 m/s; mechaninės energijos sumažėjo 20 J.

Prasmė ir patikra. Konservatyviosios jėgos darbas priklauso tik nuo pradžios ir pabaigos; slydimo trinties – ir nuo nueito kelio.

Du trumpi pasitikrinimai

Uždaru ratu grįžus į tą patį aukštį, koks sunkio darbas?

0 J. Aukščio pokyčio nėra.

O slydimo trinties darbas uždarame kelyje?

Neigiamas: energija išsisklaido visame slydimo kelyje.

Darbas, energija ir galia

Archimedo jėga ir jos darbas

Vanduo stumia panardintą kūną aukštyn. Svarbus išstumto skysčio tūris, o ne vien kūno masė. Kylant plūdrumo jėgos darbas teigiamas, leidžiantis – neigiamas.

Visas tūris po vandeniu; kūnas keliamas aukštynV = 2 lFₐ = 20 NFkelmg+x+y
Archimedo jėga visada aukštyn, sunkis žemyn. Kėlimo jėga ir masė pagrindinėje sąlygoje neduotos, todėl jų dydžių nespėjame. Tik lėto kėlimo atveju aᵧ ≈ 0 ir Fkel = mg − Fₐ. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

Fkel+FA−mg=mayF_{\text{kel}}+F_A-mg=ma_y
FA=1000⋅10⋅0,002=20 NF_A=1000\cdot10\cdot0{,}002=20\,\text N
AA=FA⋅0,30=6 JA_A=F_A\cdot0{,}30=6\,\text J

Plūdrumo jėga ir vertikalus judėjimas

F_A = 20 Nmg = 30 NFišor ↑ 10 N3 kg kūnas visas po vandeniu; lėtas judėjimasJėgų ilgiai scheminiai; +y aukštyn001,80,083,60,155,40,227,20,3Archimedo darbas (J)Kelias (m)

Archimedo jėga ir poslinkis aukštyn: teigiamas jos darbas. Judėjimą lėtai valdo išorinis mechanizmas. Jo jėga atsveria mg − F_A ir gali būti nukreipta aukštyn arba žemyn; tai nėra laisvas kilimas.

Interaktyviam bandymui reikia JavaScript; čia parodyta viena apskaičiuota būsena.

Formulės su paaiškinimais
FA=ρskgVpan,AA=FAscos⁡αF_A=\rho_{\text{sk}}gV_{\text{pan}},\qquad A_A=F_A s\cos\alpha

Ką daro. Apskaičiuoja plūdrumo jėgą ir jos darbą, kai ji pastovi.

Raidės ir vienetai. ρsk – skysčio tankis (kg/m³); Vpan – panardintos dalies tūris (m³); 1 l = 0,001 m³.

Kada taikyti. Vienalyčiame skystyje. Darbo formulė su pastovia F_A tinka tik nekintant Vpan.

A=plotas po F(s) grafikuA=\text{plotas po }F(s)\text{ grafiku}

Ką daro. Leidžia apskaičiuoti ir kintančios jėgos darbą be integralo.

Raidės ir vienetai. Stačiakampio plotas Fs; trikampio Fmaxs/2; trapecijos (F₁ + F₂)s/2.

Kada taikyti. Kai žinome jėgos projekcijos kitimą pagal poslinkį.

Visiškai panardintas kūnas keliamas

Duota
V = 0,002 m³ = 2 l; ρsk = 1000 kg/m³; g = 10; kūnas kyla 0,30 m ir lieka visiškai po vandeniu.
Rasti
Archimedo jėga ir jos darbas.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Išstumto vandens tūris visą laiką yra 0,002 m³.
  2. F_A = 1000 · 10 · 0,002 = 20 N aukštyn.
  3. Poslinkis taip pat aukštyn: α = 0°, cosα = 1.
  4. A_A = 20 · 0,30 = +6 J.
  5. Jeigu tą patį kūną leistume 0,30 m žemyn, α = 180° ir A_A = −6 J.
  6. Jeigu kūnas pradeda išnirti, Vpan mažėja. Tada 20 N visam iškėlimo keliui naudoti nebegalima.

Atsakymas. F_A = 20 N; A_A = +6 J kylant.

Prasmė ir patikra. Jeigu m = 3 kg, keliant lėtai visiškai po vandeniu išorinė trauka F = mg − F_A = 10 N; jos darbas +3 J.

Du trumpi pasitikrinimai

Kas vyksta plūduriuojant ramybėje be kitų vertikalių jėgų?

F_A = mg; panardinta tik tiek kūno, kiek reikia šiai sąlygai.

Ar pilnai panardinus giliau F_A vis didėja?

Ne, vienalyčiame beveik nesuspaudžiamame skystyje to paties tūrio kūnui F_A nekinta.

Darbas, energija ir galia

Ledo luito panardinimas ir iškėlimas

Luitas iš pradžių plūduriuoja, todėl Archimedo jėga lygi jo sunkiui. Lėtai pastūmus žemyn plūdrumas padidėja ir reikia spausti žemyn; keliant plūdrumas mažėja ir reikia traukti aukštyn. Išorinės jėgos darbas abiem atvejais teigiamas.

Pradžioje: plūduriuojaLėtai pastumtas 5 cm žemynluitasluitasFₐ₀ = 150 Nmg = 150 NFₐ = 200 Nmg = 150 NP = 50 Nh₀ = 0,15 m; d = 0,20 m+y aukštyn; aᵧ ≈ 0
Vandens linija abiejuose skydeliuose tame pačiame aukštyje. Pradžioje panirę 15 cm iš 20 cm, todėl Fₐ₀ = mg. Lėtai papildomai panardinus 5 cm luitas visas po vandeniu; Archimedo jėgos perteklių atsveria išorinis spaudimas P žemyn. Čia ρ = 1000 kg/m³, S = 0,10 m². Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

FA,0−mg=0,mg=ρgSh0=150 NF_{A,0}-mg=0,\qquad mg=\rho gSh_0=150\,\text N
FA−mg−P=0F_A-mg-P=0
P=ρgS y=1000⋅10⋅0,1⋅0,05=50 NP=\rho gS\,y=1000\cdot10\cdot0{,}1\cdot0{,}05=50\,\text N
AP=Pmax⁡ymax⁡2=1,25 JA_P=\frac{P_{\max}y_{\max}}{2}=1{,}25\,\text J
Formulės su paaiškinimais
mg=ρgSh0,P↓=ρgSymg=\rho gSh_0,\qquad P_{\downarrow}=\rho gSy

Ką daro. Randa papildomą spaudimo jėgą po y panardinimo nuo pradinės pusiausvyros.

Raidės ir vienetai. S – horizontalus skerspjūvis (m²); h₀ – pradinis panardintas aukštis; y – papildomas panardinimas.

Kada taikyti. Stačiakampis luitas lėtai stumiamas neapsiverčiant; kol h₀ + y ≤ d, kur d – luito storis.

Apan=ρgS(d−h0)22,Aisˇk=ρgSh022A_{\text{pan}}=\frac{\rho gS(d-h_0)^2}{2},\qquad A_{\text{išk}}=\frac{\rho gSh_0^2}{2}

Ką daro. Apskaičiuoja darbą nuo plūduriuojančios padėties: iki visiško panardinimo arba iki visiško iškėlimo.

Raidės ir vienetai. ρ – skysčio tankis (kg/m³); abi išorinės jėgos didėja tiesiškai nuo 0.

Kada taikyti. Labai lėtas judėjimas, nėra papildomų greičio ar bangavimo nuostolių. Tai du atskiri procesai iš tos pačios pradinės padėties.

Iš pradžių panirę 15 cm iš 20 cm

Duota
ρ = 1000 kg/m³, S = 0,10 m², d = 0,20 m, h₀ = 0,15 m, g = 10.
Rasti
Darbai iki visiško panardinimo ir visiško iškėlimo.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Pusiausvyroje mg = ρgSh₀ = 1000 · 10 · 0,10 · 0,15 = 150 N. Ledo tankio atskirai nereikia.
  2. Iki visiško panardinimo lieka y = d − h₀ = 0,05 m.
  3. Papildoma jėga gale P = ρgSy = 1000 · 10 · 0,10 · 0,05 = 50 N žemyn.
  4. P(y) grafiko plotas trikampis: A_pan = 50 · 0,05/2 = 1,25 J.
  5. Keliant iš pradinės padėties iki visiško išnirimo reikia 0,15 m poslinkio. Galinė išorinė jėga aukštyn tampa 150 N, nes plūdrumas sumažėja iki 0.
  6. A_išk = 150 · 0,15/2 = 11,25 J. Abu darbai teigiami, nes išorinė jėga nukreipta judėjimo kryptimi.

Atsakymas. A_pan = 1,25 J; A_išk = 11,25 J.

Prasmė ir patikra. Panardinant sunkio darbas +7,50 J, Archimedo −8,75 J, išorinis +1,25 J; suma 0, nes greitis beveik nekinta.

Du trumpi pasitikrinimai

Ar panardinimo darbui tinka visa galinė 50 N jėga kart 0,05 m?

Ne. Jėga augo nuo 0 iki 50 N, todėl reikia dalyti iš 2.

Jei žinomi tik S ir d, ar užtenka skaitiniam darbui?

Ne. Reikia ir pradinio panirimo h₀ arba masės/tankio, iš kurių jį būtų galima nustatyti.

Darbas, energija ir galia

Spyruoklės ir panardinimo darbas iš ploto

Jei jėga keičiasi, negalima viso kelio dauginti iš jos galutinės reikšmės. Tiesiškai auganti jėga grafike sudaro trikampį, todėl vidutinė jėga yra pusė galutinės.

Tempimo taškas: lėtas tempimas į dešinęFišor = kxFsp = −kx+xx nuo natūralaus ilgio
Rodomos horizontalios jėgos spyruoklės tempimo taške. Tempiant lėtai trauka atsveria tamprumo jėgą; abi didėja nuo 0 iki 20 N. Vertikali atrama šiame tempimo taško modelyje nenagrinėjama. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

Fisˇor−kx≃0F_{\text{išor}}-kx\simeq0
Aisˇor=kx22,Asp=−kx22A_{\text{išor}}=\frac{kx^2}{2},\qquad A_{\text{sp}}=-\frac{kx^2}{2}
Formulės su paaiškinimais
Aisˇor=kx22,Aspyruokle˙s=−kx22A_{\text{išor}}=\frac{kx^2}{2},\qquad A_{\text{spyruoklės}}=-\frac{kx^2}{2}

Ką daro. Apskaičiuoja lėto tempimo nuo x = 0 darbą ir priešingą spyruoklės darbą.

Raidės ir vienetai. k – N/m; x – galutinis pailgėjimas (m).

Kada taikyti. Tiesinė spyruoklė, tempimas nuo natūralaus ilgio, galutinis ir pradinis greitis beveik 0.

Asp=kx122−kx222A_{\text{sp}}=\frac{kx_1^2}{2}-\frac{kx_2^2}{2}

Ką daro. Randa spyruoklės darbą tarp bet kurių dviejų deformacijų.

Raidės ir vienetai. x₁ ir x₂ matuojami nuo natūralaus ilgio.

Kada taikyti. Tai konservatyviosios jėgos darbas: pradinė Eₚ minus galutinė Eₚ.

Spyruoklė ištempiama 20 cm

Duota
k = 100 N/m; x₁ = 0, x₂ = 0,20 m; tempiame lėtai.
Rasti
Išorinės ir spyruoklės jėgos darbai.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Pradžioje F = 0 N. Pabaigoje F = kx = 100 · 0,20 = 20 N.
  2. Jėga didėja tiesiškai, todėl F(x) grafikas yra tiesė.
  3. Plotas po ja: trikampio pagrindas 0,20 m, aukštis 20 N.
  4. Išorinės jėgos darbas A = 20 · 0,20/2 = 2 J.
  5. Spyruoklė tempimui priešinasi: jos darbas −2 J.
  6. Sukaupta potencinė energija padidėja 2 J; galutinė jėga kart kelias duotų klaidingus 4 J.

Atsakymas. A_išor = +2 J; A_sp = −2 J.

Prasmė ir patikra. Plūduriuojančiam stačiakampiam luitui, lėtai papildomai panardintam per y, reikalinga papildoma jėga ρgSy. Jos darbas ρgSy²/2, kol luitas dar nepanardintas visas.

Du trumpi pasitikrinimai

Kodėl spyruoklei dažnai atsiranda 1/2?

Nes jėga išauga nuo 0 iki kx: darbo plotas trikampis.

Kada šiam luito panardinimui jėga tampa pastovi?

Kai visas tūris jau po vandeniu; toliau F_A nebeauga, jei skysčio tankis nekinta.

Darbas, energija ir galia

Galia ir naudingumo koeficientas

Du keltuvai gali atlikti tą patį darbą, bet greitesnis tam išvysto didesnę vidutinę galią. Galia nėra energijos kiekis – tai jos perdavimo greitis.

Krovinys; +y aukštyn100 kgFkelmg = 1000 N+y
Pradinis ir galutinis greičiai vienodi, todėl viso intervalo ΔEₖ = 0. Tai savaime nereiškia, kad visą laiką a = 0; tik keliant pastoviu greičiu galima kiekvienu momentu rašyti Fkel = mg. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

Fkel−mg=mayF_{\text{kel}}-mg=ma_y
Akel−mgh=ΔEk=0A_{\text{kel}}-mgh=\Delta E_k=0
Pvid,naud=mghtP_{\text{vid,naud}}=\frac{mgh}{t}
Formulės su paaiškinimais
Pvid=At,P=Fvcos⁡αP_{\text{vid}}=\frac At,\qquad P=Fv\cos\alpha

Ką daro. Randa vidutinę galią arba momentinę vienos jėgos galią.

Raidės ir vienetai. P – galia (W = J/s); A – darbas (J); t – s; v – m/s.

Kada taikyti. A/t – intervalo vidurkis; Fvcosα – tuo momentu. Keliant pastoviu greičiu P = mgv.

η=EnaudEsunaud,Esunaud=Enaudη\eta=\frac{E_{\text{naud}}}{E_{\text{sunaud}}},\qquad E_{\text{sunaud}}=\frac{E_{\text{naud}}}{\eta}

Ką daro. Įvertina, kiek sunaudotos energijos tampa naudinga.

Raidės ir vienetai. η – be vieneto; 80 % formulėje rašoma 0,80.

Kada taikyti. η galima skaičiuoti ir darbų ar galių santykiu, kai lyginamas tas pats procesas.

Keltuvas pakelia 100 kg

Duota
m = 100 kg, h = 6 m, t = 3 s, η = 0,80; g = 10. Pradžioje ir pabaigoje greitis vienodas.
Rasti
Naudinga galia ir sunaudota energija.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Naudingasis darbas padidina aukščio energiją: A = mgh = 100 · 10 · 6 = 6000 J.
  2. Vidutinė naudingoji galia Pnaud = 6000/3 = 2000 W = 2 kW.
  3. Naudingumo lygtis 0,80 = 6000/Esunaud.
  4. Dauginame iš Esunaud ir dalijame iš 0,80: Esunaud = 6000/0,80 = 7500 J.
  5. Įeinanti vidutinė galia Psunaud = 7500/3 = 2500 W.
  6. Nuostoliai 7500 − 6000 = 1500 J. Jie nepaverčiami naudingu aukščio prieaugiu.

Atsakymas. Pnaud = 2 kW; Esunaud = 7,5 kJ; Psunaud = 2,5 kW.

Prasmė ir patikra. Galia matuojama W, darbas ir energija J. Šių vienetų nesukeisk.

Du trumpi pasitikrinimai

Tas pats darbas per perpus trumpesnį laiką: kokia galia?

Dviguba.

Ar 80 % dalijant reikia naudoti 80?

Ne, 0,80. Procentais rašoma η · 100 %.

Kita tema: Kietojo kūno sukamasis judėjimas →

Kietojo kūno sukamasis judėjimas

Pasirinkti sukimosi ašį, inercijos momentą ir sujungti slinkimą su sukimusi.

Kietojo kūno sukamasis judėjimas

Jėgos momentas ir inercijos momentas

Duris lengviau atidaryti stumiant toliau nuo vyrių. Jėgos momentas aprašo sukamąjį jėgos poveikį, o inercijos momentas – kaip sunku pakeisti kūno sukimąsi apie pasirinktą ašį.

2 kg diskas; ašis nejudantiF = 5 Nmg = 20 NRᵧR+ sukimasis ↺Rₓ = 0
Jėga liestine aukštyn ties dešiniuoju kraštu suka prieš laikrodį. Sunkis ir ašies reakcija veikia per centrą, todėl apie šią ašį jų momentai nuliniai. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

Ry+F−mg=0,Rx=0R_y+F-mg=0,\qquad R_x=0
FR=Iε,I=mR22FR=I\varepsilon,\qquad I=\frac{mR^2}{2}

Jėga įsuka diską

FAšis per centrą; jėga liestinėR = 0,2 m; φ = 7,03 rad0022,50,75451,567,52,25903ω (rad/s)t (s)

Didesnis R didina ir petį, ir I. Esant tai pačiai m ir F, ε = 2F/(mR), todėl didesnis diskas kampiškai greitėja lėčiau.

Interaktyviam bandymui reikia JavaScript; čia parodyta viena apskaičiuota būsena.

Formulės su paaiškinimais
M=Frsin⁡α=Fd,∑M=IεM=Fr\sin\alpha=Fd,\qquad \sum M=I\varepsilon

Ką daro. Randa sukimo momentą ir kampinį pagreitį.

Raidės ir vienetai. M – N · m; r – nuo ašies iki jėgos taško (m); d – statmenas petys (m); I – kg · m².

Kada taikyti. Pastovi sukimosi ašis; α tarp r ir F. Liestinei jėgai d = R.

Idiskas=mR22,Ilankas=mR2,Irutulys=25mR2I_{\text{diskas}}=\frac{mR^2}{2},\quad I_{\text{lankas}}=mR^2,\quad I_{\text{rutulys}}=\frac25mR^2

Ką daro. Parenka I apie centrines simetrijos ašis.

Raidės ir vienetai. Kūnai vienalyčiai; rutulys pilnaviduris; lankas plonas.

Kada taikyti. Ašis privalo sutapti su formulei nurodyta ašimi.

Istr,cm=ml212,Istr,galas=ml23,I=Icm+md2I_{\text{str,cm}}=\frac{ml^2}{12},\quad I_{\text{str,galas}}=\frac{ml^2}{3},\quad I=I_{\text{cm}}+md^2

Ką daro. Pakeičia ašį naudojant Šteinerio teoremą.

Raidės ir vienetai. l – strypo ilgis; d – atstumas tarp lygiagrečių ašių (m).

Kada taikyti. Strypo ašys statmenos jam; Šteinerio ašys lygiagrečios, viena eina per masės centrą.

Liestinė jėga įsuka diską

Duota
m = 2 kg, R = 0,20 m, F = 5 N; trinties nėra; diskas pradžioje nejuda.
Rasti
I, M, ε ir ω po 3 s.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Jėga liestinė: M = FR = 5 · 0,20 = 1 N · m.
  2. Disko I = mR²/2 = 2 · 0,20²/2 = 0,040 kg · m².
  3. Rašome M = Iε: 1 = 0,040ε.
  4. Daliname abi puses iš I: ε = 1/0,040 = 25 rad/s².
  5. Per 3 s: ω = ω₀ + εt = 0 + 25 · 3 = 75 rad/s.
  6. Jei prieš sukimą veiktų trinties momentas Mtr, naudotume FR − Mtr = Iε.

Atsakymas. I = 0,040 kg · m²; ε = 25 rad/s²; ω = 75 rad/s.

Prasmė ir patikra. Jėga per ašį turi d = 0, todėl jos momentas apie tą ašį yra 0.

Du trumpi pasitikrinimai

Padvigubinus atstumą iki ašies taškinei masei, kaip kinta I = mr²?

Padidėja keturis kartus.

Ar momentui rašyti vienetą J?

Rašyk N · m: matmenys tie patys, bet momentas ir energija yra skirtingi dydžiai.

Kietojo kūno sukamasis judėjimas

Atvudo mašina su masyviu skridiniu

Masyvų skridinį reikia įsukti. Todėl siūlo įtempimai abipus jo skiriasi: būtent jų momentų skirtumas keičia skridinio sukimąsi. Tai esminis skirtumas nuo nesvaraus skridinio.

2 kg krovinys2 kgT₁20 N3 kg krovinys3 kgT₂30 Naa2 kg skridinysT₁T₂20 NRᵧ+ sukimasis ↻
Kiekvienas krovinys ir skridinys atskirti. Kroviniams pasirinktos teigiamos kryptys: lengvam aukštyn, sunkiam žemyn. Diskui teigiamas sukimasis pagal laikrodį; ašies reakcija Rᵧ išlaiko jo centrą nejudantį. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

T1−20=2a,30−T2=3aT_1-20=2a,\qquad30-T_2=3a
(T2−T1)R=Iε,I=MR22,a=εR(T_2-T_1)R=I\varepsilon,\quad I=\frac{MR^2}{2},\quad a=\varepsilon R
Ry−Mg−T1−T2=0R_y-Mg-T_1-T_2=0
T2−T1=M2a=aT_2-T_1=\frac{M}{2}a=a
Formulės su paaiškinimais
a=(m2−m1)gm1+m2+I/R2a=\frac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2+I/R^2}

Ką daro. Randa krovinių pagreitį, kai dalis poveikio įsuka skridinį.

Raidės ir vienetai. I – skridinio inercijos momentas; vienalyčiam diskui I/R² = M/2.

Kada taikyti. Ašies trinties nėra, siūlas neslysta, nesvarus ir netąsus; m₂ > m₁.

T1=m1(g+a),T2=m2(g−a),(T2−T1)R=Iε,a=εRT_1=m_1(g+a),\quad T_2=m_2(g-a),\quad (T_2-T_1)R=I\varepsilon,\quad a=\varepsilon R

Ką daro. Sujungia abi krovinio lygtis su skridinio lygtimi.

Raidės ir vienetai. T₁ – lengvojo krovinio pusė; T₂ – sunkiojo; M – skridinio masė.

Kada taikyti. Kai siūlas neslysta, tiesinis ir kampinis pagreičiai susieti.

2 kg, 3 kg ir 2 kg diskas

Duota
m₁ = 2 kg, m₂ = 3 kg, M = 2 kg; skridinys vienalytis diskas; g = 10.
Rasti
a, T₁, T₂.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Lengvas krovinys: T₁ − 20 = 2a; sunkus: 30 − T₂ = 3a.
  2. Skridiniui: (T₂ − T₁)R = Iε. Pakeičiame ε = a/R.
  3. Padalijame iš R: T₂ − T₁ = (I/R²)a = (M/2)a = a.
  4. Sudedame tris lygtis: 10 = (2 + 3 + 1)a, todėl a = 10/6 ≈ 1,67 m/s².
  5. T₁ = 2 · (10 + 10/6) ≈ 23,33 N.
  6. T₂ = 3 · (10 − 10/6) = 25 N; skirtumas ≈ 1,67 N įsuka diską.

Atsakymas. a ≈ 1,67 m/s²; T₁ ≈ 23,33 N; T₂ = 25 N.

Prasmė ir patikra. Nesvaraus skridinio atveju buvo a = 2 m/s² ir abipus T = 24 N.

Du trumpi pasitikrinimai

Kodėl dabar T₁ ≠ T₂?

Reikia nenulinio atstojamojo momento skridiniui greitinti.

Kas nutiks didinant I?

Pagreičio modulis mažės, esant toms pačioms masėms ir R.

Kietojo kūno sukamasis judėjimas

Krovinys išvynioja virvę nuo būgno

Krovinys leidžiasi ir kartu įsuka būgną. Jo sunkis nepranyksta: dalis aukščio energijos tampa krovinio slinkimo, dalis – būgno sukimosi energija.

8 kg būgnas2 kg krovinysT80 NRᵧ+ sukimasis ↻2 kgT20 N+y žemyn
Krovinio įtempimas nukreiptas aukštyn. Tas pats lynas būgną jo dešiniajame krašte tempia žemyn; tai jėgos į skirtingus objektus. Reakcija Rᵧ laiko būgno centrą. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

20−T=2a20-T=2a
TR=Iε,I=MR22,a=εRTR=I\varepsilon,\quad I=\frac{MR^2}{2},\quad a=\varepsilon R
Ry−Mg−T=0R_y-Mg-T=0
Formulės su paaiškinimais
mg−T=ma,TR=Iε,a=εRmg-T=ma,\qquad TR=I\varepsilon,\qquad a=\varepsilon R

Ką daro. Užrašo du atskirus objektus ir jų ryšį.

Raidės ir vienetai. m – krovinio masė; I – būgno inercijos momentas; R – virvės vyniojimosi spindulys.

Kada taikyti. Fiksuota būgno ašis, virvė neslysta; ašies trinties nėra.

a=mgm+I/R2,T=m(g−a)a=\frac{mg}{m+I/R^2},\qquad T=m(g-a)

Ką daro. Randa leidimosi pagreitį ir įtempimą.

Raidės ir vienetai. Vienalyčiam cilindrui I = MR²/2, todėl vardiklis m + M/2.

Kada taikyti. M yra būgno masė, m yra krovinio masė; jų nesukeisk.

2 kg krovinys ir 8 kg būgnas

Duota
m = 2 kg; M = 8 kg; būgnas vienalytis cilindras; h = 1,5 m; pradžia iš rimties; g = 10.
Rasti
a, T ir greitis nusileidus.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. I/R² = M/2 = 4 kg. Tai sukimosi įtaką reiškiantis narys.
  2. a = mg/(m + M/2) = 20/(2 + 4) = 10/3 ≈ 3,33 m/s².
  3. T = m(g − a) = 2 · (10 − 10/3) = 40/3 ≈ 13,33 N.
  4. Laiko nereikia: v² = 2ah = 2 · (10/3) · 1,5 = 10.
  5. v = √10 ≈ 3,16 m/s.
  6. Energijos patikra: mgh = 30 J; krovinio Eₖ = 10 J; būgno Eₖ,suk = 20 J.

Atsakymas. a ≈ 3,33 m/s²; T ≈ 13,33 N; v ≈ 3,16 m/s.

Prasmė ir patikra. Negalima rašyti visos mgh = mv²/2: dar sukasi būgnas.

Du trumpi pasitikrinimai

Ar T = mg šiame pavyzdyje?

Ne. Krovinys greitėja žemyn, todėl T < mg.

Ar a gali būti lygu g, jei būgnas turi teigiamą I?

Ne šiame idealiame modelyje: dalis sunkio poveikio įsuka būgną.

Kietojo kūno sukamasis judėjimas

Riedėjimas be slydimo

Riedantis ratas ir slenka, ir sukasi. Todėl vien mv²/2 nepakanka. Tas pats masės centro greitis v susijęs su sukimosi greičiu per v = ωR.

Diskas ant šlaitoCmgNfₛ+x+y+x žemyn šlaitu
Parodytas vienas riedėjimo žemyn momentas. Rimties trintis nukreipta aukštyn šlaitu ir įsuka diską; ji nėra papildoma jėga prie atskiros „riedėjimo jėgos“. Kampas α šiame pavyzdyje neduotas. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

mgsin⁡α−fs=mamg\sin\alpha-f_s=ma
N−mgcos⁡α=0N-mg\cos\alpha=0
fsR=ICε,a=εRf_sR=I_C\varepsilon,\qquad a=\varepsilon R

Slinkimo ir sukimosi energijos dalys

mgNfₛα = 30°; R = 0,20 m; β = 0,5Tas pats ilgio mastelis: kelias = Rφ; rieda be slydimo001,20,192,30,383,50,564,60,75v (m/s)Nusileista (m)

Sunkis žemyn, atrama statmenai šlaitui, rimties trintis fₛ aukštyn šlaitu. Sukibimo pakanka; trintis įsuka kūną. Mažesniam β daugiau energijos tenka slinkimui. Centro poslinkis ir rato posūkis nupiešti tuo pačiu ilgio masteliu.

Interaktyviam bandymui reikia JavaScript; čia parodyta viena apskaičiuota būsena.

Formulės su paaiškinimais
Ek=mv22+Iω22,v=ωRE_k=\frac{mv^2}{2}+\frac{I\omega^2}{2},\qquad v=\omega R

Ką daro. Suskaičiuoja abi riedančio kūno energijos dalis.

Raidės ir vienetai. v – masės centro greitis; I – apie masės centrą.

Kada taikyti. Riedėjimas be slydimo nejudančiu paviršiumi.

v=2gh1+β,a=gsin⁡α1+β,β=ImR2v=\sqrt{\frac{2gh}{1+\beta}},\qquad a=\frac{g\sin\alpha}{1+\beta},\qquad \beta=\frac{I}{mR^2}

Ką daro. Randa greitį nuo aukščio ir pagreitį šlaite.

Raidės ir vienetai. β: pilnaviduriam rutuliui 2/5; diskui 1/2; plonam lankui 1.

Kada taikyti. Paleista iš rimties, idealiai rieda be nuostolių; sukibimo pakanka.

Diskas nurieda nuo 0,75 m

Duota
h = 0,75 m; diskas, β = 1/2; m = 2 kg; g = 10.
Rasti
Greitis apačioje ir energijų dalys.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Pradinė energija mgh = 2 · 10 · 0,75 = 15 J.
  2. Apačioje 15 = mv²/2 + Iω²/2.
  3. Pakeičiame I = mR²/2 ir ω = v/R: sukimosi dalis mv²/4.
  4. 15 = (3/4)mv² = 1,5v², todėl v² = 10.
  5. v = √10 ≈ 3,16 m/s; slinkimo energija mv²/2 = 10 J.
  6. Sukimosi energija = 5 J. Suma 10 + 5 = 15 J.

Atsakymas. v ≈ 3,16 m/s; E_slink = 10 J; E_suk = 5 J.

Prasmė ir patikra. Ideali rimties trintis leidžia riedėti, bet nejudančiame sąlyčio taške darbo neatlieka; riedėjimo pasipriešinimas yra kitas efektas.

Du trumpi pasitikrinimai

Kas iš to paties aukščio greitesnis: rutulys ar lankas?

Pilnaviduris rutulys: jo β mažesnis, tad daugiau energijos tenka slinkimui.

Jei kūnas slysta ir sukasi, ar vis tiek v = ωR?

Nebūtinai. Šis ryšys galioja tik be slydimo.

Kietojo kūno sukamasis judėjimas

Strypas krinta apie pritvirtintą galą

Čia aukštį praranda visas strypas, todėl reikia jo masės centro, esančio per l/2 nuo pakabos. Galas juda dvigubai greičiau už masės centrą, nes yra dvigubai toliau nuo ašies.

Vienalytis strypasOCRₓRᵧmgθl / 2galas+x+y
Parodyta tarpinė padėtis, kai strypas dešinėje nuo žemiausios vertikalės. Tikrosios jėgos: sunkis masės centre C ir dvi nežinomos pakabos reakcijos dedamosios ties O. Rₓ ir Rᵧ kryptys pasirinktos teigiamai; neigiamas atsakymas reikštų priešingą kryptį. Kampas θ teigiamas nuo žemyn nukreiptos vertikalės į dešinę; sunkio momentas mažina θ. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

Rx=maC,x,Ry−mg=maC,yR_x=ma_{C,x},\qquad R_y-mg=ma_{C,y}
−mgl2sin⁡θ=IOε,IO=ml23-mg\frac l2\sin\theta=I_O\varepsilon,\qquad I_O=\frac{ml^2}{3}
mgl2(cos⁡θ−cos⁡θ0)=IOω22mg\frac l2(\cos\theta-\cos\theta_0)=\frac{I_O\omega^2}{2}
vgalo=ωlv_{\text{galo}}=\omega l
Formulės su paaiškinimais
mgΔhcm=IOω22,IO=ml23,vgalo=ωlmg\Delta h_{\text{cm}}=\frac{I_O\omega^2}{2},\qquad I_O=\frac{ml^2}{3},\qquad v_{\text{galo}}=\omega l

Ką daro. Paverčia masės centro aukščio sumažėjimą viso strypo sukimosi energija.

Raidės ir vienetai. I_O – apie nejudančią pakabą; Δhcm – masės centro nusileidimas.

Kada taikyti. Vienalytis strypas, paleistas iš rimties; idealus nejudantis lankstas.

vgalo=3gl(1−cos⁡θ0)v_{\text{galo}}=\sqrt{3gl(1-\cos\theta_0)}

Ką daro. Randa galo greitį žemiausioje padėtyje.

Raidės ir vienetai. θ₀ – pradinis kampas nuo žemyn nukreiptos vertikalės.

Kada taikyti. Jei pradžioje horizontalus, θ₀ = 90° ir v = √(3gl).

1 m strypas paleidžiamas horizontaliai

Duota
l = 1 m; pradžioje horizontalus; vienas galas pritvirtintas; g = 10.
Rasti
Laisvojo galo greitis apačioje.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Masės centras nusileidžia l/2 = 0,50 m. Ne visas l.
  2. Energija: mg(l/2) = (1/2)(ml²/3)ω².
  3. Abi puses dauginame iš 2: mgl = (ml²/3)ω².
  4. Dalijame iš ml²/3: ω² = 3g/l = 30 s⁻².
  5. ω = √30 ≈ 5,48 rad/s.
  6. Galo greitis v = ωl = √30 · 1 ≈ 5,48 m/s; masės centro greitis ωl/2 ≈ 2,74 m/s.

Atsakymas. v_galo ≈ 5,48 m/s.

Prasmė ir patikra. Jei naudojame I apie pakabą, viso judėjimo energija jau yra I_Oω²/2. Papildomai mv_cm²/2 nebededame.

Pusės metro strypas paleistas iš 60°

Duota
l = 0,50 m; θ₀ = 60° nuo žemyn nukreiptos vertikalės; pradinis greitis 0; g = 10.
Rasti
Galo greitis žemiausioje padėtyje.
  1. Masės centras nuo pakabos nutolęs l/2 = 0,25 m.
  2. Jo aukščio sumažėjimas Δhcm = (l/2)(1 − cos60°) = 0,25 · 0,50 = 0,125 m.
  3. Energija mg · 0,125 = (1/2)(ml²/3)ω². Masę sutrumpiname.
  4. ω² = 6g · 0,125/l² = 6 · 10 · 0,125/0,25 = 30.
  5. ω = √30 ≈ 5,477 rad/s. Galo greitis v = ωl = 5,477 · 0,50 ≈ 2,739 m/s.
  6. Masės centro greitis vcm = ωl/2 ≈ 1,369 m/s; jo ir galo greičių nesukeisk.

Atsakymas. v_galo ≈ 2,739 m/s.

Patikra. 60° energijos skaičiavimui naudojame tikslų cos60°. Mažų kampų periodo artinio čia nereikia.

Du trumpi pasitikrinimai

Koks I, jei ašis per vidurį?

ml²/12; bet jo vieno šiam sukimuisi apie galą naudoti negalima.

Kodėl pakabos reakcijos darbas nulinis?

Idealus pakabos taškas nejuda, todėl jo poslinkis lygus nuliui.

Kietojo kūno sukamasis judėjimas

Sukimosi darbas ir impulso momento tvermė

Stabdomas smagratis praranda sukimosi energiją. Ant besisukančios kėdės sutraukus rankas mažėja inercijos momentas ir didėja kampinis greitis; energiją gali padidinti raumenų darbas.

Visa sistema: žmogus ir platformasistemaNmgvertikali ašis zω ↺Vidinės jėgos į visos sistemos brėžinį nededamos.
Sunkis ir atrama nesukuria sukimo momento apie vertikalią ašį. Rankų judesį sukeliančios jėgos yra vidinės šiai visai sistemai; jos gali pakeisti sukimosi energiją, nors išorinio momento apie z nėra. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

N−mg=0N-mg=0
∑Mz,isˇor=0\sum M_{z,\text{išor}}=0
I1ω1=I2ω2I_1\omega_1=I_2\omega_2
Formulės su paaiškinimais
A=Mφ=Iω222−Iω122,P=MωA=M\varphi=\frac{I\omega_2^2}{2}-\frac{I\omega_1^2}{2},\qquad P=M\omega

Ką daro. Susieja pastovų momentą su darbu ir galia.

Raidės ir vienetai. φ būtina radianais; M ir φ ženklai parinkti apie tą pačią ašį.

Kada taikyti. A = Mφ tik pastoviam momentui; energijos forma čia pastoviam I.

L=Iω,I1ω1=I2ω2L=I\omega,\qquad I_1\omega_1=I_2\omega_2

Ką daro. Randa kampinį greitį keičiantis inercijai.

Raidės ir vienetai. L – impulso momentas (kg · m²/s).

Kada taikyti. Kai išorinių momentų suma apie pasirinktą ašį nulinė arba jų impulsas nereikšmingas.

Rankos pritraukiamos prie sukimosi ašies

Duota
I₁ = 4 kg · m²; ω₁ = 2 rad/s; I₂ = 2 kg · m²; išorinio momento nėra.
Rasti
ω₂ ir energijos pokytis.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Pradinis impulso momentas L = I₁ω₁ = 4 · 2 = 8 kg · m²/s.
  2. Tvermė: 8 = 2ω₂, todėl ω₂ = 4 rad/s.
  3. Pradinė energija E₁ = 4 · 2²/2 = 8 J.
  4. Galutinė energija E₂ = 2 · 4²/2 = 16 J.
  5. Energija padidėjo 16 − 8 = 8 J dėl vidinio raumenų darbo.
  6. L tvermė neleidžia automatiškai rašyti E₁ = E₂: šie dėsniai turi skirtingas sąlygas.

Atsakymas. ω₂ = 4 rad/s; ΔEₖ = +8 J.

Prasmė ir patikra. Stabdant pastovaus I smagratį iš ω = 10 rad/s iki 0, kai I = 2, darbo būtų −100 J.

Du trumpi pasitikrinimai

Ar nulinė išorinė momentų suma reiškia nulinį ω?

Ne, ji reiškia pastovų L.

Jei φ = 2 apsisukimai, kiek tai radianų darbo formulėje?

4π rad.

Kita tema: Harmoniniai svyravimai →

Harmoniniai svyravimai

Iš svyravimo lygties perskaityti amplitudę ir periodą, rasti greitį, pagreitį bei energiją.

Harmoniniai svyravimai

Amplitudė, periodas, dažnis ir fazė

Spyruoklės kūną ištraukiame į dešinę ir paleidžiame. Jis grįžta per centrą, sustoja kairėje ir grįžta atgal. Vienas visas toks grįžimas į tą pačią padėtį ta pačia judėjimo kryptimi yra periodas.

Atskirtas kūnasmNmgFtam = −kx+x+y
Horizontalus spyruoklės modelis, kūnas parodytas dešinėje nuo pusiausvyros (x > 0). Atrama atsveria sunkį. Spyruoklė traukia kairėn, todėl pagreitis neigiamas; greitis tuo pat metu gali būti į bet kurią pusę. Kai x < 0, spyruoklės jėgos rodyklė apsiverčia. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

N−mg=0N-mg=0
Ftam,x=−kx=maxF_{\text{tam},x}=-kx=ma_x
ax=−kmx=−ω2xa_x=-\frac{k}{m}x=-\omega^2x

Poslinkis, jėga ir energija tuo pačiu metu

vFspx nuo pusiausvyros; kūnas paleistas iš +A−A0+A−0,1250−0,0630,3100,630,0630,940,1251,26x (m)t (s)

Centras: greitis didžiausias, jėga ir pagreitis beveik nuliniai. Visa energija beveik kinetinė.

Interaktyviam bandymui reikia JavaScript; čia parodyta viena apskaičiuota būsena.

Formulės su paaiškinimais
x=Acos⁡(ωt+ϕ0),T=2πω,f=1Tx=A\cos(\omega t+\phi_0),\qquad T=\frac{2\pi}{\omega},\qquad f=\frac1T

Ką daro. Aprašo poslinkį nuo pusiausvyros ir pasikartojimo laiką.

Raidės ir vienetai. A – amplitudė (m); ω – kampinis dažnis (rad/s); φ₀ – pradinė fazė (rad); T – s; f – Hz.

Kada taikyti. Idealūs harmoniniai svyravimai. Kosinuso argumentas skaičiuojamas radianais.

ω=km,T=2πmk\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

Ką daro. Randa tiesinės spyruoklės svyravimo dažnį ir periodą.

Raidės ir vienetai. k – N/m; m – svyruojanti masė (kg).

Kada taikyti. Masės ir spyruoklės modelis be slopinimo; spyruoklės masė nereikšminga.

Perskaitome x = 0,10 cos(5t)

Duota
x metrais, t sekundėmis; x(t) = 0,10 cos(5t).
Rasti
A, ω, T, f ir pradinė padėtis.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Lyginame su x = A cos(ωt + φ₀). Prieš kosinusą 0,10, taigi A = 0,10 m = 10 cm.
  2. Prie t parašyta 5, taigi ω = 5 rad/s. Tai dar ne 5 Hz.
  3. T = 2π/5 ≈ 1,257 s.
  4. f = 1/T = 5/(2π) ≈ 0,796 Hz.
  5. Pradinė fazė φ₀ = 0. Kai t = 0, cos0 = 1, todėl x = +0,10 m.
  6. Po T/4 kūnas pereina centrą, po T/2 pasiekia −A, po T grįžta į +A.

Atsakymas. A = 10 cm; T ≈ 1,257 s; f ≈ 0,796 Hz.

Prasmė ir patikra. Raidė A čia amplitudė (m), o darbo skyriuje A reiškė darbą (J). Visada tikrink kontekstą ir vienetą.

Du trumpi pasitikrinimai

Kiek trunka kelias iš +A į −A?

Pusę periodo T/2.

Jei masę padidini 4 kartus, kaip kinta spyruoklės T?

Padidėja 2 kartus, nes periodas priklauso nuo √m.

Harmoniniai svyravimai

Kur didžiausi greitis, pagreitis ir jėga?

Kraštiniame taške kūnas akimirką sustoja, bet spyruoklė ten traukia stipriausiai. Centre greitis didžiausias, o grąžinamoji jėga ir pagreitis lygūs nuliui. Animacijoje stebėk, kad greičio ir jėgos rodyklės nebūtinai nukreiptos vienodai.

Atskirtas kūnasmNmgFtam = −kx+x+y
Horizontalus spyruoklės modelis, kūnas parodytas dešinėje nuo pusiausvyros (x > 0). Atrama atsveria sunkį. Spyruoklė traukia kairėn, todėl pagreitis neigiamas; greitis tuo pat metu gali būti į bet kurią pusę. Kai x < 0, spyruoklės jėgos rodyklė apsiverčia. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

N−mg=0N-mg=0
Ftam,x=−kx=maxF_{\text{tam},x}=-kx=ma_x
ax=−kmx=−ω2xa_x=-\frac{k}{m}x=-\omega^2x
Formulės su paaiškinimais
v=−Aωsin⁡(ωt+ϕ0),a=−ω2xv=-A\omega\sin(\omega t+\phi_0),\qquad a=-\omega^2x

Ką daro. Randa greičio ir pagreičio projekcijas.

Raidės ir vienetai. Minusas a = −ω²x reiškia kryptį į pusiausvyrą.

Kada taikyti. Tą pačią fazę ir tą patį ω naudok kaip poslinkio lygtyje; išvestinių skaičiuoti nereikia.

vmax⁡=Aω,∣a∣max⁡=Aω2,∣v∣=ωA2−x2v_{\max}=A\omega,\qquad |a|_{\max}=A\omega^2,\qquad |v|=\omega\sqrt{A^2-x^2}

Ką daro. Randa didžiausius dydžius ir greičio modulį žinomoje padėtyje.

Raidės ir vienetai. |x| ≤ A; greičio kryptį spręsk iš judėjimo etapo.

Kada taikyti. Neslopinamas harmoninis judėjimas.

Greitis ties 6 cm nuokrypiu

Duota
A = 0,10 m, ω = 5 rad/s, x = +0,06 m.
Rasti
|v|, a ir maksimalūs dydžiai.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Maksimalus greitis Aω = 0,10 · 5 = 0,50 m/s.
  2. A² − x² = 0,10² − 0,06² = 0,0100 − 0,0036 = 0,0064 m².
  3. Šaknis √0,0064 = 0,08 m.
  4. Greitis |v| = 5 · 0,08 = 0,40 m/s. Vien iš x negalima pasakyti, ar kūnas keliauja pirmyn, ar atgal.
  5. Pagreitis a = −5² · 0,06 = −1,50 m/s²: į kairę, link centro.
  6. Didžiausias pagreičio modulis Aω² = 0,10 · 25 = 2,50 m/s².

Atsakymas. |v| = 0,40 m/s; a = −1,50 m/s².

Prasmė ir patikra. Krašte v = 0, |a| maksimalus; centre |v| maksimalus, a = 0.

Du trumpi pasitikrinimai

Ar kūnas be pagreičio centre visai nebejuda?

Ne, tuo momentu jo greitis kaip tik didžiausias.

Kūnas dešinėje ir juda dešinėn: greitėja ar lėtėja?

Lėtėja: greitis į dešinę, grąžinamasis pagreitis į kairę.

Harmoniniai svyravimai

Svyravimo energija ir vertikali spyruoklė

Energija pereina tarp spyruoklės deformacijos ir kūno judėjimo. Vertikaliai pakabintos spyruoklės pusiausvyra pasislenka žemyn dėl sunkio; svyravimo poslinkį x tada matuojame nuo naujos pusiausvyros.

Atskirtas kūnas4 kgNmgFtam = −kx+x+y
Horizontalus spyruoklės modelis, kūnas parodytas dešinėje nuo pusiausvyros (x > 0). Atrama atsveria sunkį. Spyruoklė traukia kairėn, todėl pagreitis neigiamas; greitis tuo pat metu gali būti į bet kurią pusę. Kai x < 0, spyruoklės jėgos rodyklė apsiverčia. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

N−mg=0N-mg=0
Ftam,x=−kx=maxF_{\text{tam},x}=-kx=ma_x
ax=−kmx=−ω2xa_x=-\frac{k}{m}x=-\omega^2x
Formulės su paaiškinimais
E=kA22,Ep=kx22,Ek=k(A2−x2)2E=\frac{kA^2}{2},\qquad E_p=\frac{kx^2}{2},\qquad E_k=\frac{k(A^2-x^2)}{2}

Ką daro. Parodo, kaip svyravimo energija pasidalija.

Raidės ir vienetai. x – nuo pusiausvyros; E – visa svyravimo energija (J).

Kada taikyti. Horizontaliai Eₚ spyruoklės; vertikaliai kx²/2 – bendra efektyvi potencinė energija virš minimumo.

Δl0=mgk\Delta l_0=\frac{mg}{k}

Ką daro. Randa vertikalios spyruoklės statinį pailgėjimą.

Raidės ir vienetai. Δl₀ – pailgėjimas nuo natūralaus ilgio (m).

Kada taikyti. Pusiausvyroje kΔl₀ = mg; svyravimo T nuo g nepriklauso šiame modelyje.

Energija ties x = 6 cm

Duota
k = 100 N/m, m = 4 kg, A = 0,10 m, x = 0,06 m.
Rasti
E, Eₚ, Eₖ ir greitis.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Visa energija E = 100 · 0,10²/2 = 0,50 J.
  2. Potencinė dalis Eₚ = 100 · 0,06²/2 = 0,18 J.
  3. Kinetinė dalis Eₖ = 0,50 − 0,18 = 0,32 J.
  4. Iš Eₖ = mv²/2 gauname v² = 2Eₖ/m = 0,64/4 = 0,16.
  5. |v| = √0,16 = 0,40 m/s.
  6. Patikriname ω = √(100/4) = 5 rad/s ir gauname tą patį rezultatą kaip ankstesniame pavyzdyje.

Atsakymas. E = 0,50 J; Eₚ = 0,18 J; Eₖ = 0,32 J; |v| = 0,40 m/s.

Prasmė ir patikra. Padvigubinus amplitudę, energija padidėja keturis kartus.

Du trumpi pasitikrinimai

Kur spyruoklinio svyravimo Eₚ didžiausia?

Kraštiniuose taškuose ±A.

Vertikali spyruoklė pailgėjo 0,10 m ramybėje. Ar tai būtinai amplitudė?

Ne. Tai statinis pailgėjimas; amplitudė – papildomas nuokrypis nuo pusiausvyros.

Harmoniniai svyravimai

Matematinė ir fizinė švytuoklė

Mažai išjudintas svarelis ant siūlo svyruoja beveik harmoniškai. Strypas taip pat gali svyruoti, tačiau jo masė išsidėsčiusi visame ilgyje, todėl periodui reikia inercijos momento.

Taškinis svarelis ant siūlo; dešinėje nuo centroTsiūlomgθ+τ: link apačios ↙+r: link pakabos ↖
Taškiniam svareliui veikia tik dvi tikros jėgos: sunkis ir siūlo įtempimas. Sunkio dedamoji mg sinθ nėra trečia papildoma jėga. Tangentinė +τ kryptis čia link žemiausio taško, radialinė +r – link pakabos. Strypo pakabos ir sunkio brėžinys pateiktas strypo pamokoje. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

mgsin⁡θ=maτmg\sin\theta=ma_\tau
Tsiuˉlo−mgcos⁡θ=mv2lT_{\text{siūlo}}-mg\cos\theta=m\frac{v^2}{l}
Strypui: −mgl2sin⁡θ=IOε\text{Strypui: }-mg\frac l2\sin\theta=I_O\varepsilon

Švytuoklės energija ir jėgos

mgTsiūloIdealus 1 kg svarelis; g = 10 m/s²Įtempimas išilgai siūlo, sunkis vertikaliai−100−50,500,9951,49101,99θ (°)t (s)

Krašte kinetinė energija nulinė. Apačioje ji didžiausia, o siūlas laiko sunkį ir suteikia įcentrinį pagreitį. Modelis skaičiuoja švytuoklės lygtį; periodo formulė pamokoje yra mažų kampų artinys.

Interaktyviam bandymui reikia JavaScript; čia parodyta viena apskaičiuota būsena.

Formulės su paaiškinimais
T=2πlg,h=l(1−cos⁡θ)T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},\qquad h=l(1-\cos\theta)

Ką daro. Randa mažų svyravimų periodą ir svarelio pakilimą.

Raidės ir vienetai. l – nuo pakabos iki taškinio svarelio masės centro (m); θ – kampas nuo vertikalės.

Kada taikyti. Periodo formulė apytikslė mažiems kampams (pvz., iki 10°); siūlas lengvas.

T=2πIOmgdT=2\pi\sqrt{\frac{I_O}{mgd}}

Ką daro. Randa fizinės švytuoklės mažų svyravimų periodą.

Raidės ir vienetai. I_O – apie pakabą; d – nuo pakabos iki masės centro.

Kada taikyti. Standus kūnas, stabili pusiausvyra, maži kampai ir menki nuostoliai.

mv22+mgh=const\frac{mv^2}{2}+mgh=\text{const}

Ką daro. Parodo švytuoklės energijos virsmą.

Raidės ir vienetai. h matuojamas nuo žemiausios svarelio padėties.

Kada taikyti. Taškinis svarelis, nuostolių nėra; siūlo įtempimas statmenas judėjimui darbo neatlieka.

1 m siūlas ir 1 m strypas

Duota
l = 1 m; g = 10; maži kampai; strypas vienalytis ir pakabintas už galo.
Rasti
Palyginti periodus.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Siūlo švytuoklė: T = 2π√(1/10) ≈ 1,987 s.
  2. Strypui masės centras per d = l/2 = 0,50 m.
  3. Inercijos momentas apie pakabą I_O = ml²/3.
  4. Periodo formulėje masė sutrumpėja: I_O/(mgd) = (ml²/3)/(mgl/2) = 2l/(3g).
  5. T_str = 2π√(2/(3 · 10)) ≈ 1,622 s.
  6. Vienodi ilgiai nereiškia vienodų periodų: masė išsidėsčiusi skirtingai.

Atsakymas. T_siūlo ≈ 1,987 s; T_strypo ≈ 1,622 s.

Prasmė ir patikra. Švytuoklės apačioje Eₖ didžiausia, tačiau įtempimas Tsiūlo = mg + mv²/l didesnis už mg.

Du trumpi pasitikrinimai

Ar sunkesnis svarelis ant to paties siūlo svyruoja lėčiau?

Ne šiame idealiame mažų kampų modelyje: masė sutrumpėja.

Ar iš 60° paleistos švytuoklės tikslų periodą duoda 2π√(l/g)?

Ne. Tai mažų kampų artinys; dideliam kampui periodas ilgesnis.

Harmoniniai svyravimai

Smūgis, papildoma inercija ir slopinimas

Mišrų uždavinį skaidyk į etapus. Per netamprų smūgį tinka impulso tvermė, o po jo prasidėjusiam idealiam svyravimui – energija. Besukantis diskas prideda inercijos, o slopinimas mažina amplitudę.

Trumpas įstrigimo smūgisPo smūgio: viena masėMv₀m = 0,020 kgspyruoklės impulsas mažas1 kg−kxNmg
Smūgio skydelyje v₀ yra greičio, ne jėgos rodyklė. Per trumpą smūgį spyruoklės impulsą laikome mažu. Dešinėje parodytas jau po smūgio iš pusiausvyros dešinėn pasislinkęs bendras kūnas; jo grąžinamoji jėga nukreipta kairėn. Rodyklių ilgiai iliustraciniai; dydžius lygink pagal užrašus ir lygtis.

Judėjimo lygtys

mv0=(M+m)umv_0=(M+m)u
Ftam,x=−kx=(M+m)axF_{\text{tam},x}=-kx=(M+m)a_x
N−(M+m)g=0N-(M+m)g=0
Formulės su paaiškinimais
u=mv0M+m,A=uM+mk,T=2πM+mku=\frac{mv_0}{M+m},\quad A=u\sqrt{\frac{M+m}{k}},\quad T=2\pi\sqrt{\frac{M+m}{k}}

Ką daro. Randa greitį po įstrigimo ir vėlesnio svyravimo dydžius.

Raidės ir vienetai. m – kulka; M – pradžioje nejudantis kūnas; u – bendras greitis po smūgio.

Kada taikyti. Smūgis trumpas, kūnas pusiausvyroje, kulka įstringa; po jo nuostolių nėra, sukimosi nėra.

T=2πm+I/R2kT=2\pi\sqrt{\frac{m+I/R^2}{k}}

Ką daro. Parodo papildomos besisukančio disko inercijos įtaką periodui.

Raidės ir vienetai. m – slenkanti masė; I – disko inercija; R – virvės vyniojimosi spindulys.

Kada taikyti. Spyruoklė veikia slenkančią koordinatę, virvė neslysta, disko ašis nejudanti.

A(t)=A0e−βt,β=ln⁡(A1/A2)ΔtA(t)=A_0e^{-\beta t},\qquad \beta=\frac{\ln(A_1/A_2)}{\Delta t}

Ką daro. Randa amplitudės mažėjimo spartą.

Raidės ir vienetai. β – slopinimo koeficientas (s⁻¹); A₁, A₂ – gaubtinės amplitudės skirtingais laikais.

Kada taikyti. Tiesinis silpnas slopinimas; nelygink atsitiktinių momentinių x su amplitudėmis.

Kulka įstringa į spyruoklės kūną

Duota
m = 0,020 kg; M = 0,980 kg; v₀ = 100 m/s; k = 100 N/m. Kūnas pradžioje nejudantis pusiausvyroje.
Rasti
Greitis po smūgio, amplitudė, periodas.

Brėžinys → ašys → lygtys → nežinomasis → skaičiai → patikra.

  1. Bendra masė M + m = 1 kg. Smūgio metu mv₀ = (M + m)u.
  2. 0,020 · 100 = 1 · u, todėl u = 2 m/s.
  3. Po smūgio kinetinė energija (M + m)u²/2 = 1 · 4/2 = 2 J.
  4. Krašte ji virsta kA²/2: 2 = 100A²/2, todėl A² = 0,04 ir A = 0,20 m.
  5. Periodas T = 2π√(1/100) = 0,2π ≈ 0,628 s.
  6. Kulkos energija prieš smūgį buvo 100 J. Tik 2 J liko svyravimui; 98 J virto vidiniais pokyčiais.

Atsakymas. u = 2 m/s; A = 0,20 m; T ≈ 0,628 s.

Prasmė ir patikra. Per 3 periodus amplitudė sumažėjus 8 kartus, A₁/A₂ = 8 ir Δt = 3T, todėl β = ln8/(3T).

Du trumpi pasitikrinimai

Ar per įstrigimo smūgį galima tverti mechaninę energiją?

Ne. Reikia impulso tvermės ir po to atskiro energijos etapo.

A₃/A₆ duotas. Kiek periodų tarp jų?

6 − 3 = 3 periodai.

Pereiti į savikontrolę →

Penkių uždavinių savikontrolė

45 minutės. Skaičiuok popieriuje: kiekvienam kūnui brėžinys, ašys ir judėjimo lygtis. Įrašyk skaitines reikšmes nurodytais vienetais; tinka kablelis arba taškas. Atsakymų tikrinimas priima iki 1 % apvalinimo skirtumą.

45:00

Treniruočių režimas: užuominas gali atverti kada nori.

1. Slinkimas ir apskritimas

Vežimėlis juda v₀ = 2 m/s ir 4 s greitėja a = 2 m/s². Rato spindulys 0,25 m; ratas rieda be slydimo. Rask galutinį greitį, kelią ir rato ω pabaigoje.

Užuomina

Pirma v ir s pagal pastovų a; tada ω = v/R.

Sprendimas
  1. v = 2 + 2 · 4 = 10 m/s.
  2. s = 2 · 4 + 2 · 4²/2 = 8 + 16 = 24 m.
  3. ω = 10/0,25 = 40 rad/s.
Pakartoti temą

2. Idealioji Atvudo mašina

Nesvarus nejudamas skridinys jungia 1 kg ir 3 kg krovinius. Siūlas nesvarus ir netąsus; trinties nėra; g = 10. Rask pagreitį ir įtempimą.

Užuomina

Abiem kūnams atskira lygtis; sudėjus T išnyksta.

Sprendimas
  1. Lengvam T − 10 = a. Sunkiam 30 − T = 3a.
  2. Suma 20 = 4a, taigi a = 5 m/s².
  3. T = 1 · (10 + 5) = 15 N.
Pakartoti temą

3. Darbas, trintis ir galia

2 kg dėžė iš rimties slysta horizontaliai 6 m. Horizontali trauka 10 N, μ = 0,20, g = 10. Rask visų jėgų darbą, galutinį greitį ir vidutinę traukos galią per visą judėjimą.

Užuomina

N = mg; A_viso = (F − μmg)s. Galia klausiama traukos, todėl jai naudok traukos darbą.

Sprendimas
  1. N = mg = 20 N, trintis μN = 4 N; atstojamoji 6 N, todėl a = 6/2 = 3 m/s².
  2. Traukos darbas 10 · 6 = 60 J, trinties −4 · 6 = −24 J; A_viso = 36 J.
  3. mv²/2 = 36, todėl v = 6 m/s. Laikas t = v/a = 2 s.
  4. Vidutinė traukos galia 60/2 = 30 W. Bendro darbo vidutinė galia 36/2 = 18 W yra kitas dydis.
Pakartoti temą

4. Disko sukimas

2 kg vienalytį R = 0,50 m diską iš rimties liestine suka pastovi 4 N jėga. Trinties nėra. Rask I, ε ir sukimosi energiją po 2 s.

Užuomina

I = mR²/2; M = FR; ε = M/I; ω = εt; E = Iω²/2.

Sprendimas
  1. I = 2 · 0,50²/2 = 0,25 kg · m².
  2. M = 4 · 0,50 = 2 N · m; ε = 2/0,25 = 8 rad/s².
  3. ω = 8 · 2 = 16 rad/s; E = 0,25 · 16²/2 = 32 J.
Pakartoti temą

5. Spyruoklinis svyravimas

m = 1 kg, k = 100 N/m, amplitudė A = 0,20 m. Nuostolių nėra. Rask periodą, maksimalų greitį ir greičio modulį ties x = 0,12 m.

Užuomina

ω = √(k/m); |v| = ω√(A² − x²).

Sprendimas
  1. ω = √100 = 10 rad/s; T = 2π/10 ≈ 0,628 s.
  2. vmax = 0,20 · 10 = 2 m/s.
  3. |v| = 10√(0,20² − 0,12²) = 10 · 0,16 = 1,60 m/s.
Pakartoti temą

Teisingi skaičiai dar negarantuoja pilno sprendimo: patikrink, ar popieriuje yra brėžinys, ženklai, lygtys ir vienetai.

Formulių atmintinė su prasme

Formulė → ką apskaičiuoja → raidės ir vienetai → galiojimo sąlygos. Skliaustai ir trupmenos išlaiko skaičiavimo tvarką. Naudok kaip žemėlapį po išspręsto pavyzdžio.

Kinematika: slinkimas ir sukimasis

Prieš skaičiuojant: vienetai ir kryptis → pavyzdys

vm/s=vkm/h3,6v_{\text{m/s}}=\frac{v_{\text{km/h}}}{3{,}6}

Ką daro. Paverčia greitį į SI vienetus.

Raidės ir vienetai. v – greitis; m/s – metrai per sekundę.

Kada taikyti. Prieš įstatant greitį į mechanikos formules.

Δx=x2−x1\Delta x=x_2-x_1

Ką daro. Randa poslinkį: kur baigei minus kur pradėjai.

Raidės ir vienetai. x₁, x₂ – pradžios ir pabaigos koordinatės (m); Δ – pokytis.

Kada taikyti. Kelias ir poslinkis sutampa tik judant viena kryptimi.

Tolygus ir tolygiai kintamas judėjimas → pavyzdys

s=vts=vt

Ką daro. Randa kelią, kai greičio dydis nekinta.

Raidės ir vienetai. s – kelias (m); v – greitis (m/s); t – laikas (s).

Kada taikyti. Tiesiam judėjimui viena kryptimi pastoviu greičiu.

v=v0+at,Δx=v0t+at22v=v_0+at,\qquad \Delta x=v_0t+\frac{at^2}{2}

Ką daro. Randa galutinį greitį ir poslinkį.

Raidės ir vienetai. v₀ – pradinis greitis (m/s); a – pastovus pagreitis (m/s²).

Kada taikyti. Kai pagreitis pastovus. Ženklus imk pagal pasirinktą ašį.

v2=v02+2aΔxv^2=v_0^2+2a\Delta x

Ką daro. Susieja greitį ir poslinkį be laiko.

Raidės ir vienetai. Visi greičiai ir pagreitis yra tos pačios ašies projekcijos.

Kada taikyti. Kai nėra laiko; iš šaknies dar reikia pasirinkti judėjimo kryptį.

Stabdymas, kritimas ir metimas → pavyzdys

tstop=v0∣a∣,sstop=v022∣a∣t_{\text{stop}}=\frac{v_0}{|a|},\qquad s_{\text{stop}}=\frac{v_0^2}{2|a|}

Ką daro. Randa sustojimo laiką ir kelią.

Raidės ir vienetai. |a| – lėtėjimo pagreičio modulis (m/s²).

Kada taikyti. Pastovus stabdymas iki pirmo sustojimo; po jo modelio netęsk kaip stabdymo.

h=gt22,v=2ghh=\frac{gt^2}{2},\qquad v=\sqrt{2gh}

Ką daro. Randa laisvojo kritimo kelią ir greitį.

Raidės ir vienetai. g – laisvojo kritimo pagreitis; šiame kelyje pavyzdžiams g = 10 m/s².

Kada taikyti. Paleista iš rimties; oro pasipriešinimo nėra.

x=v0cos⁡αt,y=v0sin⁡αt−gt22x=v_0\cos\alpha t,\qquad y=v_0\sin\alpha t-\frac{gt^2}{2}

Ką daro. Aprašo įstrižą metimą dviem kryptimis.

Raidės ir vienetai. α – metimo kampas nuo horizontalės; x, y – poslinkiai (m).

Kada taikyti. Pradžia y = 0, y ašis aukštyn, nėra oro pasipriešinimo.

Apsisukimai, kampinis greitis ir pagreitis → pavyzdys

ω=2πf,f=n60,T=1f\omega=2\pi f,\qquad f=\frac{n}{60},\qquad T=\frac1f

Ką daro. Paverčia apsisukimus į kampinį greitį ir periodą.

Raidės ir vienetai. ω – rad/s; f – aps./s = Hz; n – aps./min skaitinė vertė; T – vieno apsisukimo laikas (s).

Kada taikyti. Vienas apsisukimas = 2π rad. n/60 taikoma, kai duota aps./min.

v=ωR,an=v2R=ω2R,aτ=εRv=\omega R,\qquad a_n=\frac{v^2}{R}=\omega^2R,\qquad a_\tau=\varepsilon R

Ką daro. Susieja sukimąsi su krašto taško greičiu ir pagreičiais.

Raidės ir vienetai. R – spindulys (m); aₙ – į centrą; aτ – liestine; ε – kampinis pagreitis (rad/s²).

Kada taikyti. aₙ keičia kryptį, aτ keičia greičio dydį.

ω=ω0+εt,φ=ω0t+εt22\omega=\omega_0+\varepsilon t,\qquad \varphi=\omega_0t+\frac{\varepsilon t^2}{2}

Ką daro. Tai tiesaus judėjimo formulių sukimosi atitikmenys.

Raidės ir vienetai. φ – posūkis (rad); apsisukimų skaičius N = φ/(2π).

Kada taikyti. Pastovus kampinis pagreitis. Kai reikia bendro pagreičio: a = √(aₙ² + aτ²).

Niutono dėsniai ir skridiniai

Trys dėsniai ir laisvojo kūno brėžinys → pavyzdys

∑Fx=max,∑Fy=may\sum F_x=ma_x,\qquad \sum F_y=ma_y

Ką daro. Sujungia visas kūną veikiančias jėgas kiekviena kryptimi.

Raidės ir vienetai. Σ – sudėti su ženklais; F – N; m – kg; a – m/s².

Kada taikyti. Inercinėje atskaitos sistemoje. a = 0 leidžia judėti pastoviu greičiu.

F⃗A→B=−F⃗B→A\vec F_{A\to B}=-\vec F_{B\to A}

Ką daro. Aprašo vienodo dydžio priešingas sąveikos jėgas.

Raidės ir vienetai. Rodyklė indekse nurodo, kas ką veikia.

Kada taikyti. Šios jėgos veikia skirtingus kūnus, todėl vieno kūno brėžinyje nesusinaikina.

Kaip atpažinti sunkį, atramą, trintį ir įtempimą → pavyzdys

Fg=mg,Ftr=μN,Ftam,x=−kxF_g=mg,\qquad F_{\text{tr}}=\mu N,\qquad F_{\text{tam},x}=-kx

Ką daro. Apskaičiuoja sunkį, slydimo trintį ir spyruoklės grąžinamąją jėgą.

Raidės ir vienetai. μ – slydimo koeficientas (be vieneto); k – standumas (N/m); x – deformacija (m).

Kada taikyti. Ftr = μN tik slydimui. Rimties trintis prisitaiko: |Ftr| ≤ μₛN.

N=mgcos⁡α,Fg,∥=mgsin⁡αN=mg\cos\alpha,\qquad F_{g,\parallel}=mg\sin\alpha

Ką daro. Suskaido sunkį šlaite.

Raidės ir vienetai. α – šlaito kampas nuo horizontalės.

Kada taikyti. Kūnas išlieka ant tiesaus šlaito; nėra kitų statmenų jėgų ar pagreičio nuo paviršiaus.

Atvudo mašina: nesvarus nejudamas skridinys → pavyzdys

m2g−T=m2a,T−m1g=m1am_2g-T=m_2a,\qquad T-m_1g=m_1a

Ką daro. Užrašo atskirą lygtį kiekvienam kroviniui.

Raidės ir vienetai. m₂ > m₁; lengvam teigiama kryptis aukštyn, sunkiam žemyn; T – įtempimas (N).

Kada taikyti. Siūlas nesvarus, netąsus, įtemptas; skridinys nesvarus, ašies trinties nėra.

a=(m2−m1)gm1+m2,T=m1(g+a)=m2(g−a)a=\frac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2},\qquad T=m_1(g+a)=m_2(g-a)

Ką daro. Randa pagreitį ir patikrina įtempimą dviem būdais.

Raidės ir vienetai. m₁ + m₂ – visa greitinama masė; (m₂ − m₁)g – varančių sunkių skirtumas.

Kada taikyti. Vienas nejudamas idealus skridinys su dviem kabančiais kroviniais.

Kūnas ant stalo, judamas skridinys ir liftas → pavyzdys

a=m2g−μm1gm1+m2a=\frac{m_2g-\mu m_1g}{m_1+m_2}

Ką daro. Randa stalo ir kabančio krovinio pagreitį, kai kabantis leidžiasi.

Raidės ir vienetai. m₁ – ant stalo; m₂ – kabantis; μ – slydimo trintis.

Kada taikyti. Idealus nejudamas skridinys, horizontali stalo dalis, pasirinkta judėjimo kryptis iš tikrųjų vyksta.

2T−mg=ma,∣agalo∣=2∣akrovinio∣2T-mg=ma,\qquad |a_{\text{galo}}|=2|a_{\text{krovinio}}|

Ką daro. Aprašo krovinį ant bemasio judamo skridinio.

Raidės ir vienetai. 2T – dvi keliančios siūlo šakos; pirmoje lygtyje + kryptis aukštyn.

Kada taikyti. Vienas galas pritvirtintas, dvi lygiagrečios vertikalios šakos; bendras siūlo ilgis nekinta.

N=m(g+a),N=m(g−a)N=m(g+a),\qquad N=m(g-a)

Ką daro. Randa svarstyklių rodmenį lifte.

Raidės ir vienetai. Pirmas atvejis – pagreitis aukštyn, antras – žemyn; a čia teigiamas modulis.

Kada taikyti. Svarbu pagreičio, o ne vien greičio kryptis; kontaktas su svarstyklėmis išlieka.

Darbas, energija ir galia

Kuri jėga atlieka darbą? → pavyzdys

AF=Fscos⁡αA_F=Fs\cos\alpha

Ką daro. Randa vienos pastovios jėgos darbą.

Raidės ir vienetai. A – darbas (J); F – jėga (N); s – tiesaus poslinkio ilgis (m); α – kampas tarp jėgos ir poslinkio.

Kada taikyti. Jėga pastovi; kampas nekinta. 1 J = 1 N · m.

Aviso=∑AFA_{\text{viso}}=\sum A_F

Ką daro. Sudedami visų jėgų darbai su ženklais.

Raidės ir vienetai. Teigiamas darbas didina kinetinę energiją; neigiamas ją mažina.

Kada taikyti. α = 0°: +Fs; 90°: 0; 180°: −Fs.

Visų jėgų darbas: A = Eₖ₂ − Eₖ₁ → pavyzdys

Ek=mv22,Aviso=Ek2−Ek1E_k=\frac{mv^2}{2},\qquad A_{\text{viso}}=E_{k2}-E_{k1}

Ką daro. Susieja darbą su judėjimo energijos pokyčiu.

Raidės ir vienetai. Indeksas 1 – pradžia, 2 – pabaiga; v – greičio modulis (m/s).

Kada taikyti. Materialiojo taško modeliui. Sukantis kietam kūnui reikia ir sukimosi energijos.

v2=v12+2Avisomv_2=\sqrt{v_1^2+\frac{2A_{\text{viso}}}{m}}

Ką daro. Iš darbo tiesiogiai randa galutinį greičio modulį.

Raidės ir vienetai. Po šaknimi turi būti neneigiamas skaičius.

Kada taikyti. Jei gaunasi neigiamas, kūnas pasirinkto taško tokiu judėjimu nepasiekia.

Mechaninės energijos tvermė → pavyzdys

E=Ek+Ep,Ep=mgh,Ep,sp=kx22E=E_k+E_p,\qquad E_p=mgh,\qquad E_{p,\text{sp}}=\frac{kx^2}{2}

Ką daro. Suskaičiuoja judėjimo, aukščio ir spyruoklės energijas.

Raidės ir vienetai. h – masės centro aukštis (m); x – spyruoklės deformacija nuo natūralaus ilgio (m).

Kada taikyti. mgh – netoli Žemės paviršiaus; kx²/2 – tiesinei spyruoklei.

mv122+mgh1=mv222+mgh2\frac{mv_1^2}{2}+mgh_1=\frac{mv_2^2}{2}+mgh_2

Ką daro. Palygina dvi būsenas, kai mechaninė energija tveriasi.

Raidės ir vienetai. Abiejose pusėse surašomos to paties pasirinkto modelio energijos.

Kada taikyti. Nėra trinties ar kitų papildomų energiją keičiančių darbų; nekintanti ideali atrama darbo neatlieka.

Trintis ir mechaninės energijos pokytis → pavyzdys

E2−E1=Apap,Ek1+Ep1+Apap=Ek2+Ep2E_2-E_1=A_{\text{pap}},\qquad E_{k1}+E_{p1}+A_{\text{pap}}=E_{k2}+E_{p2}

Ką daro. Randa mechaninės energijos pokytį dėl papildomų darbų.

Raidės ir vienetai. A_pap – darbai, kurių sąveikos neįtrauktos į pasirinktą Eₚ; pvz., trauka, slydimo trintis.

Kada taikyti. Sunkio darbą pakeitus Δ(mgh), jo dar kartą į A_pap nedėk.

Atr=−μNs,Q=μNsA_{\text{tr}}=-\mu Ns,\qquad Q=\mu Ns

Ką daro. Randa slydimo trinties darbą ir išsisklaidžiusią mechaninę energiją.

Raidės ir vienetai. s – slydimo kelias (m); Q – šiluma paprastame šiame modelyje (J).

Kada taikyti. Pastovūs μ, N ir nejudantis paviršius.

Archimedo jėga ir jos darbas → pavyzdys

FA=ρskgVpan,AA=FAscos⁡αF_A=\rho_{\text{sk}}gV_{\text{pan}},\qquad A_A=F_A s\cos\alpha

Ką daro. Apskaičiuoja plūdrumo jėgą ir jos darbą, kai ji pastovi.

Raidės ir vienetai. ρsk – skysčio tankis (kg/m³); Vpan – panardintos dalies tūris (m³); 1 l = 0,001 m³.

Kada taikyti. Vienalyčiame skystyje. Darbo formulė su pastovia F_A tinka tik nekintant Vpan.

A=plotas po F(s) grafikuA=\text{plotas po }F(s)\text{ grafiku}

Ką daro. Leidžia apskaičiuoti ir kintančios jėgos darbą be integralo.

Raidės ir vienetai. Stačiakampio plotas Fs; trikampio Fmaxs/2; trapecijos (F₁ + F₂)s/2.

Kada taikyti. Kai žinome jėgos projekcijos kitimą pagal poslinkį.

Ledo luito panardinimas ir iškėlimas → pavyzdys

mg=ρgSh0,P↓=ρgSymg=\rho gSh_0,\qquad P_{\downarrow}=\rho gSy

Ką daro. Randa papildomą spaudimo jėgą po y panardinimo nuo pradinės pusiausvyros.

Raidės ir vienetai. S – horizontalus skerspjūvis (m²); h₀ – pradinis panardintas aukštis; y – papildomas panardinimas.

Kada taikyti. Stačiakampis luitas lėtai stumiamas neapsiverčiant; kol h₀ + y ≤ d, kur d – luito storis.

Apan=ρgS(d−h0)22,Aisˇk=ρgSh022A_{\text{pan}}=\frac{\rho gS(d-h_0)^2}{2},\qquad A_{\text{išk}}=\frac{\rho gSh_0^2}{2}

Ką daro. Apskaičiuoja darbą nuo plūduriuojančios padėties: iki visiško panardinimo arba iki visiško iškėlimo.

Raidės ir vienetai. ρ – skysčio tankis (kg/m³); abi išorinės jėgos didėja tiesiškai nuo 0.

Kada taikyti. Labai lėtas judėjimas, nėra papildomų greičio ar bangavimo nuostolių. Tai du atskiri procesai iš tos pačios pradinės padėties.

Spyruoklės ir panardinimo darbas iš ploto → pavyzdys

Aisˇor=kx22,Aspyruokle˙s=−kx22A_{\text{išor}}=\frac{kx^2}{2},\qquad A_{\text{spyruoklės}}=-\frac{kx^2}{2}

Ką daro. Apskaičiuoja lėto tempimo nuo x = 0 darbą ir priešingą spyruoklės darbą.

Raidės ir vienetai. k – N/m; x – galutinis pailgėjimas (m).

Kada taikyti. Tiesinė spyruoklė, tempimas nuo natūralaus ilgio, galutinis ir pradinis greitis beveik 0.

Asp=kx122−kx222A_{\text{sp}}=\frac{kx_1^2}{2}-\frac{kx_2^2}{2}

Ką daro. Randa spyruoklės darbą tarp bet kurių dviejų deformacijų.

Raidės ir vienetai. x₁ ir x₂ matuojami nuo natūralaus ilgio.

Kada taikyti. Tai konservatyviosios jėgos darbas: pradinė Eₚ minus galutinė Eₚ.

Galia ir naudingumo koeficientas → pavyzdys

Pvid=At,P=Fvcos⁡αP_{\text{vid}}=\frac At,\qquad P=Fv\cos\alpha

Ką daro. Randa vidutinę galią arba momentinę vienos jėgos galią.

Raidės ir vienetai. P – galia (W = J/s); A – darbas (J); t – s; v – m/s.

Kada taikyti. A/t – intervalo vidurkis; Fvcosα – tuo momentu. Keliant pastoviu greičiu P = mgv.

η=EnaudEsunaud,Esunaud=Enaudη\eta=\frac{E_{\text{naud}}}{E_{\text{sunaud}}},\qquad E_{\text{sunaud}}=\frac{E_{\text{naud}}}{\eta}

Ką daro. Įvertina, kiek sunaudotos energijos tampa naudinga.

Raidės ir vienetai. η – be vieneto; 80 % formulėje rašoma 0,80.

Kada taikyti. η galima skaičiuoti ir darbų ar galių santykiu, kai lyginamas tas pats procesas.

Kietojo kūno sukamasis judėjimas

Jėgos momentas ir inercijos momentas → pavyzdys

M=Frsin⁡α=Fd,∑M=IεM=Fr\sin\alpha=Fd,\qquad \sum M=I\varepsilon

Ką daro. Randa sukimo momentą ir kampinį pagreitį.

Raidės ir vienetai. M – N · m; r – nuo ašies iki jėgos taško (m); d – statmenas petys (m); I – kg · m².

Kada taikyti. Pastovi sukimosi ašis; α tarp r ir F. Liestinei jėgai d = R.

Idiskas=mR22,Ilankas=mR2,Irutulys=25mR2I_{\text{diskas}}=\frac{mR^2}{2},\quad I_{\text{lankas}}=mR^2,\quad I_{\text{rutulys}}=\frac25mR^2

Ką daro. Parenka I apie centrines simetrijos ašis.

Raidės ir vienetai. Kūnai vienalyčiai; rutulys pilnaviduris; lankas plonas.

Kada taikyti. Ašis privalo sutapti su formulei nurodyta ašimi.

Istr,cm=ml212,Istr,galas=ml23,I=Icm+md2I_{\text{str,cm}}=\frac{ml^2}{12},\quad I_{\text{str,galas}}=\frac{ml^2}{3},\quad I=I_{\text{cm}}+md^2

Ką daro. Pakeičia ašį naudojant Šteinerio teoremą.

Raidės ir vienetai. l – strypo ilgis; d – atstumas tarp lygiagrečių ašių (m).

Kada taikyti. Strypo ašys statmenos jam; Šteinerio ašys lygiagrečios, viena eina per masės centrą.

Atvudo mašina su masyviu skridiniu → pavyzdys

a=(m2−m1)gm1+m2+I/R2a=\frac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2+I/R^2}

Ką daro. Randa krovinių pagreitį, kai dalis poveikio įsuka skridinį.

Raidės ir vienetai. I – skridinio inercijos momentas; vienalyčiam diskui I/R² = M/2.

Kada taikyti. Ašies trinties nėra, siūlas neslysta, nesvarus ir netąsus; m₂ > m₁.

T1=m1(g+a),T2=m2(g−a),(T2−T1)R=Iε,a=εRT_1=m_1(g+a),\quad T_2=m_2(g-a),\quad (T_2-T_1)R=I\varepsilon,\quad a=\varepsilon R

Ką daro. Sujungia abi krovinio lygtis su skridinio lygtimi.

Raidės ir vienetai. T₁ – lengvojo krovinio pusė; T₂ – sunkiojo; M – skridinio masė.

Kada taikyti. Kai siūlas neslysta, tiesinis ir kampinis pagreičiai susieti.

Krovinys išvynioja virvę nuo būgno → pavyzdys

mg−T=ma,TR=Iε,a=εRmg-T=ma,\qquad TR=I\varepsilon,\qquad a=\varepsilon R

Ką daro. Užrašo du atskirus objektus ir jų ryšį.

Raidės ir vienetai. m – krovinio masė; I – būgno inercijos momentas; R – virvės vyniojimosi spindulys.

Kada taikyti. Fiksuota būgno ašis, virvė neslysta; ašies trinties nėra.

a=mgm+I/R2,T=m(g−a)a=\frac{mg}{m+I/R^2},\qquad T=m(g-a)

Ką daro. Randa leidimosi pagreitį ir įtempimą.

Raidės ir vienetai. Vienalyčiam cilindrui I = MR²/2, todėl vardiklis m + M/2.

Kada taikyti. M yra būgno masė, m yra krovinio masė; jų nesukeisk.

Riedėjimas be slydimo → pavyzdys

Ek=mv22+Iω22,v=ωRE_k=\frac{mv^2}{2}+\frac{I\omega^2}{2},\qquad v=\omega R

Ką daro. Suskaičiuoja abi riedančio kūno energijos dalis.

Raidės ir vienetai. v – masės centro greitis; I – apie masės centrą.

Kada taikyti. Riedėjimas be slydimo nejudančiu paviršiumi.

v=2gh1+β,a=gsin⁡α1+β,β=ImR2v=\sqrt{\frac{2gh}{1+\beta}},\qquad a=\frac{g\sin\alpha}{1+\beta},\qquad \beta=\frac{I}{mR^2}

Ką daro. Randa greitį nuo aukščio ir pagreitį šlaite.

Raidės ir vienetai. β: pilnaviduriam rutuliui 2/5; diskui 1/2; plonam lankui 1.

Kada taikyti. Paleista iš rimties, idealiai rieda be nuostolių; sukibimo pakanka.

Strypas krinta apie pritvirtintą galą → pavyzdys

mgΔhcm=IOω22,IO=ml23,vgalo=ωlmg\Delta h_{\text{cm}}=\frac{I_O\omega^2}{2},\qquad I_O=\frac{ml^2}{3},\qquad v_{\text{galo}}=\omega l

Ką daro. Paverčia masės centro aukščio sumažėjimą viso strypo sukimosi energija.

Raidės ir vienetai. I_O – apie nejudančią pakabą; Δhcm – masės centro nusileidimas.

Kada taikyti. Vienalytis strypas, paleistas iš rimties; idealus nejudantis lankstas.

vgalo=3gl(1−cos⁡θ0)v_{\text{galo}}=\sqrt{3gl(1-\cos\theta_0)}

Ką daro. Randa galo greitį žemiausioje padėtyje.

Raidės ir vienetai. θ₀ – pradinis kampas nuo žemyn nukreiptos vertikalės.

Kada taikyti. Jei pradžioje horizontalus, θ₀ = 90° ir v = √(3gl).

Sukimosi darbas ir impulso momento tvermė → pavyzdys

A=Mφ=Iω222−Iω122,P=MωA=M\varphi=\frac{I\omega_2^2}{2}-\frac{I\omega_1^2}{2},\qquad P=M\omega

Ką daro. Susieja pastovų momentą su darbu ir galia.

Raidės ir vienetai. φ būtina radianais; M ir φ ženklai parinkti apie tą pačią ašį.

Kada taikyti. A = Mφ tik pastoviam momentui; energijos forma čia pastoviam I.

L=Iω,I1ω1=I2ω2L=I\omega,\qquad I_1\omega_1=I_2\omega_2

Ką daro. Randa kampinį greitį keičiantis inercijai.

Raidės ir vienetai. L – impulso momentas (kg · m²/s).

Kada taikyti. Kai išorinių momentų suma apie pasirinktą ašį nulinė arba jų impulsas nereikšmingas.

Harmoniniai svyravimai

Amplitudė, periodas, dažnis ir fazė → pavyzdys

x=Acos⁡(ωt+ϕ0),T=2πω,f=1Tx=A\cos(\omega t+\phi_0),\qquad T=\frac{2\pi}{\omega},\qquad f=\frac1T

Ką daro. Aprašo poslinkį nuo pusiausvyros ir pasikartojimo laiką.

Raidės ir vienetai. A – amplitudė (m); ω – kampinis dažnis (rad/s); φ₀ – pradinė fazė (rad); T – s; f – Hz.

Kada taikyti. Idealūs harmoniniai svyravimai. Kosinuso argumentas skaičiuojamas radianais.

ω=km,T=2πmk\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

Ką daro. Randa tiesinės spyruoklės svyravimo dažnį ir periodą.

Raidės ir vienetai. k – N/m; m – svyruojanti masė (kg).

Kada taikyti. Masės ir spyruoklės modelis be slopinimo; spyruoklės masė nereikšminga.

Kur didžiausi greitis, pagreitis ir jėga? → pavyzdys

v=−Aωsin⁡(ωt+ϕ0),a=−ω2xv=-A\omega\sin(\omega t+\phi_0),\qquad a=-\omega^2x

Ką daro. Randa greičio ir pagreičio projekcijas.

Raidės ir vienetai. Minusas a = −ω²x reiškia kryptį į pusiausvyrą.

Kada taikyti. Tą pačią fazę ir tą patį ω naudok kaip poslinkio lygtyje; išvestinių skaičiuoti nereikia.

vmax⁡=Aω,∣a∣max⁡=Aω2,∣v∣=ωA2−x2v_{\max}=A\omega,\qquad |a|_{\max}=A\omega^2,\qquad |v|=\omega\sqrt{A^2-x^2}

Ką daro. Randa didžiausius dydžius ir greičio modulį žinomoje padėtyje.

Raidės ir vienetai. |x| ≤ A; greičio kryptį spręsk iš judėjimo etapo.

Kada taikyti. Neslopinamas harmoninis judėjimas.

Svyravimo energija ir vertikali spyruoklė → pavyzdys

E=kA22,Ep=kx22,Ek=k(A2−x2)2E=\frac{kA^2}{2},\qquad E_p=\frac{kx^2}{2},\qquad E_k=\frac{k(A^2-x^2)}{2}

Ką daro. Parodo, kaip svyravimo energija pasidalija.

Raidės ir vienetai. x – nuo pusiausvyros; E – visa svyravimo energija (J).

Kada taikyti. Horizontaliai Eₚ spyruoklės; vertikaliai kx²/2 – bendra efektyvi potencinė energija virš minimumo.

Δl0=mgk\Delta l_0=\frac{mg}{k}

Ką daro. Randa vertikalios spyruoklės statinį pailgėjimą.

Raidės ir vienetai. Δl₀ – pailgėjimas nuo natūralaus ilgio (m).

Kada taikyti. Pusiausvyroje kΔl₀ = mg; svyravimo T nuo g nepriklauso šiame modelyje.

Matematinė ir fizinė švytuoklė → pavyzdys

T=2πlg,h=l(1−cos⁡θ)T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},\qquad h=l(1-\cos\theta)

Ką daro. Randa mažų svyravimų periodą ir svarelio pakilimą.

Raidės ir vienetai. l – nuo pakabos iki taškinio svarelio masės centro (m); θ – kampas nuo vertikalės.

Kada taikyti. Periodo formulė apytikslė mažiems kampams (pvz., iki 10°); siūlas lengvas.

T=2πIOmgdT=2\pi\sqrt{\frac{I_O}{mgd}}

Ką daro. Randa fizinės švytuoklės mažų svyravimų periodą.

Raidės ir vienetai. I_O – apie pakabą; d – nuo pakabos iki masės centro.

Kada taikyti. Standus kūnas, stabili pusiausvyra, maži kampai ir menki nuostoliai.

mv22+mgh=const\frac{mv^2}{2}+mgh=\text{const}

Ką daro. Parodo švytuoklės energijos virsmą.

Raidės ir vienetai. h matuojamas nuo žemiausios svarelio padėties.

Kada taikyti. Taškinis svarelis, nuostolių nėra; siūlo įtempimas statmenas judėjimui darbo neatlieka.

Smūgis, papildoma inercija ir slopinimas → pavyzdys

u=mv0M+m,A=uM+mk,T=2πM+mku=\frac{mv_0}{M+m},\quad A=u\sqrt{\frac{M+m}{k}},\quad T=2\pi\sqrt{\frac{M+m}{k}}

Ką daro. Randa greitį po įstrigimo ir vėlesnio svyravimo dydžius.

Raidės ir vienetai. m – kulka; M – pradžioje nejudantis kūnas; u – bendras greitis po smūgio.

Kada taikyti. Smūgis trumpas, kūnas pusiausvyroje, kulka įstringa; po jo nuostolių nėra, sukimosi nėra.

T=2πm+I/R2kT=2\pi\sqrt{\frac{m+I/R^2}{k}}

Ką daro. Parodo papildomos besisukančio disko inercijos įtaką periodui.

Raidės ir vienetai. m – slenkanti masė; I – disko inercija; R – virvės vyniojimosi spindulys.

Kada taikyti. Spyruoklė veikia slenkančią koordinatę, virvė neslysta, disko ašis nejudanti.

A(t)=A0e−βt,β=ln⁡(A1/A2)ΔtA(t)=A_0e^{-\beta t},\qquad \beta=\frac{\ln(A_1/A_2)}{\Delta t}

Ką daro. Randa amplitudės mažėjimo spartą.

Raidės ir vienetai. β – slopinimo koeficientas (s⁻¹); A₁, A₂ – gaubtinės amplitudės skirtingais laikais.

Kada taikyti. Tiesinis silpnas slopinimas; nelygink atsitiktinių momentinių x su amplitudėmis.

Atverti spausdinamą mechanikos formulių lapą